Эргодическая теория и статистическая механика

Разработка эргодической теории и наведение мостов между детерминированным и стохастическим описанием динамических систем. Эргодическая теория ведет свое начало от гипотезы эргодичности, выдвинутой еще Л. Больцманом. Согласно этой гипотезе в статистической механике усреднение по времени может быть заменено усреднением по ансамблю [56]. Дальнейшие попытки обоснования этой гипотезы привели к созданию сложной и разветвленной эргодической теории, основные этапы развития которой связаны с именами Д. Биркгофа, Дж. фон Неймана, [c.82]

Гипотеза Больцмана позволяет заменять временные средние пространственными и считалась долгое время необходимой для обоснования статистической механики. Б действительности для статистического предельного перехода (число частиц стремится к бесконечности) гипотеза Больцмана (в которой речь идет о пределе, когда время стремится к бесконечности) не нужна. Однако гипотеза Больцмана вызвала к жизни весь анализ стохастических свойств динамических систем (так называемую эргодическую теорию), и ее доказательство служит мерой зрелости этой теории. [c.281]

Важная книга Рюэля [281] содержит наиболее полное изложение связей между символической динамикой, эргодической теорией и дифференциальной динамикой, основанное на некоторых идеях статистической механики. Центральную роль в развитии этих идей сыграла более ранняя основополагающая статья Синая [304]. [c.722]

Этот результат был сформулирован в виде предположения, получившей название эргодической гипотезы . Она вызвала оживленные дискуссии, положившие начало эргодической теории, когда эргодичность не была ни доказана, ни опровергнута. Но ценность эргодической проблемы для статистической механики, возможно, была преувеличена нас интересует асимптотическое поведение газа при —) оо (ЛГ — число частиц), а не при фиксированном ЛГ и +оо. [c.79]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.). [c.142]

В этой главе мы доказываем некоторые из центральных результатов эргодической теории гиперболических динамических систем. Существуют два специальных вида инвариантных мер для гладких динамических систем меры с максимальной энтропией и гладкие меры. Мы покажем, что для гиперболических систем эти меры являются частными случаями равновесных состояний, представляющих собой аналог мер Гиббса в статистической механике. Первые четыре параграфа этой главы посвящены анализу равновесных состояний, который завершает в данной книге тему, начатую в гл. 18 и 19, причем особое внимание уделяется вышеупомянутым специальным мерам. В качестве двух основных инструментов этого анализа используются спецификация и теорема Лившица. [c.616]

Отказываясь от механического описания системы в целом, мы опускаем и обсуждение так называемой эргодической проблемы, т.е. опроса о сопоставлении среднего по времени F со средним по распределению F. В некоторых частных проблемах (см. например, теорию случайных процессов в томе 3) этот вопрос действительно актуален, и он там решается. В общем же смысле, это проблема скорее философская, так как она включает в себя вопрос о сопоставлении двух разных подходов (механического и статистического), основывающихся на несовпадающих системах исходных аксиом. В чистой постановке в целом — это сложная, выходящая за рамки наших возможностей проблема, требующая отдельного рассмотрения и отошедшая теперь во владение к математикам. Выделение из всех статистических систем класса эргодических или еще какой-либо частный результат подобного типа вряд ли может удовлетворить физика, не перестающего интуитивно отождествлять (так сказать, по построению ) наблюдаемые им на практике величины со средними значениями, получаемыми в рамках реально работающей теории (т. е. не основывающейся на только в принципе существующих, но неизвестных нам точных решениях механики) как средними по распределению, тем более что сами величины упомянутых наблюдаемых измеряются пусть с помощью очень совершенных, но все же реальных приборов, показания которых никак не соответствуют в чистом виде среднему по времени в силу конкретных их конструктивных особенностей, их размеров, инерционности и т.д. и т. п. [c.20]

Суть проблемы состоит в обосновании принципа равной вероятности состояний. Многих физиков не удовлетворяет доказательство эргодической теоремы, о котором говорилось в гл. 1, 3, и отступлении 4. Математическое доказательство теоремы носит слишком общий характер и не использует характерные физические свойства тех динамических систем, которые рассматриваются в статистической механике. Поэтому мы склонны думать, что в этом доказательстве в действительности упущены какие-то основные свойства физических систем, благодаря которым статистическая механика оказывается справедливой. Можно предполагать, что соответствие между реально наблюдаемыми величинами и значениями, вычисленными при помощи теории вероятности, объясняется огромным числом частиц, из которого состоят реальные системы. Хотя такое интуитивное соображение, возможно, и верно, полной ясности в этом вопросе пока еще нет. [c.191]

Рассмотрим фазовую функцию х 1), т. е. функцию, зависящую от времени через динамические переменные, определяющие состояние, или фазу системы. Если фазовые корреляционные коэффициенты р(т), связывающие х (О и х(/- -т), обладают свойством р(т)->0 при т->оо, то функция х (/) есть эргодическая, т. е. ее среднее по времени равно ее фазовому среднему (по поверхности постоянной энергии) для почти всех начальных условий на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве. Фактически для доказательства эргодической теоремы необходимо показать, что корреляционная функция р(т) ведет себя именно нужным образом. Хинчин приводит интуитивные соображения, подтверждающие такое поведение x t) для случая, когда х 1) представляет собой фазовую функцию, зависящую от небольшою числа динамических переменных (координат одной молекулы), в системе с очень большим числом степеней свободы, т. е. с очень большим числом молекул. Однако необходимое свойство корреляционной функции является характерным для необратимого процесса, и его следует установить вполне строго, прежде чем доказывать таким путем эргодическую теорему. Мы исследуем здесь возможность обращения теоремы Хинчина, т. е. изучим, когда и при каких дополнительных условиях из эргодического характера фазовой функции следует ее необратимость, выражаемая асимптотическим поведением корреляционной функции р(т)->0 при т->оо. Это означает, что мы хотели бы изучить возможность получения статистической механики необратимых процессов, исходя из эргодического постулата, точно так же, как это делается в статистической механике равновесных процессов. В этой связи нас не интересует, является ли эргодическое свойство общим динамическим свойством или оно справедливо лишь в том случае, когда [c.305]

Обсудим теперь вопрос, в какой степени результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть применены к статистической механике процессов, зависящих от времени. Обычно при обосновании статистической механики равновесных явлений, постулируют, что для изолированных механических систем с заданной энергией рассматриваемые динамические функции являются эргодическими. Этот постулат означает, что среднее по времени от динамических функций почти для всех начальных условий равно их среднему по поверхности постоянной энергии (по микроканоническому ансамблю). Мы обсудим здесь вопрос о том, можно ли построить на этой же основе теорию необратимых процессов. Процессы x(t), рассматриваемые в статистической механике (т. е. зависимость от времени динамических переменных J ), являются эргодическими в смысле, указанном в 3, если символ Ж, используемый в 2 и 3. считать обозначением среднего по микроканоническому ансамблю. Кроме того, они являются стационарными в силу стационарности микроканонического ансамбля. Далее, можно предполагать, что для обычных типов гамильтонианов эти процессы удовлетворяют самому слабому требованию относительно непрерывности, т. е. являются непрерывными в среднем. Это эквивалентно предположению, что процессы являются непрерывными в том смысле, что их корреляционные функции всюду непрерывны. Таким образом, если бы нам удалось [c.313]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

В дополненне к приведенному списку литературы можно рекомендовать обзор [14], в котором значительное место уделяется эргодической теории гладких динамических систем гиперболического типа я связяхс эрге-лической теории со статистической механикой. Б частности, топологические цепи Маркова и гиббсовские меры рассматриваются в 3 гл. 2 этого обзора. [c.39]

Данные заметки состоят из четырех разделов. Сначала мы изучим статистические свойства гиббсовских мер. Эти меры на пространстве последовательностей возникают в современной статистической механике оии интересуют нас постольку, поскольку являются решением задачи о восстаиов-ленни инвариантной меры, если она в некотором смысле приближенно известна. Гиббсовские меры удовлетворяют также вариационному принципу, нажность которого определяется тем, что он применим в более общих пространствах, чем пространство последовательностей. Исходя нз этого принципа мы строим термодинамический формализм на компактных простраиствах, чему посвящен второй раздел. В третьем вводятся диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, и для них строится символическая динамика, т. е. выясняется, как они связаны со сдвигом на пространстве последовательностей. В последнем разделе с помощью символической динамики изучается эргодическая теория диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме Л. [c.10]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

Взаимоотношение между идейными основами законов (63) и (64) в большей части наличных руководств не выявляется, к сожалению, с достаточной ясностью. Так, часто говорят о том, что идейным основанием статистической механики может служить либо эргодическая теория, приводящая к закону (63), либо гипотеза канонического распределения , т. е. закон (64), вводимый в постулативном порядке, и что в конечном счете обе исходные точки приводят к одним и тем же расчетным формулам. [c.77]

Таким образом, либо мы должны отказаться от основанной целиком на классической механике теории статистических систем, либо, в противоречии с возникшим из опыта убеждением в полной применимости вероятностного описания, считать, что эти явления не подчиняются никакой вероятностной схеме, имеют алгорифм, и лишь имитируют некоторые свойства вероятностных рядов (Мизес [13], стр. 530). Исходя из вероятностного характера изменения энтропии, Мизес пришел к заключению, что дифференциальные уравнения механики (в частности, эргодическая гипотеза) не могут рассматриваться как основа для построения статистической физики [8J. Мизес предложил чисто вероятностную схему описания процессов в статистических системах (схему типа цепей Маркова [14 ), но совершенно не ставил вопрос о связи этой схемы с принципами микромеханики. [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...