Коразмерность многообразия

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе — паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны. [c.20]

Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа устойчивый узел по гиперболическим переменным . Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным. [c.116]

Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Т при е<е. [c.162]

Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в шестимерном пространстве параметров rj многообразия одной и гой же коразмерности, равной трем. [c.89]

Пример 3. Пусть группа С = 8 — окружность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии У. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении М = Т У. Мы можем определить многообразия уровня момента Мр (коразмерности 1 в Л1) и фактор-многообразия Рр (размерность которых на 2 меньше размерности М). [c.344]

Теорема 1. Множество эллипсоидов вращения представляет собой конечное объединение гладких подмногообразий коразмерности 2 и выше в многообразии всех эллипсоидов. [c.395]

Лемма. Множество всех эллипсоидов, имеющих двукратных, Гд трехкратных, четырехкратных осей и т. д., является гладким подмногообразием многообразия всех эллипсоидов, имеющим коразмерность [c.395]

Простейший вывод из того, что многообразие эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2, состоит в том, что это многообразие не делит пространство всех эллипсоидов (а многообразие квадратичных форм с кратным спектром не делит пространство квадратичных форм), подобно тому как прямая не делит трехмерное пространство. [c.396]

Например, коразмерность множества эллипсоидов вращения в многообразии всех эллипсоидов равна двум в пространстве любого числа измерений поэтому естественно считать, что и в бесконечном многообразии эллипсоидов в бесконечномерном гильбертовом пространстве множество эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2 (и, в частности, пространство эллипсоидов без кратных осей связно). [c.399]

В настоящем добавлении перечислены простейшие элементарные свойства пуассоновых структур на конечномерных многообразиях. Но нужно иметь в виду, что в приложениях (особенно в математической физике сплошной среды) часто встречаются и пуассоновы структуры на бесконечномерных многообразиях. При этом, впрочем, размерности или коразмерности листов часто (хотя и не всегда) конечны. [c.422]

Отображение, сопоставляющее вектору прямую, на которой он лежит, переводит указанное подмногообразие коразмерности 3 в многообразие касательных прямых гиперповерхности. При этом отображении характеристики переходят в характеристики (по определению симплектической структуры пространства прямых). Это доказывает лемму. [c.439]

Следствие 19.1.11. Пусть М — риманово многообразие, множество и сМ открыто и f и М — вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Если неустойчивое распределение имеет коразмерность один, то оно принадлежит классу С. [c.608]

В этом параграфе описано топологическое строение ростков векторных полей во всех вырожденных особых точках, за исключением некоторого многообразия коразмерности 3, и выписаны соответствующие критерии устойчивости. [c.63]

Определение. Допустимым полем направлений на комплексном многообразии называется поле прямых, голоморфное на дополнении к аналитическому подмножеству комплексной коразмерности не меньше 2. Поле направлений полиномиального векторного поля в продолжается до допустимого-поля направлений в СР . [c.117]

Если многообразие М конечномерно, то нереальной деформацией точки служит росток трансверсали к ее орбите. То же верно и для точек бесконечномерных пространств отображений имеющих орбиты конечной коразмерности, в случае достаточна хорошего действия группы (см. [ 22, 3.2]). [c.14]

В типичной вариационной гиперболической системе главный символ оказывается нестрого гиперболичным в некоторых внутренних точках области гиперболичности. Соответствующее многообразие особых точек имеет коразмерность два на гиперповерхности нулей главного символа в пространстве кокасательного расслоения пространства-времени. На трехмерной трансверсали к этому многообразию типичных особенностей множество нулей главного символа оставляет след, диффеоморфный невырожденному конусу [c.143]

Б. Применение к исследованшо колебаний сплошных сред. Приведенные выше общие соображения имеют многочисленные приложения при исследовании зависимости от параметров собственных частот разнообразных механических систем с конечным числом степеней свободы однако, вероятно, наиболее интересные их приложения относятся к системам с бесконечным числом степеней свободы, описывающим колебания сплошных сред. Эти приложения основаны на том, что коразмерности многообразий эллипсоидов с теми или иными кратностями осей определяются [c.398]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Рассмотренный случай интересен еще и тем, что предельное множество бифуркационных поверхностей содержит многообразие коразмерности единица, и это делает достаточно естественным и частым пересечение с ней одномерных кривых, отвечающих изменению какого-нибудь одного скалярного нараметра динамической системы, т. е. в пространстве параметров динамической системы рассматриваемой серии бифуркаций отвечает поверхность коразмерности 1. Теперь уже довольно очевидно, что для последовательности бифуркационных значений параметра, отвечающих пересечениям с поверхностями (2.18), [c.177]

Отметим, что в 9-мерном пространстве параметров случаи Кирхгофа, Клебша и Стеклова — Ляпунова задаются алгебраическими многообразиями одинаковой коразмерности, равной трем. [c.92]

Теорема. Многообразие гамильтонианов с указанными размерами жордановых клеток имеет в пространстве всех гамильтонианов коразмерность [c.350]

Теорема. Пуассонова структура на двумерном многообразии либо в окрестности каждой точки приводится к одной из нормальные форм предыдущей таблицы, либо принадлежит множеству коразмерности 8 в пространстве пуассоновыл структур. [c.426]

Следствие 19.1.12. Пусть М — риманово многообразие, множество исМ открыто и/ и М — сохраняюи ее объем вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, что устойчивое распределение имеет коразмерность один. Тогда устойчивое и неустойчивое распределения принадлежат классу С . [c.608]

Пусть (Л , <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , <, >, К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)=< x, x l2+V (x). [c.108]

В последних двух случаях особенность принадлежит не только к классу 2 , но и к 2 или 2 2. Мы же ограничимся классификацией 2 ° и рассмотрим первые пять возможностей, т. е. классификацию особенностей общего положения вне многообразия 2 > коразмерности 7 в прообразе (см. п. 1.4). Коразмерности множеств особых точек этих пяти типов равны соответственно 4, 4, 5, 6, 6. Особенность первого типа азывается эллиптической, второго — гиперболической, остальные три — вырожденными. [c.167]

В гл. 1 в случае правой эквивалентности функций мы уже видели, что положительные ответы на эти вопросы равносильны тому, что касательное пространство к классу эквивалентности ростка имеет конечную коразмерность в касательном пространстве ко всему функциональному множеству. Настоящий параграф мы начнем с изучения действий групп Л, , зЛ-, тя. Ж (в пп. 2.1—2.3 означает одну из них) на ростки отображений. Ситуация оказывается совершенно аналогичной действию 31 на функции. В п. 2.5 рассматриваются достаточные условия, которые гарантируют, что ситуация останется столь же хорошей и в более общем случае ( хорошие геометрические группы). При этом в число плохих попадают, например, естественные эквивалентности диаграмм отображений, содержащих циклические или расходящиеся поддиаграммы (к таким диаграммам приводят, скажем, задача о классификации отображений многообразия в себя или задача об огибающей семейства гиперповерхностей— см. 1.6 в [27]). [c.176]

Пусть M,N — гладкие многообразия размерностей т, п и 2 — произвольный класс Тома—Бордмана отображений R R , см. 3.1 пусть п) —коразмерность соответ- [c.198]

Примеры индекс Маслова и первый класс Понтрягина. Пусть N — лагранжево иммерсированное подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения многообразия W. Если эта иммерсия T W — общего положения, то особое множество проекции имеет в N коразмерность 1. Ока- [c.205]

Перегибы, исчезающие в морсовской особой точке. Пусть / (С", 0)- (С, 0)—росток фунюц ии с морсовсюой особенностью, [—его неособое малое шевеление (например, вида /-1-е). Рассмотрим гауссово (касательное) отображение многообразия У= /=0 , действующее из У в пространство всех аффинных гиперплоскостей в С". Особое множество 2 этого отображения пусто близи точки 0. Действительно, это множество соответствует точкам, в которых гессиан ограничения функции 7 на касательную плоскость к V имеет дефект 2. Но ранг гессиана полунепрерывен, а в исходной особой точке исходной функции / он ни для какой касательной гиперплоскости не меньше п—2. Итак, все особенности гауссова отображения поверхности V вблизи О — это морэновские особенности 5й. При этом в случае общего положения коразмерность осо- [c.233]

Но на самом деле любое отображение гладких многообразий N- P можно рассматривать как проекцию его графика нз пря-Л10Г0 произведения NxP на базу Р. Классификация таких проектирований равносильна классификации отображений N- -P >с точностью до диффеоморфизмов образа и прообраза, то есть с точностью до si-эквивалентности. Даже коразмерности ростков соответствующих объектов в функциональных пространствах, как легко видеть, совпадают. Если же разрешить проектируемому подмногообразию иметь особенность, то мы тем самым получаем естественное распространение понятия л -эквивалент-ности на отображения многообразий с особенностями в гладкие. [c.42]

Будем считать, что V — росток многообразия нулей некоторого отображения. Тогда эквивалентность проектирований с точностью до расслоенных над базой диффеоморфизмов пространства расслоения — это расслоенная контактная эквива лентность соответствующих отображений. Поэтому если нас интересуют проектирования конечной коразмерности в функциональном пространстве, то максимальное вырождение, которое может иметь проектируемое подмногообразие, — это изолированная особенность полного пересечения, а У° должно иметь вырождение конечной Х-коразмервости....... [c.51]

Свойства поднимаемости элементов из 0а и вв, отмеченные в предыдущем пункте, остаются в силе. Коранг в ( , X, ) системы базисных полей вх равен контактной коразмерности мультиростка многообразия Р(-, и, X, ) =0 в его особых точках Коранг системы Шь. .., в точке — это Л е-кораз [c.90]

Производная грассманова расширения в точке любой клетки Шуберта (не максимальной размерности) не касается этой клетки. Пусть дано /-параметрическое семейство наборов. Их грассмановы расширения образуют /-параметрическое семейство кривых в многообразии Грассмана 0 . Семейство грас-смановых расширений наборов типичного семейства, рассматриваемое как отображение /-1-1-мерного пространства, трансверсально всей стратификации многообразия Грассмана клетками Шуберта. Порядок нуля определителя Вронского набора в точке клетки Ша равен коразмерности клетки, т. е. объему диаграммы Юнга, а =2 а<. [c.151]

В окрестности бифуркационной точки клетки Ш коразмерности а /- -1-параметрическое семейство грассмановых расширений можно превратить в семейство кривых в 1а -мерной трансверсали к клетке (при помощи гладко зависящего от ]а1 параметров диффеоморфизма многообразия Грассмана, сохраняющего стратификацию). [c.151]

Рассмотрим теперь бифуркационные множества. Пусть кривая г фиксирована, а плоскость Ь меняется. Тогда кривая ф-тоже меняется. Параметр такого семейства кривых лежит в грассманиане й-мерных плоскостей пространства Р . При каждом t сопровождающий флаг кривой г в точке r t) делит многообразие Грассмана на клетки Шуберта. Назовем к-разверткой кривой г объединение по 1 клеток Шуберта коразмерности 2 —с диаграммами Юнга (2) и (1,1). Легко видеть, что А-развертка — бифуркационное множество указанного выше семейства кривых. Таким образом, типичные особенности бифуркационных множеств — это особенности разверток неуплощающихся кривых в грассманиане. И в заключение отметим, что теорема двойственности на языке разверток кри- [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...