Подмногообразия симплектических многообразий

Подмногообразия симплектических многообразий [c.12]

Подмногообразия симплектических многообразий 13 [c.13]

Подмногообразия симплектических многообразий 17 [c.17]

Подмногообразия симплектических многообразий 19 [c.19]

Подмногообразия симплектических многообразий 21 [c.21]

Определение 1. Лагранжевым подмногообразием симплектического многообразия называется подмногообразие наибольшей размерности, ограничение симплектической структуры на которое равно нулю. [c.22]

Отображение Гаусса лагранжево. Лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ориентированных прямых в евклидовом пространстве образовано нормалями к гиперповерхности. [c.26]

Система экстремалей обычной вариационной задачи образует гладкое лагранжево подмногообразие симплектического многообразия экстремалей. Мы видим, что в задачах с односторонними ограничениями система экстремалей образует не гладкое, а особое лагранжево многообразие. [c.207]

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом симплектической топологии в некоторой окрестности и каждой точки лагранжева подмногообразия Л симплектического многообразия (М, Г2) найдутся канонические координаты р, д, в которых = (/р Л ( 5, и множество Л П 7 задается уравнением р = О [13]. Папример, пусть лагранжева поверхность Л задана ура в-нением у = дЗ/дх (см. 2 гл. II). Тогда координаты р, д вводятся каноническим преобразованием д = х, р = у - дЗ/дх. [c.256]

Заданная на контактном многообразии дифференциальная 1-форма а определяет в каждой точке контактную форму. Все эти контактные формы образуют в симплектическом многообразии 2п 1-мерное подмногообразие. Проекция п диффеоморфно отображает это подмногообразие на исходное контактное многообразие, а вертикали пересекают это подмногообразие под ненулевым углом. [c.329]

Аналог леммы А в этой ситуации утверждает, что характеристики на образах отображений 2 —5 и 2 —> С являются образами одних и тех же кривых на 2 (а именно — характеристик подмногообразия 2 симплектического многообразия X). [c.440]

Пусть (JW, ш) — симплектическое многообразие (см. определение 5.5.7), множество и сМ открыто и / и — М — симплектический диффеоморфизм. Пусть Л С С/ является гиперболическим множеством диффеоморфизма f. Докажите, что dim Е = dim Е для всех точек хеА, —лагранжевы подпространства Т М, а W x) и 1У (ж) являются лагранжевыми подмногообразиями М. [c.278]

Теорема 4 ([23]). Типичное лагранжево подмногообразие прямого произведения М ласточкина хвоста и прямой в симплектическом многообразии [c.206]

Рассмотрим теперь тг-мерное конфигурационное многообразие соответствующее 2тг-мерное фазовое пространство и в нем тг-мерное лагранжево подмногообразие (т. е. тг-мерное подмногообразие, на котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю). [c.417]

Отображение, сопоставляющее вектору прямую, на которой он лежит, переводит указанное подмногообразие коразмерности 3 в многообразие касательных прямых гиперповерхности. При этом отображении характеристики переходят в характеристики (по определению симплектической структуры пространства прямых). Это доказывает лемму. [c.439]

Предложение 5.6.5. Пусть ш — стандартная симплектическая форма на и М=/" (с) СК " — множество уровня гладкой функции / 2" с регулярным значением с. Тогда М является подмногообразием контактного типа в том и только том случае, когда в окрестности и многообразия М имеется векторное поле трансверсальное к М, для которого С ш = ш. [c.239]

Подмногообразия евклидова или риманова многообразия различаются своей внутренней геометрией и своим положением в объемлющем пространстве (например, поверхность в евклидовом 3-пространстве имеет, помимо гауссовой, среднюю кривизну). В симплектическом случае ситуация проще внутренняя геометрия подмногообразия определяет (по меньшей мере локально) внешнюю геометрию. [c.12]

Раскрытый зонтик появляется в теории систем лучей в следующей ситуации. Рассмотрим гиперповерхность 2п-мерного симплектического пространства и (п — 1)-мерное изотропное подмногообразие в этой гиперповерхности (мы будем называть его начальным многообразием). [c.151]

Глобальная задача классификации пар инволюций вдоль полного замкнутого подмногообразия неподвижных точек является безнадёжной задачей, даже на топологическом уровне. В самом деле, в простейшем случае, когда зто многообразие является окружностью, произведение соответствующих инволюций есть симплектическое отображение кольца, неподвижное на окружности. Топологическая классификация таких отображений включает в себя большинство трудностей, присутствующих в неинтегрируемых задачах гамильтоновой динамики (см. [93]). [c.203]

Раскрытый ласточкин хвост размерности к есть образ в пространстве характеристик проекции многообразия многочленов степени га-1-1, имеющих нулевой корень кратности к- -2. Симплектическая форма объемлющего (2А - -2)-мерного симплектического пространства равна нулю на этом гладком -многообразии (так как это многообразие есть координатная 9-плоскость в координатах Дарбу, введённых в 1.1). Следовательно, его проекция в 2А Мерное пространство характеристик является лагранжевым подмногообразием (в общем случае особым). [c.229]

Б. Подмногообразия симплектического многообразия. Ограничение симплектической структуры на подмногообразие — замкнутая 2-форма, но она уже не обязательно невырождена. В евклидовом пространстве, кроме внутренней геометрии подмногообразий, имеется обширная теория внешних кривизн. В симплектической геометрии положение нрош,е [c.448]

Теорема (А. Б. Гивенталь, 1981). Росток подмногообразия симплектического многообразия определяется ограничением на него симплектической структуры с точностью до симплектического диффеоморфизма. [c.448]

Пример 7. Рассмотрим четырёхмерное подмногообразие симплектического многообразия размерности 6 (или выше). Точки вырождения (ограничения симплектической структуры на подмногообразие) образуют гладкую гиперповерхность вырождения размерности 3 на четырёхмерном подмногообразии общего положения. Ранг этого вырождения для подмногообразия общего положения равен двум в точках этой [c.17]

Замечание 1. Подобные формулы определяют особенности коразмерности 3 на любом типичном чётномерном подмногообразии симплектического многообразия (нужно заменить 4 на А в нормальных формах, чтобы получить подмногообразие размерности 2к - А). [c.20]

Замечание. Проведенное рассуждение легко обобщается на следующую общую ситуацию, впервые рассмотренную Мель-розом. Пусть , X — пара гиперповерхностей в симплектическом многообразии X, трансверсально пересекающихся по подмногообразию Ш. Рассмотрим многообразия характеристик В н С гиперповерхностей У и 2 вместе с каноническими расслоениями на характеристики, У В ж 2 С многообразия В ж С наследуют из X симплектические структуры. [c.439]

Кратчайший путь состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических на поверхности препятствия (рис. 262). Рассмотрим лоэтому систему геодезических на поверхности препятствия, ортогональных фиксированному фронту. Система всех лучей, касательных к этим геодезическим,— лагранжево подмногообразие в симплектическом многообразии прямых (как и всякая система экстремалей решения вариационной задачи). [c.460]

Следствие 2. Типичное чётномерное подмногообразие симплектического 2п-многообразия в некоторой окрестности типичной тачки гиперповерхности вырождения приводимо к нормальной форме [c.17]

Замечание 2. Локальные классификации подмногообразий симплектического пространства и вырождений замкнутых 2-форм полностью эквивалентны, если размерность пространства не фиксирована. Действительно, любая замкнутая 2-форма на п-многообразии локально является дифференциалом 1-формы а = /1 < 91 + + /п дп- Эта 2-форма индуцирована из стандартной формы р Л на пространстве Дарбу вложением [д,р= /(9))- Следовательно, любая замкнутая 2-форма на те-мерном многообразии локально индуцирована из симплектического 2п-пространства. Две замкнутые формы локально приводимы друг к другу диффеоморфизмом п-многообразия, если и только если соответствующие подмногообразия симплектического 2п-пространства симплектоморфны (по теореме Гивенталя). [c.20]

Расклассифицируйте ростки флагов подмногообразий постоянного ранга в симплектическом многообразии с точностью до симплектоморфизма. [c.22]

Естественным путём определения особых лагранжевых многообра зий является рассмотрение изотропных отображений многообразий, имеющих подходящую размерность (равную половине размерности объемлющего симплектического многообразия). Такое отображение называется лагранжевым включением, если его особые точки образуют подмногообразие меньшей размерности. [c.150]

Лучи (характеристики гиперповерхности), проходящие через точки начального многообразия, образуют (локально) подмногообразие в (2п — 2)-мерном симплектическом многообразии характеристик. Это подмногообразие изотропно и в общем случае [п — 1)-мерно. При п = 3 это подмногообразие является лагранжевым включением поверхности. В [8] Гивенталь доказал, что единственными особенностями соответствующих лагранжевых включений являются раскрытые зонтики (при условии, что начальное многообразие принадлежит некоторому открытому и плотному множеству в пространстве всех подмногообразий размерности п - 1). [c.151]

Рассмотрим две типичные гладкие гиперповерхности в симплектическом многообразии. Одну из них будем называть поверхностью ортов , другую — поверхностью краевых векторов . Предположим, что они трансверсально пересекаются вдоль подмногообразия единичных краевых векторов (коразмерности 2 в исходном симплектическом многообразии). Любая гиперповерхность в симплектическом многообразии локально расслаивается на характеристики (интегральные кривые поля косоортогональных дополнений касательных гиперплоскостей). Характеристики поверхности ортов будем называть лучами (если зта поверхность трансверсально ориентирована, то лучи имеют естественную ориентацию). [c.198]

В. Симплектические структуры проективных алгебраических многообразий. Мы получаем теперь симплектическую структуру на любом комплексном подмногообразии М комплексного проективного пространства. А именно, пусть / М СР — вложение комплексного лшогообразия М в комплексное проективное пространство. Риманова, эрмитова и симплектическая структуры на проективном пространстве индуцируют на М соответствующие структуры. Например, симплектическая структура на М задается формулой [c.312]

Задача Дирака. Пусть (.И, i> ) — спмплсктическос многообразие, Н M- -R — гладкая функция и Л — подмногообразие в М. Четверку (Л1, Н, N) назовем гамильтоноаои системой со связями. Ограничение симплектической структуры 12 на Л обозначим а ограничение функции // обозначим F. Форма (U очевидно, замкнута, но может оказаться вырожденной (если, например, размерность. V нечетна). [c.50]

Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства. Эта глава содержит некоторые стандартные определения и факты элементарной симплектической геометрии, вместе с некоторыми менее иэвестными примерами (например, здесь описаны симплектические структуры пространств многочленов и теория нормальных форм подмногообразий симплектич кого многообразия). [c.6]

Упражнение 2. (Полный) флаг подмногообразий многообразия М есть последовательность подмногообразий Mq С Mi С. .. С Mjv = М, dim Mi — i. Флаг подмногообразий симплекти ческого пространства называется флагом постоянного ранга, если ранг ограничения симплектической структуры на любое М, постоянен вдоль Mi. [c.22]

Замечание. Эмпирическое правило Вейнстейна гласит в симплектической геометрии любой важный объект является лагранжевым подмногообразием (например, уравнения Гамильтона и симплектоморфиэ-мы могут быть описаны как лагранжевы многообразия). [c.23]

Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114]

В самом деле, проекция ребра возврата в соответствующее симплектическое 6-многообразие (вдоль интегральных кривых поля ядер дифференциала контактной формы) является изотропной 2-поверхностью. Грассманово многообразие изотропных 2-плоскостей в симплектическом 6-пространстве имеет размерность 7. Шлейф фиксированного лагранжева подпространства (образованного теми изотропными 2-плоскостями, которые не трансверсальны исходной 2-плоскости) имеет размерность 5. Коразмерность шлейфа равна двум. Касательные плоскости ребра возврата параметризованы двумя параметрами. Следовательно плоскость становится (трансверсально) вертикальной в некоторых изолированных точках ребра возврата (здесь мы используем теорему трансверсальности, основанную на сюръективности отображения Гаусса , отправляющего изотропное подмногообразие с выделенной точкой в касательное пространство в зтой точке, сдвинутое в начало координат объемлющего евклидова симплектического пространства). [c.260]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...