Решение для бесконечного пространства

Это равенство показывает, что решение Н уравнения (11.1) выражается через свободный член и значения Н на 5/ , коль скоро известна функция Грина для бесконечного пространства. Трудность здесь, конечно, состоит в том, что значения Н на границе не известны (в простейшем случае, когда в (2.14) А = О, Ь известна для -п > О, но не для -п < 0). [c.243]

Представления (3.3) позволяют получить решения некоторых задач (например, задачи для бесконечного пространства с круговой щелью или со щелью вдоль полуплоскости) в квадратурах. [c.596]

Первая задача состоит в удовлетворении произвольным смешанным начальным условиям на торце полубесконечного цилиндра. Вторая задача — вычисление зависимости от времени деформаций на некотором расстоянии от начального возмущения. В первой задаче произвольные напряжения на плоскости, перпендикулярной z, разлагались в линейную сумму частных решений для бесконечной пластинки или цилиндра. Частные решения находились методом разделения переменных или методом преобразований Фурье. При этом произвольные напряжения на плоскости, перпендикулярной 2, можно было представить как сумму напряжений, соответствующих каждому частному решению, при условии, что эта сумма сходится и что система частных решений полная. Коэффициенты этой суммы вычислялись при помощи использования свойств ортогональности двойного функционального пространства из пространства решений. В этом методе трудно было решить, какие из решений, соответствующих допустимым значениям у, должны быть отобраны. [c.180]

Решение для случая зеркального отражения на плоской границе можно получить, введя в бесконечное пространство бесконечную плоскость с поверхностными токами в качестве источников поля. Если за поверхность тела взять поверхность ж = 0, то плоскость поверхностных токов должна быть такова, чтобы Ну — Н при -fO и = о [c.723]

Чисто математический подход к задачам теории упругости приводит к необходимости рассматривать решения для таких абстрактных (но часто употребляемых в математической физике) областей, которые имеют неограниченную протяженность (как-то пространство с полостями, где ограничивающие поверхности являются замкнутыми), а также для областей, ограниченных простирающимися в бесконечность поверхностями (например, полупространство). Уже обращалось внимание на специфические особенности, возникающие при решении задач для этих областей (например, в 1 говорилось о теореме единственности для подобных областей). [c.303]

При фактических вычислениях мы будем исходить из решения ( 9.3), полученного для бесконечного упругого пространства. Самый прямой II, казалось бы, естественный путь вычисления величины Uo U заключается в следующем. Для тела, не содержащего трещины, Ti = 0, Тэ = То, следовательно, [c.287]

Трехмерные задачи, включающие большое число обтекаемых объектов, могут также приводить к парадоксам, аналогичным парадоксам Стокса для двумерной задачи. Так, в случае падения неограниченной бесконечной полосы или цепочки одинаковых равноотстоящих сфер уравнения Стокса приводят к бесконечной скорости осаждения. Действительно, Смолуховский [59] показал,, что в общем случае не существует ограниченного решения для течения с совокупностью бесконечного числа частиц, занимающих все пространство. [c.67]

Известно, что при так называемой свободной диффузии, т.е. диффузии в бесконечное пространство, плоскость с постоянной концентрацией в зтом пространстве движется по параболическому закону. Решением второго зфавнения Фика для этого случая является соотношение [c.121]

Теорию, изложенную в общих чертах в разд. 6, можно применить для аналитического решения задач о сдвиговом течении газа в полубесконечной и бесконечной областях. Можно решить, например, следующую задачу. Пусть два полупространства разделены плоскостью л = О, и пусть первоначально газ в обеих областях имеет одинаковую плотность ро и температуру Го, но в области л > О он равномерно движется в направлении г со скоростью У, а в области л < О — в том же направлении со скоростью — V. Требуется найти эволюцию газа, включая сглаживание и диффузию разрыва скорости. Задачу можно решить [25], используя теорему полноты во всем пространстве для построения преобразования Лапласа. Можно даже получить аналитическое обращение преобразования Лапласа и записать решение для массовой скорости в виде [c.346]

Мы переходим теперь к изучению решения уравнения Aq> = О, которое конечно в бесконечности и для пространства вне эллипсоида, а для внутреннего пространства соответствует решению <р = х. Следуя аналогии со сферическими функциями, мы можем положить в виде пробы [c.190]

Совместное решение уравнения теплопроводности с начальными и граничными условиями для бесконечной стенки (полу-бесконечное пространство) позволяет получить зависимость для нахождения температуры Т° К через t сек после мгновенного изменения температуры поверхности в любой точке стенки, отстоящей на расстоянии л л от ее поверхности [c.111]

При решении этой задачи С. В. Вонсовский [3] предполагал, что однородная ферромагнитная среда заполняет все бесконечное пространство, она однородно намагничена и в ней имеется единственный дефект заданной формы, и определил момент эквивалентного диполя для дефектов правильной сферической формы, волосовины и узкой трещины, плоскость которой перпендикулярна к полю намагничивания. [c.10]

Р. А. Шиповым [36] получено точное решение для случая круглой полубесконечной трубы с бесконечно тонкими стенками при наличии во всем пространстве равномерного однородного потока газа в направлении оси трубы, с числом Маха равным М. [c.145]

В монографии В. М. Александрова, Д. А. Пожарского [4] 3 в главе III также посвящен анализу задачи о клиновидном штампе на упругом полупространстве. Полученное авторами решение содержит сильную осциллирующую особенность у контактных давлений в вершине остроугольного штампа. Такая особенность впервые была обнаружена в работе [3 . Асимптотический анализ задачи о клиновидном разрезе малого угла раствора в бесконечном пространстве показывает, что для штампа, угол которого близок к 360°, осцилляции контактного давления, обнаруженной для штампа малого угла раствора, не существует. [c.142]

Постановка [33] допускает наличие сферической полости в полупространстве, с которым сцеплен круговой штамп. Решение задачи ищется обобщенным методом Фурье, с использованием наборов точных решений для полупространства и пространства с полостью. В результате задача сводится к системе парных интегральных уравнений, которые, в конечном счете, преобразуются в бесконечную систему алгебраических уравнений. [c.244]

В главе будут изложены методы решения и результаты решения некоторых статических контактных задач для бесконечного упругого кругового цилиндра, упругого пространства с бесконечной цилиндрической круговой полостью, а также для упругой круглой плиты. [c.81]

Задачи о равновесии бесконечного кругового цилиндра и круглой плиты под действием нормальных нагрузок рассматривались, например, в [1]. Контактная задача для бесконечного кругового цилиндра, по-видимому, впервые поставлена в [2]. Дальнейшее существенное развитие и исследование эта задача получила в [3 5]. Контактная задача для упругого пространства с бесконечной цилиндрической круговой полостью изучалась в [4-6]. Обзор многих других работ, посвященных контактным задачам для цилиндрических тел, дан в [7]. Задача о взаимодействии упругого цилиндра с упругим бандажем рассматривалась в [4, 6, 8]. Эффективные методы решения контактных задач для тел конечных размеров и, в частности, для круглой плиты предложены в [9-14]. [c.81]

Мы рассмотрим здесь два дополняющих друг друга варианта обобщенного метода, позволяющих строить решения задач дифракции на замкнутых и незамкнутых металлических поверхностях в 11 эти методы будут применены к задачам дифракции на диэлектрических телах. Их отличие от ау-метода состоит, в частности, в том, что во вспомогательной однородной задаче на поверхности рассматриваемого тела ставятся граничные условия, имеющие смысл условий сопряжения-, в применении к задачам о телах с замкнутыми границами это означает установление связи между внутренним и внешним объемами, а для гел с незамкнутыми границами (бесконечно тонкие экраны)—связи между полями на разных сторонах экрана. Эти условия могут трактоваться как описывающие границу тела в виде полупрозрачной пленки, в то время как применяемые в ау-методе импедансные граничные условия означают полную изоляцию (экранировку) рассматриваемой области от остального объема, т. е. описывают непрозрачную пленку, повторяющую форму тела. Таким образом, вспомогательная однородная задача р-метода ставится для всего пространства (в случае замкнутых границ одновременно для внутренней и внешней областей). Поэтому ее собственные элементы позволяют строить решения как внутренней, так и внешней задач дифракции, а собственные значения, как функции частоты, содержат информацию о резонансах обеих задач. [c.97]

Если скорость распространения тепла значительно превышает скорость распространения упругой волны, т. е. М -> О, получим известное решение задачи термоупругости для бесконечного упругого пространства со сферической полостью. [c.157]

Если к — вещественно, во избежание бесконечных значений потенциала можно использовать (3.99) как решение для положительных kz только при Ск=0, либо для отрицательных kz при Dft = 0. Далее решение распространяется на все пространство с учетом симметрии. В общем случае в отсутствие дополнительной симметрии относительно плоскости 2=0 следует считать к мнимой величиной [c.85]

Производных (1.11-5), которая обеспечивала бы выполнение граничных и начальных условий данной проблемы. Для этого во всех типичных случаях векторный потенциал должен быть охарактеризован в некоторой конечной области пространства это означает задание компонент А. для бесконечно большого числа несчетных значений г., образующих г.-континуум. Существование этого множества создает трудности при проведении конкретных расчетов, особенно при решении вопросов нормировки. Поэтому целесообразно найти такой метод, в котором без ограничения общности векторный потенциал описывался бы счетным множеством численных значений. Мы покажем, что существуют две возможности для такого представления. Они заключаются в выборе, смотря по обстоятельствам, определенных граничных условий, не затрагивающих общую применимость метода, ибо при его проведении ограничивающую поверхность можно выдвинуть далеко вовне, в пределе до бесконечности. Там, во всяком случае, величину А. можно считать достаточно быстро убывающей. Оба возможных метода мы опишем в двух следующих пунктах. [c.128]

Общие свойства III. у. б е з времени. Волновая ф-ция должна удовлетворять нек-рым дополнит. условиям, имеющим ясный физ. смысл. Вместе со своей первой производной она должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всем пространстве, если потенциальная энергия U (/ ) нигде не обращается в бесконечность (если же U (г) бесконечна в области, ограниченной нек-рой поверхностью, то на границе этой области я]) обращается в нуль, а производные от i ) испытывают, вообще говоря, разрыв). Поэтому III, у. без времени (3 ) является ур-нием на собственные значения. Отдельное его решение (г) наз. собственной функцией, соответствующей нек-рому собств. значению Л оператора II. Собств. значения — единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы. Ш. у. без времени действительно. Его решения для систем, не находящихся в магнитном поле, всегда могут быть выбраны действительными как для вырожденных, так и для невырожденных значений энергии. [c.423]

Найденные представления использованы при решении внутренней и внешней задач для сферы в рядах и квадратурах, а также для упругого пространства, имеющего сферическую щель или бесконечный ряд сферических полостей. [c.49]

Мы решили квантовое уравнение Лиувилля с помощью формализма Янга — Фельдмана. То же решение может быть получено и с помощью канонического формализма, с использованием половинной 5-матрицы. Мы продемонстрируем это для случая бесконечного пространства (который технически проще чем случай конечного интервала). Используя формулу Швингера (2.44), ряд теории возмущений будем строить для оператора ехр (—и). В нулевом порядке ехр (—ы) = ехр (—ф). В первом порядке [c.255]

В 4.13 даны так называемые формулы Сомильяны, с помощью которых можно определить перемещения и внутри тела, зная перемещения и нагрузки на поверхности тела и фундаментальные решения для бесконечного пространства. Применим использованные там рассуждения к задачам эластокинетики. [c.605]

К настоящему времени решено несколько статических задач несимметричной теории упругости, в основном двумерных задач. Ниже мы дадим только с )ундаментальные решения для бесконечного пространства, к которому приложены сосредоточенные силы и моменты. Мы могли бы здесь использовать решения 13.14, осуществив в них предельный переход ->-0. Однако мы пойдем другим путем и решим в бесконечном пространстве систему уравнений [c.843]

Колебания, вызываемые сосредоточенной силой в безграничной упругой среде. Так как вопросы упругих колебаний подробно разбираются в третьем выпуске этой книги, то мы ограничимся здесь разбором случая, имеющего особое принципиальное значение, именно случаем сосредоточенной силы Р изменяющейся со временем и приложенной в некоторой точке безграничной упругой среды. Результатами решения этой задачи мы воспользуемся в дальнейшем для доказательства, что и проблемы упругих колебаний могут быть всегда сведены к случаю отсутствия массовых сил. Так как для бесконечного пространства граничные условия отсутствуют (они заменяются требованием, чтобы в бесконечности перемещения и напрян ения обращались в иуль), то нам нужно найти только правильное во всех точках, кроме начала коор динат, в котором гриложена сила Я( ), решение диференциальных уравнений движения [ 15, ур-ние (3)] [c.118]

Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области г позади ударной волиы, и к достаточно малым временам t (при которых R <С Ro). Но формально получаемое решение охватывает все пространство r R — от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена t 0 при этом переменная I пробегает все значения от 1 до оо. Соответственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть поставлены при = 1 и g = оо. [c.564]

Согласно решению (4.14) соответствующая газовая модель звезды занимает всё бесконечное пространство и имеет бесконечную массу. Очевидно, что масса конечна внутри любой сферы S конечного радиуса, на поверхности которой давление ps может быть весьма малым. При фиксировании ps на поверхности S наличие бесконечной массы вне сферы S не оказывает никакого влияния на равновесие масс внутри сферы S. Таким образом, равновесие конечной массы внутри сферы S не связано существенным образом с законами распределения характеристик равновесия вне сферы S. Для получения приближённых решений с конечной массой молено воспользоваться решением типа (4.14) внутри некоторой сферы S, а вне этой сферы решение может быть продолжено с непрерывным изменением давления ) и с некоторой иной закономерностью для изменения плотности, обеспечивающей конечность и заданную величину массы. [c.299]

Импульс, падающий на границу раздела сред, представлен в виде плоской волны (пучка лучей), фронт которой ограничен в пространстве диаметром 2а преобразователя, а амплитуда волны одинакова в пределах фронта пучка. Затухание в слое в расчетах не учитывается. Решение для импульса плоской волны, прошедшего слой в прямом направлении, представляет собой бесконечную сумму импульсов, образованных многократными отражениями исходного импульса от границ слоя. Учет ограниченности пучка в пространстве приводит к необходимости введения для каждого импульса некоторого энергетического коэффициента Q , определяющего ту часть сечения пучка, в пределах которой импульс, k раз отраженный от границ слоя, может интерферировать со всеми импульсами, число отражений которых меньше k. Общее число импульсов, из которых составляется прошедший импульс, становясь ограниченным, определяется отношением длительности импульса к набегу фазы между импульсами, число отражений которых от границ слоя отличается на единицу (рис. 1.47). Лучи, прошедшие слой без отражений, попадают в среду 3 через площадку Fa с размером ВС в плоскости рисунка. Лучи, однократно отраженные от каждой границы слоя, проходят в среду 3 через площадку jFj с соответствующим размером BE. Дважды отраженные от каждой границы слоя лучи проходят в среду 3 через площадку fa с размером BF и т. д. Амплитуды соответствующих импульсов пропорциональны энергетическим коэффициентам = = VFJFa k = О, 1, 2, 3). [c.91]

Методы Сэмпсона не допускают непосредственного обобщения на несимметричные течения. Как будет видно ниже, задачу нахождения решения уравнений Стокса, удовлетворяющего условиям на деформированной сфере, для любого порядка по 8 можно свести к последовательности соответствующих задач, требующих удовлетворения более сложных граничных условий на недеформированной сфере. В этом контексте общее решение уравнений Стокса через сферические гармоники, приведенное в разд. 3.2, идеально подходит для наших целей. Для внешних задач, в которых течение жидкости имеет место в бесконечном пространстве вне сферы г = а, общее решение дается уравнением (3.2.31). [c.241]

ПО толщине пластины становятся все менее и менее существенными. Поэтому в пределе концентрация напряжения должна стать такой же, как и в расположенном в по-лубесконечном пространстве отверстии, з нормальном к свободной от нагрузок по- верхности, это полупространство растя- -гиваётся на бесконечности силами, параллельными его свободной поверхности. Решение ) для этого сл5П1ая дает значение коэффициента концентрации напряжения, равное 2,62 при коэффициенте Пуассона, равном v = l/4 (см. рис. 5.15). Положив 2 значение этого коэффициента равным 2,62 (см. рис. 5.16, где кривая продлевается для значений отношения Ый, стремящихся к бесконечности, заданием значе- [c.377]

Трещины ветвления. Пусть бесконечное пространство ослаблено основным разрезом Lq, из правого конца которого симметрично выходят два боковых разреза Li и L4 (см. рис. 13). Интегральные уравнения аитиплоской задачи теории упругости для такой области имеют вид (VI.70) (N — 4), где уг (х ) — Уз = О- Как следует из проведенного анализа особенностей решения в точках [c.199]

В четвертой главе рассматриваются пространственные смешанные задачи для упругих тел, усиленных накладками. Здесь дается постановка и решение задачи о контакте узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством. Обсуждается контактная задача о напряженном состоянии упругого полупространства, усиленного узкой прямоугольной накладкой бесконечнбй или полубесконечной длины. Рассматривается осесимметричная контактная задача о передаче нагрузки от круглой накладки к упругому полупространству. Решается задача о взаимодействии цилиндрической накладки конечной длины с упругим бесконечным сплошным цилиндром или с бесконечным пространством нри наличии в нем цилиндрической полости. Наконец, рассматривается равновесие тяжелого упругого шара, усиленного симметрично относительно экватора сферической поясо-вой накладкой и подвешенного при помощи нерастяжимых лент к одной неподвижной точке. Обсуждаются различные постановки этой задачи. [c.12]

Асимптотический след за равномерно движущимся телом. В гл. 4 было указано на возможность развития обобщенного муль-типольиого подхода иа другие виды гидродинамических течений. Этот подход оказывается полезен ири построении асимптотического решения для задачи обтекания равномерно движущегося тела и для затопленных струп, распространяющихся в однородном потоке вязкой жидкости. В основу подхода здесь удобно положить интегральную форму уравнений Навье — Стокса получаемую обращением оператора Озеена для линеаризованной задачи. Совершив над этим уравнением преобразование Фурье, можно вывести интегральное уравнение в -пространстве, из которого получены в явном виде первые три члена асимптотического решепия с помощью разложения при А -> 0. Решеиие задачи об обтекании как и в случае затопленных струй, неаналитичио в бесконечно удаленной точке (второй член разложения содержит 1п1 ). Асимптотическое разложение можно представить в виде ряда ио дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Главный член асимптотического разложения полностью определяется заданием полного потока импульса и расхода. Остальные два члена разложения определяются, кроме этих интегралов движения, полным потоком момента количества движения. [c.321]

Исторически, первой большой работой такого характера следует считать исследования Вольтерра, посвященные задаче Коши для уравнений теории упругости (см. Уо11егга [1]). Основную роль в этой работе играют специальные решения уравнений теории упругости, представляющие смещения бесконечного пространства под воздействием сосредоточенной в точке х ) силы, равной (0, где б ( )—функция времени Дирака они были найдены Стоксом, [c.343]

Из полученного решения мы можем посредством наложения найти точное решение для любых заданных поверхностных сил, тем же путем, что и в случае бесконечного пространства. К этим же решениям можно притти, решая задачу об определении вспомогательных потенциальных функций по заданным значениям на границе при помощи функции Грина для полупространства. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...