У-поток эргодичность

Теорема 17.9. Все У-системы У-диффеоморфизмы или У-потоки) эргодичны. [c.77]

В качестве еще одного примера применения экспоненциальной неустойчивости укажем анонсированное Я. Г. Синаем доказательство эргодической гипотезы Больцмана для системы твердых шариков. Гипотеза состоит в том, что фазовый поток, соответствующий движению одинаковых абсолютно упругих шариков в ящике с упругими стенками, эргодичен на связных множествах уровня энергии. (Эргодичность означает, что почти каждая фазовая кривая проводит в каждой измеримой части множества уровня время, пропорциональное мере этой части.) [c.281]

То же доказательство может быть проведено для линейного потока если UJ удовлетворяет условию предложения 1.5.1. Так же как и в случае сдвигов, это условие является необходимым для наличия топологической транзитивности и эргодичности относительно меры Лебега и достаточным для наличия минимальности и строгой эргодичности. [c.157]

Теорема 5.4.16. Мера Лиувилля эргодична для геодезического потока на компактном связном факторе Н. [c.224]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

На протяжении долгого времени геодезические потоки играли важную стимулирующую роль в развитии гиперболической теории. Так, например, влияние неустойчивости на глобальное поведение траекторий динамической системы, характеризуемое эргодичностью, топологической транзитивностью и т. д., отмечали еще Адамар и Морс в начале ХХ-го века, изучавшие статистику поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны. И позже исследования, связанные с геодезическими потоками, привели к введению различных классов гиперболических динамических систем (систем Аносова, РЧГ-систем и НПГ-систем с мерой Лиувилля). Сами же геодезические потоки всегда были прекрасным полем применения динамических методов, что, в частности, позволяло получать интересные результаты дифференциально-геометрического характера. О связи геодезических потоков с классической механикой сказано в главе 1, 1 . [c.157]

А.И. Олемской и Е.А. Тороиов [474] развили синергетическую теорию стеклования, в соответствии с которой стеклование жидкости представляется как кинетический переход, при котором происходит потеря эргодичности и устанавливается стационарное токовое состояние. Потеря эргодичности означает закрепление атомов в узлах нерегулярной решетки стекла, а токовое состояние — появление потоков поперечных фононов, связанных со сдвиговой компонентой х тензора напряжений. Это позволило принять компоненту упругих напряжений х за параметр порядка, а долю п узлов, находящихся в закрепленном состоянии, присущем твердому телу, — за управляющий параметр. [c.291]

Обратное, разумеется, несправедливо эргодичность не означает перемешивания. При потоке типа приведенного на фиг. П.6.1, б (реализуемого, например, при движении гармонического осциллятора по поверхности тора), пересечение Af с фиксированной областью может быть либо пустым, либо непустым множеством его мера не стремится к определенному пределу при <х. Следовательно, существует класс потоков, которые являются эргодич-ными, но не перемешивающими. [c.382]

В 3 главы 1 синергетический подход используется для описания термодинамических (п. 3.1) и кинетических (п. 3.2) переходов. При описании первых в качестве параметра превращения используется плотность сохраняющейся величины, а во втором случае — сопряженный ей поток. Наше рассмотрение основывается на уравнении непрерывности и соотношении Онзагера, обобщение которых на нестационарный случай приводит к системе Лоренца. В этой связи можно предполагать, что развитый формализм представляет синергетическое обобщение физической кинетики. В п. 3.3 показано, каким образом уравнения Лоренца следуют из полевого подхода. Важная особенность сильно неравновесных систем состоит в том, что их поведение определяется как одиночными возбуждениями фермиевского типа, так и коллективными — бозевско-го. Поэтому последовательная микроскопическая теория таких систем должна носить суперсимметричный характер. Соответствующая техника изложена в 4 главы 1, где сначала (п.4.1) проведена микроскопическая интерпретация модели Лоренца. Показано, что она отвечает простейшему выбору гамильтониана бозон-фермионной системы. В п. 4.2 представлен суперсиммефичный лафанжев формализм, позволяющий воспроизвести уравнения Лоренца, в которых роль управляющего параметра ифает энтропия (см. также Приложение В). Использование корреляционной техники в п. 4.3 позволяет самосогласованным образом описать эффекты памяти и потери эргодичности в процессе самоорганизации. Получены [c.8]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Теорема ). Пусть Л — базисное гиперболическое множество для потока Р и функция ф Л К удовлетворяет условию Гёльдера с положительным показателем. Тогда функция ф имеет единственное равновесное состояние щ. Более того, мера эргодична и положительна на непустых открытых подмножествах множества Л, и для любого е > О суще-ствует такое Ск > О, что [c.155]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

Анализ глобального поведения геодезических потоков иа многообразиях отрицательной секционной кривизны явился главным стимулом к введению понятия глобального гиперболического поведения. Эргодичность геодезических потоков иа поверхностях отрицательной кривизны была доказана Хопфом [128J, [129] в случае более высокой размерности это доказал Аносов [16]. В обоих случаях использовался прием Хопфа ( 5.4), но в случае большей размерности слоения ие всегда прннадлгжат классу С, так что это доказательство нельзя использовать непосредственно. Ключ .вон шаг состоит в доказательстве того, что слоения абсолютно непрерывны, что позволяет использовать метод Хопфа [16], [20]. [c.735]

Домножьте линейное векторное поле на вещественно-аналитическую функцию с единственным нулем кратности по крайней мере два. Допустим, что новый поток обладает конечной неатомарной борелевской вероятностной мерой. Получите противоречие со строгой эргодичностью данного линейного потока. [c.741]

Пример 5.3. В абстрактных рамках эргодические системы являются общим случаем в смысле слабой топологии (см. Халмош [1]). Наоборот, гамильтоновы системы нз Н = onst, окрестностях геозедического потока на торе (см. приложение 2), не эргодичны. См. также систему трех тел (гл. 4). [c.21]

Орбиты У-систем очень неустойчивы две орбиты с близкими начальными условиями экспоненциально разбегаются друг от друга. Это свойство приводит к асимптотической независимости будущего и прошлого У-автоморфизмы эргодичны, являются перемешиванием , обладают бесконечным лебеговским спектром и положительной энтропией, словом, они представляют собой /(Г-системы. У-системы образуют открытое множество в пространстве классических систем. Следовательно, все системы, близкие к У-системе, обладают такими же стохастическими свойствами. В частности, это относится к геодезическим потокам на компактных римановых многобразиях отрицательной кривизны. Таков первый пример У-систем. [c.57]

По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Стационарность означает, что статистические свойства потока r(t) не меняются с временем t. Эргодичность означает, что оценки статистических характеристик потока при осреднении по времени t и по ансамблю реализаций не должны значимо различаться. Центрированность означает, что математическое ожидание потоке равно нулю в каждый момент времени. Гауссовость означает, что распределение коэффициентов отражение описывается Гауссовым законом распределения вероятности. [c.33]

Такая модель выбрана не потому, что она наилучши образом отображает реальность, а потому, что она проста и очень удобна. Реальные потоки r(i) всегда проявляют более или менее существенные отклонения от условий стационарности, центрированности и гауссовости, he говоря уже об эргодичности, причем эти отклонения н( случайны, а обусловлены самой природой потоков. [c.33]

Под ансамблем реализаций здесь понимается следующее. Потоь г г) считается случайным процессом, в котором значение каждогс отсчета характеризуется определенным законохм распределения При многократном повторении процесса его участки (реализации), зарегистрированные для определенного интервала времени, образуют совокупность - ансамбль реализаций. Оценивать статистические характеристики (среднее, дисперсию, функцию автокорреляции и т. п.) можно либо для разных интервалов времена одной достаточно длинной реализации, либо для одного и тоге же интервала множества реализаций. Эргодичность означает, чтс такие оценки не должны значимо различаться. Было бы бессмысленно пытаться получить ансамбль реализаций для реальных геологических разрезов - их нельзя воспроизводить многократно так же как нет смысла осреднять потоки г(/) для разных регионов Но в рамках представлений о модели потоков г () как лyчaйнo процессе понятие эргодичности не бессмысленно оно использу ется при теоретическом анализе моделей и выводе их свойств. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...