Биллиард эргодический

Значительное внимание уделено интегрируемым биллиардам. Кроме известных интегрируемых задач (эллиптический биллиард, биллиарды в аффинных камерах Вейля) указаны новые гармонический осциллятор внутри эллипса, некоторые биллиарды на поверхностях постоянной кривизны и ряд других. Обсуждается проблема интегрируемости систем биллиардного типа. Дан краткий обзор работ по биллиардам с эргодическим поведением. [c.5]

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БИЛЛИАРДОВ [c.145]

С наглядной точки зрения биллиард в М эргодичен, если почти все его траектории проходят сколь угодно близко к любой заданной точке М с направлением, сколь угодно близким к любому заданному. Введем в рассмотрение слабо эргодические биллиарды., когда почти все траектории всюду плотны в М. Ясно, что эргодические биллиарды слабо эргодичны обратное неверно. Примером служит биллиард в квадрате любая траектория с иррациональным тангенсом угла наклона всюду плотна в нем, однако каждая траектория состоит из отрезков только двух направлений. [c.146]

Теорема 4 (В. Ф. Лазуткин [26]). Если граница дМ является регулярной выпуклой кривой класса гладкости С , то биллиард в М не является слабо эргодическим. [c.146]

Рассмотрим теперь биллиарды в многоугольниках. Даже в выпуклом случае для них не справедлива теорема В. Ф. Лазуткина. Несмотря на кажущуюся простоту, задача изучения эргодических свойств биллиардов в многоугольниках в настоящее время остается открытой. Упомянем некоторые наиболее известные результаты в этой области. [c.147]

Биллиард в М называется транзитивным, если найдется хотя бы одна точка г з6T такая, что ее орбита 1 Р (г1 ) всюду плотно заполняет Т . Эквивалентное определение найдется траектория биллиарда, проходящая сколь угодно близко к любой заданной точке М с направлением, сколь угодно близким к любому заданному. Эргодические биллиарды, очевидно, транзитивны. [c.147]

Имеются эргодические биллиарды, не являющиеся рассеивающими. Регулярная компонента границы биллиарда, выпуклая вовне (внутрь) М, называется фокусирующей (рассеивающей). [c.148]

Теорема 8 (Л. А. Бунимович [11]). Биллиард в М является эргодическим, если выполнены следующие условия [c.148]

В работе Л. А. Бунимовича [47] приведены примеры эргодических биллиардов, у которых граница дМ вообще не имеет рассеивающих компонент. Самым популярным среди них является стадион его граница составлена из двух полуокружностей и двух касательных к ним отрезков (рис. 50). Этот биллиард выпуклый, а его граница имеет гладкость С (ср. с теоремой 4). [c.148]

Можно (Показать [23], что мера ц, инвариантна относительно группы Г , и, тем самым, биллиард является потоком в смысле эргодической теории. М обычно называют фазовым, а Q — конфигурационным пространством биллиарда. [c.175]

Проблема изучения эргодических свойств биллиардов в произвольных многоугольниках (и, тем более, многогранниках) в настоящее время остается открытой. Основные имеющиеся здесь результаты даются следующими двумя утверждениями ([54], [23]). [c.177]

Оказывается, что изучение эргодических свойств биллиардов важно и для некоторых задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. [c.178]

В связи с этим рассеивающие биллиарды естественно относить к классу неравномерно полно гиперболических систем (см. гл. 7, 1). Можно показать, что построенные локальные многообразия обладают свойствам абсолютной непрерывности (см. гл. 7, 3). Отсюда, согласно общей теории для НПГ-систем (см. гл. 7, 3), сразу вытекает, что эргодические компоненты рассеивающего биллиарда имеют положительную меру, его энтропия положительна и на почти каждой эргодической компоненте поток Т является /С-потоком. [c.183]

Основные классы эргодических биллиардов с фокусирующими компонентами были изучены в работах [15], [56]. [c.190]

Отметим в связи с этим интересную работу [51], в которой численно исследовался переход от биллиарда в круге к биллиарду в стадионе, происходящий при непрерывной деформации границы области. В частности, в этой работе показано, что при. таком переходе метрическая энтропия возрастает, но не монотонно, что, по-видимому, связано с возникновением у системы в некоторый промежуточный момент рассматриваемого перехода нескольких эргодических компонент положительной меры. [c.191]

Биллиард в М назовем эргодическим, если нельзя разбить в сумму двух непересекающихся измеримых областей положительной меры, инвариантных относительно отображения Ч . Тор Т является топологическим пространством со счетной базой окрестностей, причем каждое его непустое открытое подмножество имеет положительную меру. Поэтому, как доказывается в эргодичес-кой теории, в предположении эргодичности для почти всех (ф1, фг) =1 зеТ2 траектория точки г ) (т, е. последовательность Ч "(г )) о°) всюду плотна на Р (см., например, [25 53]). [c.146]

Полезно иметь в виду следующее эквивалентное определение эргодичности всякая инвариантная относительно отображения Y функция F (т. е. F(4 (г ))) ( 1 ) для почти всех зеТ ) почти всюду константа. Следовательно, эргодические биллиарды неинтегрируемы отсутствуют нетривиальные дополнительные измеримые (а не только гладкие или непрерывные) интегралы. [c.146]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

А. И. Шнирельман [47] показал, что для эргодических биллиардов носители собственных функций оператора Лапласа в Q при Я,- сю в определенном смысле заполняют всю область. [c.179]

Эргодические свойства билл иардов в областях евклидова пространства (Q zR ) и на торе с евклидовой метрикой определяются свойствами границы dQ. В частности, биллиарды в областях Q с выпуклой внутрь Q границей, являются гиперболическими динамическими системами. [c.179]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Основная теорема эргодической теории биллиардов 1в4 Особые точки границы 174 Отображение Лозя 203 [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...