Разложение меры на эргодические компоненты

Доказательство. Согласно вариационному принципу для энтропии (теорема 4.5.3) существует такая /-инвариантная борелевская вероятностная мера ц, что )>0. Пусть — разложение на эргодические компоненты меры /х по [c.665]

Следствие 4.3.17 верно, даже если две меры взаимно не сингулярны. Это может быть доказано с помощью разложения меры на эргодические компоненты (см. теорему 4.1.12), которое дает единственное представление инвариантной меры как интеграла по эргодическим мерам (таким образом, множество инвариантных мер в сущности представляет собой симплекс). Однако зависимость метрической энтропии от меры довольно тонка, поскольку она нередко не является непрерывной (в слабой топологии). Сосуществование этой линейности с отсутствием непрерывности связано с тем обстоятельством, что даже на множестве эргодических мер энтропия не непрерывна например, слабый предел периодических атомарных мер может обладать положительной энтропией. [c.182]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...