Топология слабая

В работе рассматриваются два типа равенств сильные и слабые. Слабые равенства образуют топологически незамкнутое множество, так как они перестают удовлетворяться после варьирования. Сильные равенства образуют замкнутое множество и задаются в -окрестности ЗА-мерного пространства координат д, q и р, содержащей 2А-мерную область, в которой выполняются слабые равенства. Следует отметить, что ряд вопросов, например вопрос о покрытии (2А.— М)-пространства Л-окрестностями и о топологии, которой подчиняются эти окрестности, не получил в работе строгого математического освещения. [c.916]

Мотт [85] указал, что, помимо трактовки, основанной на представлениях о деформации и перекрытии зон, возможно более химическое объяснение изменения отношения осей с а. В тот момент, когда зона близка к заполнению, но перекрытия еще нет, возможно возникновение слабых связей, главным образом типа Ван-дер-Ваальса. Поэтому большие значения периода решетки с и отношения осей с1а у цинка и кадмия можно объяснить как результат значительного перекрытия по граням 00.2 и соответствующего этому сжатия зоны либо, наоборот, очень малым перекрытием или даже полным отсутствием его, сопровождающимся ослаблением связей в направлении оси с. Этот вопрос должен быть решен в результате дальнейшего изучения топологии поверхности Ферми. [c.197]

В качестве критерия оптимальности берется функционал f h), который представляет собой непрерывное отображение F2 с топологией, порожденной слабой топологией И 2 ( )- [c.6]

В конце 1.3 мы рассматривали типы пересечения изоэнергетической поверхности с гранью зоны Бриллюэна в модели слабосвязанных электронов. В о цем случае формулы теории слабой связи не годятся в буквальном смысле, однако качественно они хорошо передают поведение энергетического спектра в окрестности грани зоны Бриллюэна. Представим себе теперь, что с помощью внешнего воздействия (например, изотропного сжатия, одноосной деформации) или постепенного изменения состава мы можем менять относительное положение поверхности Ферми и грани зоны Бриллюэна. При этом возможны изменения топологии поверхности Ферми, изображенные на рис. 1.5 образование шейки , или нового участка поверхности. Довольно очевидно, что такие изменения топологии будут сопровождаться особенностями термодинамических и кинетических характеристик. [c.102]

Мы часто будем отождествлять ц с ц и писать i, подразумевая li. При таком отождествлении слабая топология на С(Х) индуцирует топологию па М(Х) (называемую слабой топологией). [c.11]

Доказательство. Пусть fn)" i плотное подмножество в С Х). Читатель может убедиться, что слабая топология на Af(J) эквивалентна топологии, порождаемой метрикой [c.11]

Если мера v близка к .i в слабой топологии, то [c.55]

Вспомним теперь, что Vg. г — s , г-ц, где и величина l)sg, г11 ограничена равномерно по Т. Поэтому существует такая последовательность Тп оо, что в пространстве со слабой топологией пространства, со- [c.165]

Обозначим меру (дельта-функцию), сосредоточенную в точке X, и пусть V/(л ) —множество предельных точек (в слабой топологии) последовательности мер + [c.202]

Следствие 4.3.17 верно, даже если две меры взаимно не сингулярны. Это может быть доказано с помощью разложения меры на эргодические компоненты (см. теорему 4.1.12), которое дает единственное представление инвариантной меры как интеграла по эргодическим мерам (таким образом, множество инвариантных мер в сущности представляет собой симплекс). Однако зависимость метрической энтропии от меры довольно тонка, поскольку она нередко не является непрерывной (в слабой топологии). Сосуществование этой линейности с отсутствием непрерывности связано с тем обстоятельством, что даже на множестве эргодических мер энтропия не непрерывна например, слабый предел периодических атомарных мер может обладать положительной энтропией. [c.182]

Тогда существует такая f-инвариантная точка накопления /м последовательности (в -слабой топологии), что [c.189]

Доказательство. Так как носитель такой меры содержится в транзитивных компонентах, укрупнения разбиений плотны в метрике Т>, определенной в (4.3.9), так что i — одностороннее образующее разбиение. (Это понятие обсуждается в 4.3.) Таким образом, инвариантная мера определяется значениями на элементах разбиений Ключевое наблюдение состоит в том, что эта мера в действительности определяется значениями на интервалах А именно, по этим значениям можно определить меры элементов совместного разбиения VJ(f) следующим образом начнем с левого конца и заметим, что первый интервал V f( ) короче самого левого интервала и самого левого образа интервала f, так что его мера определяется. Следующий интервал вновь будет короче остатка другого интервала слева и следующего образа, и т. д. Подобным образом, зная меры интервалов из f У... У 1" ) и мы можем продолжать по индукции определять меры интервалов V. .. V J"+ , рассматривая наложения /( V... V / (0) на . Эта процедура задает отображение Н множества /-инвариантных мер на (п - 1)-мерный симплекс а из К", которое является, очевидно, аффинным, непрерывным (в -слабой топологии) и, как мы видели, инъективным. Заметим, что взаимно сингулярные меры соответствуют линейно независимым элементам а. А именно, если aih(/ii) -1-... -1- о,/г(м,) =0, то на множестве А, м,(-4.) > О и ii A)=0 для гф], мы имеем 0= o,/ii(A)-I-... Ч-о,/х,(Л) = Oi/x,(A), откуда =0. [c.478]

СХОДЯТСЯ (в -слабой топологии) к ( -инвариантной борелевской вероятностной мере Цд, называемой мерой Боуэна. Если поток является топологически перемешивающим, то можно получить (двусторонние) оценки, подобные тем, что были установлены в лемме 20.1.1, и доказательство перемешивания для равновесных состояний (предложение 20.3.6) проходит практически дословно. Таким образом, мера Боуэна для топологически перемешивающих потоков является перемешивающей. [c.623]

Тогда существует точка накопления р. последовательности m n -слабой топологии), которая f-инвариантна и удовлетворяет соотношению [c.625]

Это утверждение верно для сохраняющих меру преобразований пространства с мерой. Чтобы убедиться в этом, следует заменить в приведенном доказательстве использование =к-слабой топологии некоторыми соображениями из теории меры. [c.634]

Пусть Г] — произвольная предельная точка последовательности г/ в -слабой топологии. Если А, В сХ — замкнутые множества, то согласно (30.3.4) имеет место неравенство г](А х В) С(ц х ц) А х В). Рассматривая объединения непересекающихся произведений замкнутых множеств и используя аппроксимацию, мы заключаем, что г](Р) < х ц) Р) для любого борелевского множества Р с X х X и, следовательно, мера Г] абсолютно непрерывна относительно ц х ц. Так как мера т] является (/ X /)-инвариантной, а мера ц х i эргодическая, по предложению 5.1.2 выполнено равенство г] = цх ц, так что для любых замкнутых множеств А, В, ц(дА) = д(9В) = 0, мы имеем [c.635]

Доказательство. Выберем некоторую точку накопления в =к-слабой топологии [c.635]

Следствие Д 5.6. Пусть функция f и мера ц удовлетворяют условию леммы Д 4.10. Если / — последовательность, сходящаяся к f в С -топологии, то для этой последовательности существует последовательность инвариантных гиперболических вероятностных мер слабо сходящаяся к ц. Кроме того, носители всех мер fi могут считаться подмножествами множества гиперболических периодических точек. [c.688]

Важная роль -слабой топологии связана со следующим полезным результатом относительно компактности. [c.700]

Из детальных численных экспериментов и соответствующих теоретических исследований возникла весьма необычная картина фазового пространства слабо возмущенных систем. Вблизи резонансов топология невозмущенных инвариантных поверхностей изменяется и образуется характерная резонансная структура, похожая на цепочку островов . Внутри островов топология также изменяется, приводя к еще более мелкой резонансной структуре и т. д. Однако вся эта структура — только часть полной картины движения, которая включает также плотную систему тонких слоев [c.15]

Это замечание справедливо, но по другой причине обычно, хотя и не всегда, резонансы высших гармоник очень слабые и соответственно область резонанса с измененной топологией инвариантных поверхностей оказывается узкой по переменным действия [см. (2.4.31)].-— Прим. ред. [c.125]

Авторы [2] при помощи аналогии топологического характера положительно отвечают на фундаментальный вопрос о возможности существования в природе магнитных монополей (полюсов магнита, существующих отдельно друг от друга, или, иными словами, магнитных зарядов). Исключительная важность данного вопроса заключается в том, что обнаружение (или доказательство невозможности существования) монополей позволило бы ответить на многие принципиальные вопросы естествознания. В частности, обнаружение магнитных зарядов было бы первым серьезным подтверждением теорий Великого объединения, единым образом описывающих электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия [3] Суть аналогии состоит в создании в слоистых жидких кристаллах нематического и холестерического типов определенной топологии распределения векторов, описывающих ориентацию составляющих кристалл молекул. Данная топология аналогична топологии распределения векгоров магнитного поля вокруг гипотетического монополя Дирака. Таким образом, распределение векгоров ориентации молекул в жидких к-ристаллах можно визуально наблюдать в поляризационный микроскоп. Это позволяет по особенностям поведения жидких кристаллов выдвигать предположения о возможном поведении магнитных монополей и принципиальных методах их экспериментального обнаружения. [c.15]

Критерий неустойчивости парамагн. состояния зонного магнетика (см. Стонера критерий ферромагнетизма) определяется не только величиной потенциала меж-алектронного взаимодействия, но и зависимостью. магн. восприимчивости X от электронного волнового вектора ц, Наир., если в силу к.-л. особенности топологии ферми-поверхности %(q) обладает резко выраженным максимумом при нек-ром значении q Q, то фазовый переход при Г - ОК из парамагн. состояния в состояние с С. п. в. может иметь место даже при слабом взаимодействии между электронами. Наличие конгруэнтных (совпадающих при трансляции на волновой вектор О) электронных и дырочных участков на поверхности Ферш (н е с т и и г) в веществах с металлич. проводимостью приводит к возможности триплетного электрон-дырочного спаривания с воэникиовениом С. п. в. [c.636]

Дефекты в конденсированных средах как Т. с. Топологич. анализ дефектов не претендует на полноту описания физ. картины, в частности, он практически не даёт количественных ответов, к-рые по сути слабо зависят от реализуемой топологии. Тем не менее такой анализ позволяет простыми средствами выявлять те качественные особенности рассматриваемых явлений, к-рые должны бьпь приняты во внимание при более летальном описании. Напр., легко можно понять причину отсутствия топологически устойчивых образований в обычной жидкости. Как известно, вихри могут быть устойчивы лишь в идеальной жидкости (теорема Кельвина—Гельмгольца), а под влиянием вязкости такие вихри рассасываются. С точки зрения топологии причина состоит в том, что обычная жидкость не вырождена. В то же вре.мя квантованные вихри в сверхтекучем Не топологически устойчивы именно в силу вырожден-ности осн состояний. В результате никакое вязкое трение не может изменить кванта циркуляции сверхтекучей скорости Не с др. стороны, рассасывание вихря означало бы расширение области дефекта (наруишния сверхтекучести), что энергетически невыгодно. [c.136]

Пассивное управление осуществляется за счет изменения начальных условий истечения (режим течения в пограничном слое на срезе сопла, изменение параметров этого слоя, начальная турбулентность потока, начальный масштаб турбулентности) или же изменения геометрии устройства, формирующего струю (форма сопла или диафрагмы с острыми кромками, сопла сложной геометрии прямоугольные, треугольные, эллиптические, кольцевые, многотрубчатые, лепестковые, сопла круглого сечения с генераторами продольных вихрей в их выходном сечении). Пассивное управление позволяет не только изменять топологию крупномасштабных когерентных структур, но при их ослаблении усиливать относительную роль мелкомасштабной турбулентности. Как правило, при пассивном управлении достигается интенсификация смешения, хотя при некоторых слабых воздействиях, приводящих к ослаблению когерентных структур в струе удается получить и противоположный эффект - ослабление перемешивания. [c.40]

ВЮг ИЛИ полупроводящее стекло АзгЗз. Большинство западных [2] ученых полагают, что эти стекла, не будучи кристаллами, непрерывны в молекулярном масштабе. Большинство же советских физиков [3] придерживаются мнения, что в каком-то масштабе (который они не уточняют) в этих стеклах существуют кластеры, связь между которыми (если она есть) лищь слабая. Далее они принимают, что топология таких кластеров часто оказывается кристаллической (или паракристаллической ), хотя кластеры слишком малы и слишком деформированы, чтобы давать лауэграммы типа тех, которые обычно получают- ся от поликристаллических порошков. [c.157]

Сравнение дает превосходное соответствие не только для основных особен ностей изменения в топологии течения, но и для распределенных характсрн стик. Этот факт, без сомнения, можно интерпретировать в пользу сушество вания осесимметричного режима течения, несмотря на слабую асимметрии реатьного потока. Следовательно, можно с успехом испо н,зовать осесиммет ричные уравнения Навье - Стокса для диагностики реального течения в об ласти ниже границы перехода к несимметричному течению 4 на рис. 7.59). [c.465]

Напомним, что вещественные непрерывные функции иа компактном метрическом пространстве X образуют банахово пространство С(Х) с нормой Л1 = Jriaxl / (д ) . Слабая топология на пространстве С(Х) непрерывных линейных функционалов се С(Х)—>R порождается множествами вида [c.11]

Пусть Л1(ХФ) обозначает множество всех нормированных Ф<-ннвариантных борелевских мер па X. Множество Лi(X,Ф), наделенное слабой топологией, является компактным метрическим пространством [17], Для V Л (Л(<7,/), 40 и боре-левского множества Е а X определим рЧ( ) = у(р- ( )). Поскольку ф, - р = р с мы получаем отображение [c.133]

Множество М Х) всех нормированных борелевских мер на компактном метрическом пространстве X, снабженное слабой топологией, является компактным метризуемым простран- [c.187]

Подмножество /3 С Т называется базой топологии Т, если для каждого О е Т и х е О существует такое В е /9, что хе В СО. Говорят, что топология S сильнее, чем Т, еслн Т С S, и слабее, чем Т, если S сТ. Если У С Х, то подпространство У естественным образом становится топологическим пространством в индуцироеаннойготлопт Ту = ОпУ О еТ . [c.692]

Определение П 1.16. Рассмотрим топологическое пространство (X, Т) и предположим, что имеется некоторое отношение эквивалентности . определенное на X. Тогда определена естественная проекция тг на множество X классов эквивалентности. Фактор-пространством Х/ = (X, 5)называется топологическое пространство, определяемое следу-ющим збразом множество ОСХ объявляется открытым, если множество тг (0) открыто, т. е. X рассматривается со слабейшей топологией, в которой проекция тг непрерывна. [c.694]

Линейным функционалом на линейном пространстве V называется линейное отображение из К в F. Пространство ограниченных линейных функционалов на нормированном линейном пространстве V называется двойственным к V и обозначается V. Слабой топологией на нормированном линейном пространстве V 1кзывается самая слабая топология, в которой все ограниченные линейные функционалы непрерывны. В сепарабельном случае эквивалентное определение состоит в том, что u -> О тогда и только тогда, когда/(uj)- О для каждого / б V. Так как пространство V само по себе яаляется линейным нормированным (с определенной выше нормой 11/11), в нем также может быть определена слабая топология. Чаще используется -слабая топология, определенная условием / ->0-ФФ-/ ( )->0 для всех w 6 V, т. е. топология поточечной сходимости на V. [c.699]

Этот результат немедленно показывает, что пространство, двойственное к нормированному линейному пространству, непусто и что слабая топология хаусдорфова. [c.700]

В связи с этим важное значение приобретают попяти различных слабых компактностей (компактность в раЕ личных топологиях). [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...