Вырождение критическое

О < а < 1, дают кривые устойчивости относительно трехмерных возмущений с разным соотношением волновых чисел к и 2-Все эти кривые начинаются в точке Кт = 1708 (при Ке = О имеется известное вырождение критического числа Рэлея по волновым числам) и пересекают ось Ке при значениях Ке > [c.272]

Все критические точки этой функции невырожденные, ес-ли gn ф О и п ф 0. Действительно, пусть ф — вырожденная критическая точка. Тогда [c.238]

Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования тг-мерного лагранжева подмногообразия из 2тг-мерного фазового пространства на тг-мерное конфигурационное пространство для и 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При тг 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. [c.418]

X Р -,к) имеет вырожденную критическую точку , где [c.455]

Две первые главы тома посвящены одному из наиболее продвинутых разделов теории особенностей — вырождениям критических точек функций. [c.9]

Один из наиболее полно изученных разделов теории особенностей дифференцируемых отображений — исследование и классификация вырождений критических точек функций. Функции общего положения имеют только невырожденные критические точки. Более сложные особенности при малых шевелениях функции исчезают, распадаясь на невырожденные. [c.11]

Однако в семействах функций, зависящих от нескольких параметров, вырожденные критические точки появляются неустранимым образом. Например, семейство функций + кх при значении параметра Х,=0 имеет вырожденную критическую точку всякое близкое семейство имеет при близком значении параметра такое же вырождение. При большем количестве параметров в семействах функций возникают все более сложные вырождения. [c.11]

В этой главе описан начальный отрезок классификации критических точек функций. Эта классификация простейших вырождений критических точек оказалась тесно связанной с классификацией простых групп Ли, группами, порожденными отражениями, и группами кос. [c.11]

Критические точки функций делятся на точки общего положения (невырожденные) и вырожденные критические точки. [c.12]

Пример. Функция / = с —Яд имеет при КфО пару невырожденных критических точек + У Л/3 и при Л = 0 вырожденную критическую точку О ( й1с. 1). [c.12]

Стабильная, эквивалентность Для вырожденной критической точки справедливо обобщение предыдущего результата лемма Морса с параметрами. [c.13]

Пример. Усеченной версальной деформацией для f x) = =х является деформация F(x, V) =x + k2x + kix. Этот многочлен имеет вырожденные критические точки в том случае, когда его производная имеет кратные корни, т. е. 27Я, +8Х =. =0. Можно Проверить также, что совпадающие критические [c.22]

Нормальные формы. Классификация простейших вырожденных критических точек дискретна, но сильно вырожденные особенности имеют модули. Поэтому, прежде чем привести списки нормальных форм вырождений особенностей функций, дадим определения классов особенностей и их нормальных форм. [c.24]

Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек. Успехи мат. наук, 1974, 29, № 2, 11—49 [c.236]

В общем случае бифуркационная диаграмма проектирований состоит из трех гиперповерхностей одна — проекция ребра возврата дискриминанта (соответствует вырождению критической точки функции и на гладком многообразии Ух), другая — проекция множества самопересечения (совпадение критических значений функции и на гладком Ух), третья множество критических значений проектирования регулярной части 2 (многообразие особо). [c.59]

Замечание. Совпадение критических значений в двух комплексно-сопряженных вырожденных критических точках Лг определяет на полном страте Максвелла особенность типа конус над трилистником с =Яе а+1Ь) (рис. 63)—как на мгновенном волновом фронте в Я в момент метаморфозы 04 типа пирамида. [c.114]

Вырождения критических точек ограничения этой линейной функции на границу ответственны за порядок величины коэффициентов Д, и, следовательно, за порядок величины остатка Д(А). [c.42]

Теорема ([109]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому (критическому) значению параметра соответствует векторное поле Vq с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки [c.111]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

Итак, фазовые кривые медленного движения являются частями интегральных кривых поля следов построенных выше плоскостей на медленной поверхности. Это поле направлений на медленной поверхности вертикально на линии критических точек проектирования (ибо и поле плоскостей, и касательная медленной поверхности в этих точках содержат вертикаль), и может еще иметь отдельные особые точки на этой линии (не в сборках и не в точках вырождения контактной структуры). [c.176]

Фосфорорганические соединения значительно повышают критические нагрузки и снижают износ при нагрузках меньших, чем критические, однако, заедание в их присутствии носит катастрофический характер и часто заканчивается свариванием трущихся поверхностей [25—27], Фосфорорганические соединения повышают критические параметры вне зависимости от присутствия кислорода, сера- и хлорорганических соединений. Наблюдается непосредственное взаимодействие продуктов разложения фосфорорганических соединений с металлом (или восстановление окисного слоя) с образованием фосфидов, что находится в хорошем соответствии с радиометрическими данными [27—30]. Под влиянием веществ, приводящих к вырождению заедания (кислород, сера-и хлорорганические соединения), смягчается заедание в присутствии фосфорсодержащих веществ [25—27]. [c.160]

Если р х) — градиентное векторное поле с гармоническим потенциалом р, для которого X = о — вырожденная критическая точка, два первых гиага первого метода Ляпунова могут быть выполнены следующим образом. Пусть разложение Маклорена функции ( х) начинается с членов порядка ш + 1, ш 2, ( х) = —. .. Тогда укороченная однородная система имеет вид [c.94]

Таким образом, переход к отношению стабильной эквивалентности не меняет классификахши критических точек функ ций фиксированного числа переменных и позволяет сравнивать вырождения критических точек функций разного числа переменных. [c.14]

Из приведенного примера видно, что бифуркационная диаграмма функций приводима и разбивается на две гиперповерхности лсаустика Si соответствует функциям с вырожденными критическими точками, страт Максвелла Зг — функциям с совпадающими критическими значениями. [c.23]

Пусть f С"—v имеет вырожденную критическую точку а кратности (х. Рассмотрим малое шевеление исходной функции f,=f+гg При подходяще выбранной функции д (можно, например, использовать линейную функцию общего положения), функция fг переменной г будет морсовской при всех достаточно малых значениях параметра е в малом шаре II с центром в а. [c.59]

Ограничение симплектической структуры на страты бифуркационной диаграммы 2 несет информацию о типах вырождений критических точек над этими стратами (например, страт i /2)A2 лагранжев, так как соответствующие ц/2 исчезающих диклов исчезают над ним одновременно и поэтому не пересекаются). [c.107]

Дополнение к бифуркационной диаграмме функций. Рассмотрим в базе версальной деформации Л простой особениости / гиперповерхность S значений параметра А,, при которых фуцкция /"( Я) не мьрсовокая, т. е. имеет вырожденные критические точки или совпадающие критические значения. Пара (Л, S) диффеоморфна прямому произведению усеченной базы версальной деформации с вложенной в нее бифуркационной диаграммой функций S на комплексную прямую С. [c.139]

Пример. Бифуркационная диаграмма особенности Г , . описывается в терминах многочленов z -j-ЯlZ " -l- + ft i2. Страт Лг—многочлены с вырожденной критической точкой, 2Ai — с ссдападающими критическими значениями, А — с кратным нену-леюм корнем, Г >. >.2—с кратным нулевым корнем. [c.86]

Каустики. Рассмотрим в усеченной базе версальной деформации голоморфной функции в конечиократной критической точке множество тех значений параметра, которым отвечает фувкция f неморсовской (вырожденной) критической точкой. Эта часть бифуркационной диаграммы функции называется каустикой. [c.101]

Впрочем, в данном случае легко и явно предъявить соответствующее семейство функций это квадрат расстояния от гочки пространства до точки подмногообразия (параметр — гочка пространства). Каустика такого семейства функций состоит из точек пространства, квадрат расстояния до которых, как функция на подмногообразии, имеет неморсовскую (вырожденную) критическую точку. Эта каустика и есть фокаль-аое множество подмногообразия (фокальная точка является центром кривизны подмногообразия в вырожденной критической точке квадрата расстояния до фокальной точки). [c.103]

Несмотря на определенное восполнение наших знаний о флюидных дисперсных потоках, последние нуждаются в специальных и всесторонних исследованиях. В первую очередь важно детально выяснить качественные изменения в структуре системы. Здесь при повышенных концентрациях необходимо в новых условиях вернуться к проблеме возможного вырождения турбулентности несущей среды, к задаче о распределении локальной и средней истинных концентраций, к необходимости оценить вид и значение критического и оптимального обобщающего критерия (включающего и соответствующие концеИтрации), к методам расчета аэродинамического сопротивления и реологических свойств системы и пр. Иначе говоря, лишь знание гидромеханических свойств флюидных потоков позволит надежно и на основе достаточно общих закономерностей вести их расчет в качестве массо- и теплоносителей. Важность этих задач определяется тем, что именно здесь возможно 264 [c.264]

Поэтому при известном механизме раосеания совместное измерение эффекта Холла и дифференциальной термо-эдс позволяет оценить величину эффективной массы электрона. Кроме того, меняя степень легирования образца, можно проверить, является ли соответствующая зона (свободная >—для образца л-типа, валентная — для р-типа) параболической. Напоминаем, что в качестве грубого критерия вырождения электронного газа принимается совпадение уровня Ферми с дном зоны проводимости (с потолком валентной зоны для полупроводника р-типа), т. е. критическая концентрация электронов, соответствующая началу вырождения, определяется из равенства [c.142]

На самом деле при высоких плотностях (р 10 г/см ) электронный газ становится релятивистским. Поэтому при достаточно большой массе М звезды гравитационное давление (см. (12.37)) будет всегда больше давления релятивистского вырожденного электронного газа. Отсюда следует, что существует критическое значение М р массы звезды, называемое часто чандрасекаровским пределом, выше которого силы давления вырожденного электронного газа не смогут остановить гравитационного сжатия звезды. Численные расчеты показывают, что [c.611]

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням г. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции i(e) и Лг(е) и два семейства решений системы (12е.д е)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в — окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные. [c.203]

Изучены также утки с релаксацией в [126]. Для гладких простых вырожденных уток в R" С. Н. Самборский [96] получил необходимые и достаточные условия существования такой малой (порядка е) деформации функций f и g в уравнении (13е), что у продеформированного уравнения имеется решение, сходящееся к заданной вырожденной утке при е- 0. Эти условия являются условиями сочленения в критической точке р и состоят в следуюещм если касательная к y в точке р н вертикальна, то р)фО, а если вертикальна, то дg дx p)ФQ. [c.207]

Критический тепловой поток ири таком вырожденном переходе к пленочному кипению мало зависит от давления. Это явление изучалось Ваи-Страленом, Линхордом, В. И. Субботиным, Н. Н. Мамонтовой и другими исле-дователямн. [c.207]

Резкое уменьшение диссипативных потерь в обогреваемых каналах наблюдалось в момент достижения кризиса теплообмена в экспериментах по определению критических тепловых нагрузок. Аналогичное явление было обнаружено и в описанных выше экспериментах по определению критического теплового потока в дегазированной воде. Так, на рис. 4.25 в качестве примера приведены зависимости изменения относительной подведенной мопщости лул р, массового расхода G и температуры стенки в выходном сечении канала от времени. В процессе ступенчатого подвода мощности к стенке канала температура ее ступенчато возрастает. Расход сначала остается постоянным, затем начинает уменьшаться вследствие увеличения потерь на трение при движении двухфазной смеси, а при достижении кризисного состояния снова возрастает. Увеличение расхода при достижении кризисной зоны наблюдалось и в опытах Типпетса [52]. Этот факт можно рассматривать как свидетельство того, что в этом случае, так же как в адиабатных каналах, определяющим в формировании критического потока является свойство значительной сжимаемости двухфазного потока. Если в пристенном слое обогреваемого канала реализуется трансзвуковой режим течения, то вырождение турбулентности и переход к ламинарному режиму течения могут служить причиной уменьшения как диссипативных потерь, так и интенсивности теплообмена в кризисной зоне. [c.95]

Ранее [17] установлено, что при критическом истечении однофазной жидкости влияние сжимаемости ок ывается определяющим при протекании процесса в области, автомодельной по числу Рейнольдса (Re), при этом влияние диссипативных сил в околозвуковой области течения становится исчезающе малым вследствие вырождения турбулентности. Однако практическое использование этого эффекта в трубах при движении в них однофазных сред проблематично, прежде всего, из-за большой скорости звука в таких средах. Кроме того, влияние этого эффекта при движении однофазной среды реализуется лишь на очень коротком участке трубы, примыкающем к выходному сечению трубы, так как скорость звука в адиабатном канале постоянного сечения при движении в нем однофазной среды достигается лишь один раз на выходе из канала. Иначе обстоит дело со скоростью звука в двухфазном потоке как показано в [55], при одних и тех же параметрах торможения в зависимости от структуры двухфазного потока и степени термического и механического равновесия фаз в нем скорость звука может меняться в очень широких пределах. Кроме того, в настоящее время теоретически обоснован и экспериментально подтвержден тот факт, что скорость звука в двухфазном потоке при определенном соотношении фаз может оказаться на два порядка ниже, чем в жидкой фазе. Таким образом, трансзвуковой режим течения может быть достигнут на конечном участке длины трубопровода при умеренных значениях скорости звука (несколько десятков и даже несколько метров в секунду). В этом случае коэффициент сопротивления является функцией не только вязкости потока, но и его сжимаемости, определяемой числом Маха. Более того, при движении с околозвуковой скоростью влияние wi nnaTHBHbLX сил становится исчезающее малым вследствие вырождения турбулентности. Уменьшение потерь на трение при больших массовых расходах отмечалось в опытах при движении двухфазной смеси в замкнутых контурах циркуляции [32]. Таким образом, при критическом истечении влияние сжимаемости [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...