Метод эргодических условий

Метод эргодических условий. В параграфе 2.3 зависимость от начального состояния устранялась путем усреднения решений уравнения Лиувилля по начальным моментам или путем добавления бесконечно малого источника, отбирающего запаздывающие решения этого уравнения. Рассмотрим еще один подход к той же самой проблеме, в котором граничные условия накладываются непосредственно на само неравновесное распределение [22]. [c.130]

Это эргодическое условие означает, что в отдаленном прошлом Д/ -частичная функция распределения распадается на произведение одночастичных функций. Иначе говоря, условие (2.4.37) соответствует предположению, что эволюция системы начинается из состояния, в котором отсутствуют корреляции между частицами. Корреляции затем восстанавливаются благодаря динамическим процессам в системе. Фактически точно такое же предположение было использовано Боголюбовым при выводе кинетических уравнений из уравнения Лиувилля [7]. В дальнейшем метод Боголюбова был развит многими авторами (см., например, [35, 57]). Важно подчеркнуть, однако, что эргодическое условие (2.4.36) является значительно более общим, чем условие Боголюбова (2.4.37), так как распределение Qq t) может описывать состояние, в котором уже [c.131]

Соотношение (6.3.100) подсказывает один из возможных способов усовершенствовать метод гриновских функций так, чтобы естественным образом учесть корреляционные эффекты. Для этого нужно сформулировать подходящее граничное условие для статистического оператора (6.3.99) при —оо. Например, мы можем воспользоваться эргодическим условием (см. раздел 2.3.4 в первом томе) [c.60]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Следовательно, при таких плотностях условие эргодичности фактически выполняется. С другой стороны, при достаточно высоких плотностях оно не выполняется, по крайней мере в узком смысле. Нижеследующее рассмотрение этого вопроса основано главным образом на представлениях и терминологии, использованных в статье Зальсбурга и Вуда [80]. Примем предположение, которое, по-видимому, справедливо, хотя и не доказано [67], а именно будем считать, что при 7 = Уо допустимая область [ /Jv (г г, , Г1д-) = 0] (ЗТУ — 3)-мерного конфигурационного пространства точно переходит в (]У — 1) точек, представляющих г. ц. к. конфигурации. (Гексагональная плотноупакованная конфигурация несовместима с заданным значением N и формой Г.) Поскольку в переходах с единичным шагом в каждый момент перемещается только одна частица, очевидно, что в предельном случае высокой плотности М — 1) конфигураций представляют не единый эргодический класс, а (ТУ — 1) различных эргодических классов, каждый из которых содержит лишь одно состояние. Теперь предположим, что, когда V становится немного больше Ко, каждая из этих точек расширяется, переходя в замкнутое гнездо , или область допустимых состояний, причем при достаточно малом расширении с фиксированным числом N каждое такое гнездо изолировано от других. Для того чтобы разумная доля шагов была успешна (таковыми мы считали шаги, для которых пробная конфигурация принимается как следующая конфигурация), параметр максимального смещения б в (13) обычно выбирается из условия б = О а — а). Если V лишь незначительно превышает Уд, то последнее условие соответствует условию 8 а. Это обеспечивает существование изолированного эргодического класса состояний в каждом из (Л — 1) гнезд. Многократный интеграл (1), модифицированный с учетом (34), соответствует усреднению по всем таким гнездам, тогда как случайные блуждания метода Монте-Карло, как мы это ун е видели, воспроизводят среднее значение (/) только по одному гнезду, в котором выбрано начальное состояние. Тем не менее в данном случае оба подхода эквивалентны для любой функции / (х), симметричной относительно перестановки молекул, так как при этом интегралы но различным гнездам идентичны между собой. Большой интерес представляет вопрос, не появятся ли при дальнейшем расширении V при фиксированном числе N другие изолированные гнезда состояний, не эквивалентные гнездам г. ц. к. структуры. Позже, при рассмотрении конкретных примеров, будут даны эмпирические подтверждения того, что они действительно 20-0720 [c.305]

Книга представляет собой сборник переводов недавних работ известного американского математика. В них исследуются топологические и метрические свойства классических динамических систем, удовлетворяющих условию гиперболичности (пернолические траектории, энтропия, инвариантные меры). Исследование проводится методами символической динамики, иитенсивно развивающимися в последнее десятилетие. Теория, излагаемая в книге, интересна своими связями с различными задачами дифференциальных уравнений, эргодической теории, статистической физики. [c.4]

Как утверждают опытные практики (см. [25] и [2.64]), в смысле эффективности вычислений методы Монте-Карло и молекулярной динамики мало отличаются друг от друга. Однако в предельном случае большой плотности оба они наталкиваются на серьезные принципиальные затруднения. В самом деле, рассмотрим гране-центрированную кубическую решетку из почти соприкасающихся твердых шаров. Тогда ни динамическим путем, ни путем случайных блужданий нельзя перейт в какую-нибудь другую конфигурацию, в которой бы, например, некоторые шары поменялись местами или все они образовали другую столь же плотно упакованную решетку, скажем гексагональную с плотной упаковкой. Иначе говоря, здесь нельзя получить полный равновесный ансамбль — траектория в фазовом пространстве будет лишь квази-эргодической. Указанная трудность тесно связана с явлением плавления и с фактом сосуществования метастабильных состояний в условиях квазиравновесия. Избежать эти трудности при машинном моделировании переходов порядок — беспорядок до сих пор не удалось. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...