Эргодические теоремы небесной механики

Эргодические теоремы небесной механики [c.88]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

Книга Дж.Биркгофа Динамические системы наряду со знаменитым сочиисписм Пуанкаре Новые методы небесной механики оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 ( ) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам И. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство пробивной силы Биркгофа. Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, ои сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега. [c.10]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...