Квадратичные системы

Фиг. 17. Квадратичная система Леонарда.

При больших мощностях для упрощения управления применяется квадратичная система Леонарда (фиг. 17), в которой генератор Г и [c.11]

Оценки сверху числа предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра. Квадратичная система общего вида при наличии в начале координат фокуса или центра всегда может быть приведена к виду [c.285]

Квадратичные системы е четырьмя предельными циклами. Примеры квадратичных систем с четырьмя предельными циклами [c.288]

И 2. В подпространстве параметров системы, имеющей особую точку типа центр, могут быть выделены области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами как с вышеописанной, так и с другой топологической структурой, содержащей два седла и узел на экваторе. Сепаратрисы одного из седел идут к предельным циклам с распределением [c.289]

Решение этой системы выполняют методом последовательных приближений, так как, не зная размеров труб или идущих по ним расходов, нельзя точно определить коэффициенты сопротивления Я,- и в этих трубах. Для решения в первом приближении принимают, что в трубах имеет место квадратичный закон сопротивления и значения Я, и ф/, определяются только относительной шероховатостью труб (см. гл. VII и IX). [c.268]

Решение системы уравнений (X—-7) для трубопровода с заданными размерами удобно получать графическим методом. Для этого прежде всего строят характеристики всех труб системы но уравнению (X — 1). Характеристика представляет собой зависимость потерь напора в трубе от расхода. При турбулентном течении в трубе ее характеристика является практически квадратичной параболой при ламинарном течении в длинной трубе — практически прямо/ (см. гл. IX). [c.269]

Оказалось, что для большинства прямоугольных решеток разрушение при оптимальном очертании имеет поле скоростей прогибов, которое в прямоугольной системе координат, расположенной в плоскости решетки, является зонально квадратичным. В областях этого рода главные скорости кривизн имеют фиксированные направления. Выберем оси и в этих направлениях. Так, например, в области типа Т поле [c.61]

Выражение (129.2) показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно определенная. [c.365]

При стационарных связях кинетическая энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей (129.2), а потому, на основании теоремы Эйлера об однородных функциях, [c.370]

Условимся обозначать символом ( ) совокупность членов, не содержащих вторых производных от координат <7. Заметим, далее, что производные от коэффициентов ajk как по t, так и по не содержат вторых производных от обобщенных координат. Если силы, действующие на точки системы, зависят лишь от времени, координат точек и их скоростей (см. гл. И), то обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (22), могут зависеть лишь от времени, координат и их первых производных. Поэтому результат подстановки в уравнения (22) вместо Т квадратичной формы можно представить следующим образом [c.141]

Разумеется, система является диссипативной не всегда, т. е. не при любом выборе чисел Ь%. Найдем условия, которым должны удовлетворять числа b fk для того, чтобы система была диссипативной. С этой целью введем квадратичную форму [c.216]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной L , линейной Li и нулевой степени Lq относительно скоростей q, перепишем равенство (21) так [c.264]

Рассмотрим малые колебания механической системы с двумя степенями свободы, подчиненной голономным, идеальным и стационарным связям. Обозначим обобщенные координаты, определяющие положение системы в пространстве, через ди Яг- Кинетическая энергия такой системы будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [c.594]

Переменная N означает число степеней свободы системы и соответствует величине п. Предположим, что /. -- квадратичная функция относительно обобщенных скоростей. В этом случае обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости [c.15]

Пусть начало координат q = О, р О является положением равновесия системы и, следовательно, разложение И начинается с квадратичных шенов [c.84]

В общем случае это соотношение выполняется только при положительности первого и отрицательности второго слагаемого. Но, в частности, одно из слагаемых может равняться нулю. Такую возможность необходимо учитывать особо, она касается и неравенства (12.29). Действительно, квадратичная форма (12.31) имеет определитель, совпадающий с определителем системы уравнений Гиббса—Дюгема (9.49), который, как было показано ранее, при независимых q, равен нулю. В общем случае знак неравенства (12.29) должен, следовательно, быть дополнен знаком равенства. [c.122]

Принцип наименьшего принуждения допускает простое геометрическое истолкование. Он означает, что действительные ускорения системы минимально отклоняются от тех, которые имели бы место при полном отсутствии связей. Метрика, оценивающая отклонение, определена коэффициентами квадратичной формы принуждения по Гауссу. [c.419]

Для склерономной системы кинетическая энергия представляет собой невырожденную положительно определенную квадратичную форму всех скоростей. Следовательно, полная энергия [c.570]

Определение 8.7.1. Механическая система называется позиционной линейной системой, если ее кинетическая энергия есть положительная симметричная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.572]

Сопоставим с кинетической энергией позиционной линейной системы квадратичную форму от лагранжевых координат [c.583]

Квадратичную форму, соответствующую потенциальной энергии системы, обозначим [c.583]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Если пренебречь членами третьего и более высокого порядка, кинетическая энергия системы в окрестности положения равновесия будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей 1, д - Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю только при нулевых значениях обобщенных скоростей, то она выражается вблизи положения равновесия системы определенно положительной квадратичной формой обобщенных скорое ген. [c.431]

Для системы с любым конечным числом степеней свободы п кинетическая энергия в окрестности положения равновесия выражается однородной квадратичной формой [c.432]

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми. [c.435]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), то эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты qx и <72 выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным. [c.436]

Пусть и 2 — главные координаты системы. Тогда квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий содержат только квадраты своих переменных [c.441]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при д = = 2 = 0, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы. [c.456]

На рис. 156В отмечены штриховкой области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами. [c.292]

Квадратичная форма (12.31) является положительно полуопределенной имеется набор вариаций б ,, не меняющих химического состава системы, при котором эта форма равняется нулю. Положительно определена она только тогда, когда фиксировано хотя бы одно экстенсивное свойство системы либо имеются другие условия, исключающие возможность изменения состояния системы без изменения ее интенсивных свойств. [c.123]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...