Линейные векторные поля

Следствие. Пусть -произвольное натуральное число. Если собственные значения особой точки гиперболического ростка векторного поля не удовлетворяют резонансному соотношению порядка N k) или ниже, то версальная деформация ростка -гладко эквивалентна версальной деформации его линейной части. Другими словами, любая деформация ростка С -гладкой заменой превращается в семейство линейных векторных полей. [c.71]

Как и в бесконечной упругой среде уравнение (5.19) (или (5.18)) можно разделить на две независимые части, одна из которых описывает волны расширения, а другая - волны сдвига. Из векторного анализа известно, что любое линейное векторное поле можно представить в виде [c.191]

Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей и экспонент линейных операторов. [c.24]

Седло, узел, фокус, центр. Невырожденная особая точка линейного векторного поля на вещественной плоскости бывает одного из следующих четырех типов седло, узел, фокус, центр (рис. 2). Пусть и Яг — собственные значения соответствующего линейного оператора А, отличные от нуля в силу предположения невырожденности. Тогда если Яг Яг<0, особая точка уравнения [c.25]

Уб 1, Линейное векторное поле называется резонанс- [c.58]

Определение. Линейное векторное поле в комплексном фазовом пространстве называется гиперболическим слабо гиперболическим) если никакие два собственные значения соответствующего оператора не имеют вещественного (соответственно, вещественного неположительного) отношения. [c.84]

Проблемы. Для получения полной орбитальной топологической классификации линейных векторных полей в С" осталось разобрать следующие случаи. [c.85]

Линейные векторные поля, спектр которых лежит на границе области Зигеля. [c.85]

Линейные векторные поля, соответствующие операторам (5.8) в комплексной форме, имеют вид [c.114]

Теоремы о линеаризованном сворачивании инвариантов могут быть сформулированы в терминах алгебр Ли линейных векторных полей. Полное сворачивание инвариантов определяет векторные поля, касающиеся дискриминантной гиперповерхности (и, следовательно, фронтов соответствующих особенностей). На линеаризованном уровне эта конструкция доставляет линейное семейство линейных векторных полей на касательном пространстве многообразия орбит в нуле. Эти векторные поля параметризованы точками двойственного пространства Т. [c.93]

В этом параграфе рассматривается класс негиперболических ростков векторных полей, имеющих такие же вырождения линейной части, как и в предыдущем параграфе, и, кроме того,. дополнительные вырождения в нелинейных членах. [c.23]

Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части [c.26]

Рис. 9. Фазовый портрет векторного поля на плоскости с нильпотентной линейной частью и нелинейностью общего положения

Определение 2. Если все резонансные соотношения для. спектра линейной части векторного поля в особой точке (диффеоморфизма в неподвижной линейной частью) являются следствиями одного соотношения. [c.72]

Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89]

Теорема 2. Пусть векторное поле v G% (M), г б, имеет контур Г, состоящий из двух седел Oi, О2 и двух сепаратрис Гь Гг таких, что (Г]) =(о(Гг) = 0i , а(Гг) =(o(ri) = О2 . Пусть hj — собственные числа линейной [c.108]

Векторные поля Pi..... Pn линейно независимы и касаются Lp, [c.264]

Если имеется векторное поле вектора а, то линейным интегралом ЭТОГО вектора вдоль кривой Ь между точками Л1о(го) и [c.25]

В инженерно-физических приложениях используются конечно- и бесконечномерные действительные или комплексные векторные пространства, соответственно определяемые как линейные (векторные) пространства над полем действительных и комплексных чисел в зависимости от того, допускается ли умножение векторов только на вещественные или на любые комплексные числа. 206 [c.206]

Рассмотрим основные элементы геометрии векторных полей. Скорость любой точки в поле деформации (фиг. 137) определяется тотальным бивектором (аффинором), образующим линейную векторную функцию [c.279]

Различают продольно и поперечно поляризованные волны в зависимости от ориентации вектора поля относительно волнового вектора (к). В электродинамике примером продольных волн служат плоские однородные плаз.менные волны (с.ч. Ленгмюровские волны) к поперечным волнам в первую очередь относятся плоские однородные эл.-магн. волны в вакууме или в однородных изотропных средах. Поскольку в последних электрич. (В) и магн. (Н) векторы перпендикулярны волновому вектору (к), то их часто паз. волнами типа ТЕМ или ТЕП (см. Волновод). Причём, если векторы поля (Е, Н) лежат в фиксиров. плоскостях (Е, к) и (Н, к), т. е. имеют фиксиров. направления в пространстве, используется термин волны линейной поляризации . Суперпозиция двух линейно поляризованных волн, распространяющихся в одном направлении (к) и имеющих одинаковую частоту (а), но отличающихся направ лени остью векторных полей, даёт в общем случае волну эллиптической поляризации. В ией концы векторов Е и Н описывают в плоскости, [c.65]

Определение 1. Набор Я С" называется k-резонансным, мультипликативно k-резонансным, периодич.ески к-резо нансным), если число образующих аддитивной группы, порожденной множеством векторов гб2+" (г, Я)=0 (соответственно, множеством гб2/ Я = 1 или rgZ/ (г, X)62niZ , равно k. При А = 1 ft-резонансный набор называется однорезонансным. Линейное векторное поле со спектром Я, а также линейный диффеоморфизм или периодическое дифференциальное уравнение [c.72]

Домножьте линейное векторное поле на вещественно-аналитическую функцию с единственным нулем кратности по крайней мере два. Допустим, что новый поток обладает конечной неатомарной борелевской вероятностной мерой. Получите противоречие со строгой эргодичностью данного линейного потока. [c.741]

Определение. Линейное векторное поле — типа Луанка ре или Зигеля, или строго зигелева типа, если спектр соответ ствующего оператора принадлежит области Пуанкаре или Зи геля, или строго зигелев. [c.78]

Формулируемые ниже теоремы показывают, что в отлнчие От вещественного случая топологическая классификация векторных полей в комплексном фазовом пространстве недискретна (имеет непрерывные инварианты) даже для линейных векторных полей общего положения. [c.84]

Линейные векторные поля, имеющие нетривиальные жордановы клетки с нулевым собственным значением. [c.85]

Точно так же, как полная алгебра полей, сохраняющих 2(1 ), описывается сворачиванием инвариантов группы Кокстера, конечномерная алгебра линейных векторных полей выражается через операцию линеаризованного сворачивания инвариантов Фо Т хТ - Т [c.134]

Действие сдвигов на многочлены Тейлора определяет на пространстве Ло линейное векторное поле v (в обозначениях п. 4.3, ves=ei- в согласованном с флагом базисе). Назовем такое поле согласованным с флагом. Поток этого поля действует на многообразии Грассмана С (Ло) и определяет там векторное поле v. [c.155]

Следовательно, векторы ехт,..., а определяют гиперплоскость (q) пфаффовой системы. В данной точке пространства пфаффову систему можно задавать либо т линейными дифференциальными формами и/о,..., либо п 4- 1 — га векторными полями а, ,..., осц. [c.327]

Список вырождений. В. типичных двупараметрических семействах общего положения встречаются ростки векторных полей в особой точке, имеющие двукратное вырождения линейной части только одного из следующих Tjlex типов [c.26]

Рис. 10. Бифуркации векторных полей с ннльпотентной линейной частью на

Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений (по Жолондеку [72]). Описанная выше процедура превращает деформацию ростка векторного поля с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений линейной части в особой точке в семейство уравнений, инвариантное относительно группы движений плоскости (х, г), порожденной симметрией (х, г) (х, —г). Ростку с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений соответствует 52-эквивариантный росток с нулевой линейной частью на плоскости. [c.28]

Более того, существует гладкая замена, переводящая исходнук> деформацию в семейство, отличающееся от выписанного автономного на добавок, плоский на окружности х=0, е = 0. Эта почти автономная деформация изучена мало зато подробно изучены получаемые отбрасыванием плоского добавка деформации ростков векторных полей в особой точке с ненулевой нильпотентной линейной частью на плоскости. Эти деформации описаны в п. 4.2 главы 1. [c.56]

Рассмотрим еще произведение листа Мёбиуса на прямую, получаемое из пространства отождествлением точек t, х, г) и —г). Разбиение этого пространства на интегральные кривые уравнения j =0, г = 0 называется слоением Мёбиуса. Это слоение является линейным приближением при изучении предельного цикла с мультипликаторами - -1 и —1. При усреднении в этом слоении возникают 52-эквивариантные векторные поля на плоскости, деформации которых описаны в п. 4.4 главы 1. [c.57]

В типичных двупараметрических семействах ростков Zg-эквивариантных векторных полей в нуле встречаются только такие ростки с нильпотентной линейной частью, которые эквивалентны одному из невырожденных главных полей. [c.58]

Определение 3. Пусть А — оператор линейной части сильно однорезонансного векторного поля в особой точке или диффеоморфизма в неподвижной точке, или периодического дифференциального уравнения с автономной линейной частью, Я — спектр А. Оператору А соответствует вещественный резонансный моном, определяемый следующим образом. [c.72]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Топологическая классификация четырехпараметрических деформаций ростка векторного поля на плоскости с двумя чисто мнимыми ненулевыми собственными значениями и дополнительным трехкратным вырождением линейной части (короче — ростка класса Вц, см. п. 3.1, гл. 1) имеет функциональные мо-дули. [c.79]

Пусть гладкое векторное поле имеет гиперболическое седло с собственными значениями Xi,..., и пусть не выполнено ни одно из соотношений Re .,= ReXj4-Re V Тогда росток поля в седле С -эквивалентен своей линейной части. [c.134]

Валлиса формула 136 Вариаторы планетарные 511 Вейерштрасса признак 177 Вектор-функции линейные 236 Векторная алгебра 226 Векторно-векторное произведение 229 Векторное исчисление 226—234 Векторное поле 231—234 Векторные линии 231 Векторные потенциалы 234 Векторные проекции 227 Векторные уравнения 230 [c.547]

ДИСКЛИНАЦИИ (от греч. dys- — приставка, означающая разделение, разъединение и klino — наклоняю) — протяжённые дефекты в средах, обладающих упорядочением нек-рого аксиального вектора 1 вектора — директора — в жидких кристаллах, вектора антиферромагнетизма — в антиферромагнетиках и т. п. Д. возникают в результате нарушения симметрии векторного поля и участвуют в создании текстуры в средах. Простейшие Д. образуются в нематических жидких кристаллах и антиферромагнетиках с анизотропией типа плоскости лёгкого намагничения, когда вектор I расположен в плоскости и его ориентация оире,челяется одним углом ф в этой плоскости от)ЮСительио осей координат (фазе й). В таких средах Д.— линейные де- [c.635]

Л. ф. играет важную эвристич. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. групп симметрии может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудЕШ перечислить. Если по соображениям простоты оставить в инварианты мнним. степени по полям, пол> чаю-щиеся из Л. ф. ур-ния движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного ноля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной гру1Пюй (напр., эл.-маги. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению — /4 jiv uv тензор поля F = [c.544]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...