Ансамбль эргодический

ВВЕДЕНИЕ МАЛЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Л-УГ-АНСАМБЛЯ МЕТОДЫ NpT-АНСАМБЛЯ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕТАЛИ СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА И РОДСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТВЕРДЫЕ СТЕРЖНИ ТВЕРДЫЕ ДИСКИ ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ СМЕСИ ТВЕРДЫХ СФЕР МОЛЕКУЛЫ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЫ ПО-ТЕНЦИАЛ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА И ПОДОБНЫЕ ЕМУ ЗАКЛЮЧЕНИЕ [c.275]

Методом Монте-Карло принято называть такие методы, в которых точное динамическое поведение системы заменяется стохастическим процессом. В методе Монте-Карло система совершает случайные блуждания по конфигурационному пространству, причем за начальное состояние принимается некоторое регулярное расположение частиц. Каждому состоянию приписывается определенная вероятность, и система после совершения некоторого количества шагов становится равновесной. В ММК статистические средние получаются как средние по различным конфигурациям. Возможность отождествлять усреднение по времени и по ансамблю в ММК определяется эргодической теоремой. Для рассматриваемой системы предполагается наличие периодических граничных условий. Если смещение выводит частицу за пределы кубического объема, то она входит в него с противоположной стороны. [c.183]

Когда образцы статистически однородны, мы обычно привлекаем эргодическую гипотезу и предполагаем, что средние по объему совпадают со средними по ансамблю. Среднее по объему обозначается ломаными скобками ( ) и определяется так [c.251]

В разд. II были приведены два вариационных принципа (см. уравнения (10) — (19)), которые позволяют найти границы для е. Эти принципы были сформулированы в терминах средних по объему, но их можно переформулировать в терминах средних по ансамблю, поскольку при определении е предполагалось, что справедлива эргодическая гипотеза [4]. Более того, е определяется равенством (13) через энергию [c.267]

Вопрос о принадлежности стационарного случайного процесса к эргодическим процессам обычно решается на основе физических соображений или предварительной обработки ансамбля реализаций. [c.272]

В принципе имеются два пути решения проблемы. В первом случае можно предположить, что функция известна на большом отрезке времени (пространства). Исходя из этого, определяют функции распределения вероятностей, используемые для нахождения значений, усредненных по времени и пространству. Во втором случае мы имеем ансамбль подобных функций. При этом также определяются функции распределения вероятностей, но теперь уже путем исследования всех данных ансамбля. Затем эти функции распределения используются для нахождения средних значений по ансамблю. Предположение о том, что процесс является эргодическим, в принципе позволяет нам утверждать, что усреднения по координатам и по ансамблю должны давать один и тот же результат. Таким образом, перейдем теперь к определению корреляционных функций при этом будем полагать, что сигналы являются эргодическими стационарными, и средние значения будем определять только по пространственным координатам. [c.84]

Это равенство говорит о том, что безразлично, какой параметр брать в более поздний момент. (Усреднение в (3) и в (4) производится по микроканоническому ансамблю. Однако в соответствии с эргодической гипотезой его можно понимать и как усреднение по времени, если следить за изменениями состояния одной системы.) Поскольку при малых т [c.242]

Эргодическая гипотеза утверждает, что для определения эффективных характеристик материала не нужно проводить усреднение по ансамблю, а достаточно провести усреднение по объему образца V. Поэтому под эффективными свойствами неоднородных материалов в дальнейшем будем понимать материальные характеристики С, связывающие два тензорных поля, усредненных по объему V (обозначим их и <у> >), линейными соотношениями, т. е. [c.7]

В 1.2 на основании эргодической гипотезы утверждалось, что для определения эффективных свойств неоднородного материала не нужно проводить усреднение по ансамблю, а достаточно провести усреднение по объему образца V. В этом случае обе структуры (рис. 2.1) являются адекватными, так как обладают одинаковыми средними структурными характеристиками, а именно размерами включений и расстояниями между ними формой и объемными концентрациями условиями взаимодействия между компонентами. Заметим, что при вьщелении элементарной ячейки не обязательно переходить к упорядоченной структуре. [c.24]

В статистической механике предполагается, что средние по статистическому ансамблю совпадают с наблюдаемыми значениями физических величин, которые на самом деле являются средними по времени для единственной рассматриваемой системы. Это предположение называется эргодической гипотезой. Проблема обоснования эргодической гипотезы весьма трудна даже в равновесном случае, когда время усреднения может быть сколь угодно большим [53, 131]. Если же мы имеем дело с неравновесными ансамблями, то время усреднения не может превышать характерное время, за которое изменяются величины, описывающие макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, время усреднения должно быть достаточно большим, чтобы наблюдаемые физические величины можно было трактовать как средние по многим микроскопическим состояниям. Таким образом, одной из основных проблем в неравновесной статистической механике является построение ансамблей, правильно описывающих неравновесные состояния на различных шкалах времени. Эта проблема будет подробно рассмотрена в главе 2. [c.15]

Если процесс является эргодическим, то усреднение по ансамблю может быть заменено усреднением по времени и вместо (14.7) можно написать [c.84]

Разработка эргодической теории и наведение мостов между детерминированным и стохастическим описанием динамических систем. Эргодическая теория ведет свое начало от гипотезы эргодичности, выдвинутой еще Л. Больцманом. Согласно этой гипотезе в статистической механике усреднение по времени может быть заменено усреднением по ансамблю [56]. Дальнейшие попытки обоснования этой гипотезы привели к созданию сложной и разветвленной эргодической теории, основные этапы развития которой связаны с именами Д. Биркгофа, Дж. фон Неймана, [c.82]

Как известно, макроскопическое описание подразумевает усреднение по времени отвечающему микроскопическим флуктуациям в распределении атомов п т,Ь). Согласно эргодической гипотезе, для выполнения этого усреднения следует ввести эффективный ансамбль потенциальных рельефов 7(г) , представляющий флуктуирующий рельеф [c.227]

Для эргодического случайного процесса средние по времени и по ансамблю равны и взаимозаменяемы. [c.72]

Выше уже указывалось, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентных течений имеют столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет неполным , так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес представляют, в первую очередь, средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин обладали некоторыми эргодическими свойствами. Последнее условие в дальнейшем также всегда будет предполагаться выполняющимся. [c.225]

Почти все представляющие интерес стационарные случайные нагрузки обладают также свойством эргодичности. Это значит, что достаточно продолжительные реализации этих нагрузок содержат практически всю информацию о статистических свойствах процесса. Для эргодических случайных процессов осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением по времени. В частности. [c.524]

Здесь уместно отбросить ограничение, в соответствии с которым мы рассматривали лишь системы с твердой сердцевиной. Рассмотрим для начала ту же кубическую систему с N = 4/г , но пусть теперь парное взаимодействие имеет вид потенциала Леннарда-Джонса (6, 12). При этом в (3iV — 3)-мерном конфигурационном пространстве будут области меньшей размерности ( плоскости по терминологии многомерной геометрии), где С/д. = оо, как, например, геометрическое место точек, в которых Тц = Тц, i Ф ]. По отношению к исследуемым (ЗЛ — 3)-мерным объемным интегралам эти состояния обладают мерой нуль, однако нетрудно убедиться в том, что они не могут разделить пространство на замкнутые изолированные гнезда. Поэтому с чисто формальной точки зрения рассматриваемые цепи Маркова для подобных потенциалов являются эргодическими. Однако с точки зрения численных расчетов это пе так, ибо при высоких плотностях точки минимальных значений потенциала Uff (например, для г. ц. к. конфигурации) разделены высокими пиками, хребтами и перевалами поверхности Ujy. Поэтому точка состояния системы будет иметь тенденцию остаться в том же относительном минимуме, в котором было задано начальное состояние, а если начальное состояние находилось в области с высокой энергией, то в первом же минимуме, в который состояние придет в процессе вычислений. Аналогичное замечание справедливо и относительно метода NpT-ансамбля для твердых сфер формально при любом приведенном давлении ф существует отличная от нуля вероятность флуктуации с любым сколь угодно малым значением плотности, при котором возможны произвольные конфигурации, поэтому формально система является эргодической. Однако с вычислительной точки зрения это может быть не так, ибо вероятность требуемой флуктуации может оказаться слишком малой. [c.306]

Учтем, что предел 5— -оо соответствует усреднению по времени 5 за бесконечно большой промежуток времени. Но, согласно эргодической теореме [16], среднее по времени равно среднему по ансамблю. Следовательно, [c.331]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Эргодическая гипотеза, впервые выдвинутая Больцманом, утверждает, что среднее по времени от макроскопической величины в равновесных условиях совпадает со средним по ансамблю. До настоящего [c.225]

Когда это среднее равно среднему по ансамблю, говорят, что рассматриваемый случайный процесс является эргодическим. Шумовые процессы, которые будут здесь рассмотрены, практически все являются эргодическими. [c.14]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

Если принять такую точку зрения, то эргодическая теорема очень сильно упрощала бы проблему вычисления средних величин. В самом деле, если такая теорема справедлива, то практически неразрешимая динамическая задача вычисления среднего значения величины Ь по траектории (в свою очередь подлежащей определению) для одиночной системы заменяется гораздо более простой задачей вычисления среднего значения этой же величины по энергетической поверхности. Последний метод приводит к весьма привлекательной физической интерпретации. Концепция меры, которая играет столь важную роль в эргодической теории, является столь же решающей и для теории вероятности. Таким образом, мы приходим к заключению, что к динамической величине Ъ можно подходить как к случайной переменной. Вместо одной системы рассматривается бесконечное количество тождественных копий этой системы, распределанных непрерывно по фазовому пространству. Множество таких систем называется ансамблем. Плотность распределения изображающих точек F (х) интерпретируется как плотность вероятности нахождения интересуюш ей нас системы в данной точке фазового пространства. (Иными словами, мера области в фазовом пространстве интерпретируется как вероятность нахождения системы в данной области.) Поскольку полная мера всего фазового пространства равна единице, система определенно находится где-то в доступном ей фазовом пространстве. Макроскопическая динамическая величина В теперь определяется как [c.384]

Макроскопическая величина представляет собой среднее по времени значение микроскопической величины, причем усреднение производится по бесконечному врежни. Согласно эргодической теореме, такое усреднение по времени может быть заменено статистическим усреднением по ансамблю, однородно распределенному по энергетической поверхности. [c.385]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

Из соотношения (1.1) и табл. 1.1 следует, что для определения эффективных характеристик неоднородного материала (НМ) необходимо определить распределение физических полей во всех компонентах (столбцы 2 и 3), а потом уже перейти к квазигомогенной среде (столбец 4). Ясно, что это очень трудная задача, для решения которой требуется детальная информация о геометрии, ориентации и расположении всех составляющих компонентов неоднородного материала. Воспользуемся эргодической гипотезой, согласно которой среднее по объему совпадает со средним по ансамблям. Иными словами, допускается, что эффективные свойства неоднородного материала не зависят от исследуемого образца, пока все образцы материала имеют одинаковую в статистическом отношении структуру. Итак, для определения эффективных свойств НМ нужна только статистическая информация о его внутренней структуре, которая не одинакова для различных образцов, полученных при близких условиях. [c.6]

Последнее заключение уже может быть непосредственно сопоставлено с опытом. Чтобы представить себе результат сравнения, достаточно учесть, что именно установление равномерного распределения на поверхности заданной энергии (при эргодическом мероопределении) характеризует произошедшую в системе релаксацию. Если бы в действительности— в полном реальном ансамбле — системы были бы равномерно распределены на поверхности заданной энергии, то практически возможность встретить систему в неравновесном состоянии была бы совершенно исключена это было бы столь же мало вероятно, как и возможность встретить систему в неравновесном состоянии после времени релаксации. (Мы говорим здесь о вероятностном распределении систем в реальном ансамбле, забывая о том, что, согласно 13, это незаконно указанный вероятностный закон следует себе представить, например, подобно вероятностному закону в реальном ансамбле, образованном колодой карт, в примере 13 в настоящем параграфе мы ставим себе целью, следуя за обычным ходом рассуждений в классической теории, выяснить возможности, предоставляемые использованием понятия реального ансамбля, независимо от аргументации 12 и 13.) В действительности мы находим сколько угодно систем, не находящихся в состоянии равновесия констатируем наличие разностей температур частей тела или различных тел, наличие разностей давлений и концентраций и т. д., одним словом,— наличие всевозможных кинетических процессов, свидетельствующих об отсутствии термодинамического равновесия в тех системах, в которых они происходят. Таким образом, сделанные нами предположения приводят нас к выводу о практической невозможности (ничтожно малой вероятности) явлений, наблюдаемых в действительности. Следовательно, наши предположения должны быть отвергнуты. [c.76]

Теперь ясно, что понятие временной когерентности связано со способностью двух световых лучей, обладающих относительной задержкой, создавать интерференционную картину. Заметим, что во всех предыдущих определениях усреднение производится по временн. Если же рассматриваемые случайные процессы являются эргодическими, то вместо этого можно производить усреднение по ансамблю. Кроме того, в ряде случаев приходится, имея дело с неэргодическимп волновыми полями, проводить только усреднение по ансамблю (гл. 7, 5, п. Б). Б следующем пункте мы более детально исследуем связь между интерферограммой и спектральной плотностью мощности светового луча. [c.161]

В предыдущих параграфах и главах световые волны рассматривались как эргодические случайные процессы. Иначе говоря, предполагалось, что среднее по времени тождественно равно среднему по ансамблю и, стало быть, эти два типа процесса усреднения можно произвольно заменять один другим. Существенно, что если на оптически шероховатый объект падает монохроматический свет, то отраженные волны уже нельзя рассматривать как эргодически случайный процесс, ибо средние по времени и по ансамблю уже не совпадают. [c.332]

Измерение нестационарных плотностей распределения, как видно из приведенных выражений, представляет собой задачу большой экспериментальной сложности даже для одномерной плотности распределения. Эта сложность обусловлена необходимостью перебора случайных величин по времени и по ансамблю реализаций. В общем случае требуется осреднение по ансамблю выборочных реализаций. Практически нестационарный случайный процесс представляет одна, максимум две-три реализации. В такой ситуации весьма ве шко желание подходить к нестационарному процессу как к эргодическому стационарному. В отдельных случаях осреднение по времени приводит к физически содержательным оценкам. Однако в большинстве случаев осреднение только по времени приводит к сильно искаженным оценкам, в частности при определении плотности распределения вероятности. Проиллюстрируем сказанное Ьледующим примером [2]. Рассмотрим некоторый случайный процесс при этом половина имеющихся реализаций представляет собой выборку из стационарного нормального процесса с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а , а вторая половина реализации отличается от первой только значением дисперсии ст > ст . Другими словами функция p(t) представима в форме ступеньки в диапазоне О-Г [c.19]

Используя предположения предыдущей задачи, перейдем теперь к упрощенному доказательству эргодической теоремы, т. е. к доказате.тгьству того, что средние по времени равны средним по ансамблю [1]. Рассмотрим фазовую функцию / Р), являющуюся функцией фазовых точек Р в Г-пространстве. Ее среднее по времени /, являющееся физически измеримым средним, определяется выражением [c.611]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...