Элементы эллиптического движени

Элементы эллиптического движения. Эллиптическое движение планеты определяется в пространстве шестью постоянными. Проведем через центр 5 Солнца (рис. 152) три оси Sy, с неизменными направлениями. В настоящее время обычно принимают за плоскость ху плоскость эклиптики на 1 января 1850 г., за положительные оси 5л и —прямые, направленные в точку весеннего равноденствия и в точку летнего солнцестояния той же эпохи, и за положительную ось Sz направление на северный полюс эклиптики. [c.363]

Роберваля 224 Взаимодействие 109 Винт 40, 51, 53 Вириал Клаузиуса 44, 55 Возмущения элементов эллиптического движения 364 [c.511]

Элементы эллиптического движения 363 [c.515]

В II предыдущей главы мы видели, каким образом можно выразить все элементы эллиптического движения планеты в функции координат х, у, z и dx du dz [c.78]

Эти шесть параметров а, е, i, 0, со, I (или д), первые пять из которых геометрические (и постоянные), последний же кинематический (постоянный или переменный, смотря по тому, идет ли речь о или об /), называются элементами эллиптического движения, или, более просто, эллиптическими элементами. [c.207]

Элемент эллиптического движения 207 [c.432]

Эти уравнения, как уже было замечено, справедливы для любого типа движения (эллиптического или гиперболического) и от них нетрудно перейти к уравнениям для какой-либо другой системы элементов и, в частности, к уравнениям (12.72) для. элементов эллиптического движения ). [c.626]

Величины (13.56 ) называются каноническими переменными Делонэ или, более кратко, элементами Делонэ. Эти элементы связаны с элементами Якоби формулами (13.48), (13.52) и (13.55), откуда с помощью формул (13.46 ) легко получим соотношения, связывающие элементы Делонэ с обычными кеплеровскими элементами эллиптического движения [c.693]

При помощи формул (13.57 ) мы выразим без труда элементы Пуанкаре через обычные кеплеровские элементы эллиптического движения формулами [c.695]

При помощи формул (13.59") и формул преобразования (13.60 ) мы легко получим следующие соотношения между элементами Пуанкаре и кеплеровскими элементами эллиптического движения [c.696]

Рассмотрим сначала некоторые зависимости между элементами Пуанкаре и привычными кеплеровскими элементами эллиптического движения. [c.697]

Известно, что в нашем распоряжении имеются четыре постоянные интегрирования, которые должны быть связаны с четырьмя независим мыми элементами эллиптического движения в соответствии с принципами определения этих элементов. При этом мы не сталкиваемся с тем затруднением, которое встречается в методе, описанном в разделах. [c.354]

Элементы эллиптического движения. Постоянные параметры, входящие в уравнения эллиптического движения и определяющие форму размеры и положение орбиты, называ[ются элементами эллиптического движения. Чтобы вполне решить вопрос о движении, надо привести формулы, определяющие элементы эллиптического движения через начальные условия. Дадим сводку этих формул. [c.49]

II. Определение элементов эллиптического или параболического движения. [c.46]

Пусть, далее, с — время, соответствующее прохождению планеты через перигелий этот элемент совместно с двумя предшествующими служит для определения эллиптического движения независимо от положения орбиты в пространстве. [c.47]

Указанные шесть величин а, Ь, с, к, г, к являются элементами, которые надлежит определить по некоторым обстоятельствам данного эллиптического движения. [c.47]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

При изучении возмущенного движения выгодно рассмотреть как раз эти шесть последних дифференциальных уравнений первого порядка и подставить в них вместо неизвестных х, у, z, х, у, Z при помощи уравнений (50) новые неизвестные I, а, е, i, б, <й. В этом и состоит метод вариации произвольных постоянных. Причина названия сделается очевидной, если представим себе, что при невозмущенном движении, т. е. при отсутствии возмущающей силы Ф, параметры I, а, е, i, в, <Б были бы все постоянными, за исключением лишь первого, который был бы линейной функцией времени. Таким образом, мы приходим к следующему истолкованию этих новых неизвестных по отношению к действительному возмущенному движению они в любой момент дают элементы того гипотетического эллиптического движения точки Р, которое получилось бы, если бы в рассматриваемый момент прекратилось всякое возмущающее влияние, и точка Р, начиная с того состояния движения, которое она имела в этот момент в действительном движении, двигалась бы исключительно под действием ньютонианского притяжения точки А центром О. [c.209]

Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи и - -1 тел, когда любое тело Р подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О, возмущающим притяжениям остальных п — 1 тел Р, Р",... Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки Р будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального. [c.363]

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца. [c.562]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Общая постановка проблемы Солнце, Юпитер, Сатурн в центробарических координатах. Введение функции Г и ее вариации ov. Решение приближенных уравнений. Возмущения Юпитера, полученные и сравненные с результатами Лапласа. Возмущения Сатурна. Приближенное выражение восьми элементов орбиты через начальные координаты и скорости. Выражения для живой силы. Выражения для возмущений. Выражения для вариации постоянных. Характеристическая функция для эллиптического движения [c.917]

В гл. II было показано, что при определенной, так называемой критической скорости вращения вал теряет устойчивую, почти прямолинейную, форму и начинает бить . Это явление, связанное с некоторой неизбежной динамической неуравновешенностью вала, нельзя назвать поперечными колебаниями в полном смысле слова, так как форма изогнутой оси вала в процессе движения почти не меняется (некоторая переменная деформация может возникнуть за счет неполной изотропии системы, т. е. различия ее упругих характеристик в вертикальной и горизонтальной плоскостях) и изгибные напряжения сохраняют в процессе движения почти постоянную величину. Тем не менее, представляя круговое (или в общем случае эллиптическое) движение вала в виде суммы поперечных колебаний в горизонтальной и вертикальной плоскостях, можно применить для его математического описания общие формулы поперечных колебаний. При таком представлении центробежные силы, сопровождающие вращение неуравновешенных элементов, играют роль возбудителя первого порядка относительно собственного вращения вала, т. е. такого возбудителя, частота которого равна скорости вращения вала (здесь и в дальнейшем под порядком возбудителя понимается отношение частоты его к скорости вращения вала). Совпадение частоты возбудителя с частотой свободных поперечных колебаний системы, имеющее место при вращении вала с критической скоростью, приводит к опасному росту изгибных деформаций и напряжений. [c.225]

Действительно, в этом случае составляющие возмущающего ускорения также зависят только от координат и составляющих скорости, которые в эллиптическом движении являются функциями средней аномалии М. Поэтому и правые части всех уравнений (12.65) будут вполне определенными функциями средней аномалии М и элементов орбиты Q, а, е, п и, следовательно, за независимую переменную можно принять вместо времени величину М, которая растет одновременно с временем. [c.607]

Пусть буква э обозначает какой-нибудь из элементов эллиптической оскулирующей орбиты. Подставляя в выражение функции вместо координат их выражения, даваемые формулами невозмущенного эллиптического движения, мы сделаем ее [c.611]

Если движение данного небесного тела происходит по орбите, имеющей малый наклон к эклиптике, то при улучшении элементов эллиптической орбиты часто используют расхождения между наблюденными эклиптической долготой К и эклиптической широтой р. Величины ЛЯ = Х —XW и Лр = pW — где индексом (н) отмечены наблюденные значения координат и индексом (в)—вычисленные, выражают обычно через поправки к следующим элементам орбиты п (среднее угловое движение), е (средняя долгота в орбите в эпоху — см. ч IV, 3.03), п (долгота перигелия), Q (долгота узла), е (эксцентриситет), i (наклон орбиты). Вместо поправки к наклону i рассматривают при [c.281]

Получены также полиномы [70], позволяющие вычислять сферические координаты (радиуса-вектора г, долготы X и широты р) Юпитера и Сатурна, отнесенные к среднему равноденствию стандартной эпохи 1950,0. В форме полиномов Представлены разности ЛЯ = Я — Яо, лр = р — Ро, Лг = л — Го, где Яо, Ро, /"о означают координаты, вычисленные по формулам эллиптического движения (см. ч 1,тл. II), исходя из систем оскулирующих элементов Юпитера и Сатурна. [c.502]

Влияние возмущающей касательной силы. Сначала рассмотрим, как меняются элементы эллиптической орбиты в плоскости движения под действием возмущающей касательной силы, порождающей ускорение а,. Из уравнения (8.2.7) следует, что под действием положительного касательного ускорения большая полуось орбиты увеличивается. В рассматриваемом случае для скорости поворота линии апсид имеем [c.351]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

Метод вариации постоянных. Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы А), рассматривая в них шесть элементов б, (р, си, а, е, е не как постоянные, но как функции от г.. С течением времени под действием других планет эти элементы будут по.4учать приращения 86, 8ср, Зси, За, Ье, Зе, которые называются возмуш,енаяма элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат х, у, г. Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений. [c.364]

В качестве примера рассмотрим случай частицы или планеты, описывающей эллипс вокруг центра сил. Обычно в качестве элементов эллиптического движения берут большую ось 2а, эксцентриситет е, долготу апсиды ы и т. д. Предположим, что движение частицы возмущается притяжением некоторой другой частицы. Цель метода Лаграижа решения задач планетной теории состоит в том, чтобы определить, как эти элементы изменяются под действием возмущающих сил. Для осуществления этой цели нужно, во-первых, возмущающую функцию К выразить через время и постоянные а, е, (о,. .. и, во-вторых, найти формулы, выражающие а, е, (о, . .. через дК/да, дК/де,. .. Эти формулы ие содержат I, не считая неявной зависимости через возмущающую функцию, и это замечательное свойство относится не только к данному частному выбору постоянных, но сохраняется при любом другом выборе констаит, определяющих эллиптическое движеиие. Заметим также, что эта особенность сохраняется, когда К является функцией не только от координат, но и от соответствующих им импульсов. [c.380]

Элементы эллиптического движения, которое начнет совершать спутник. если в некоторый момент времени 1 возмущающая действие, называются оскулирующима элементами ) с-тинного движения спутника для момента времени [c.95]

Поэтому орбита этого фиктивного эллиптического движения (соприкасающаяся, очевидно, с действительной орбитой) называется оскулирующей орбитой и значения, принимаемые параметрами I, а, е, i, б, ш в любой момент, называются оскулирующими элементами (возмущенного движения в рассматриваемый момент). [c.209]

Перигелий Меркурия. Меркурий — ближайшая к Солнцу планета. Орбитальное движение планеты можно рассматривать как кеплеров-ское эллиптическое движение. Под влиянием других планет элементы орбиты (ориентация орбитальной плоскости, направление главных осей эллипса, их эксцентриситет и т. д.) подвержены изменениям. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу,— перигелий — обнаруживает небольшое движение вокруг Солнца. Смещение перигелия Меркурия происходят под влиянием многих причин. Многочисленные исследования У. Ж.-Ж. Леверрье позволили установить не совсем полное совпадение между теоретическими вычислениями на основе ньютоновской механики и наблюдаемыми положениями планеты. Согласно теории, долгота перигелия (т. е. угол между направлением к точке весеннего равноденствия и к перигелию) Меркурия должна возрастать за 100 лет на 527", но с большой точностью выполненные наблюдения дали 565". Согласно теории тяготения Эйнштейна, перигелий продвигается при каждом обороте на величину [c.372]

Солнца. Так как, кроме Солнца, планету притягивают и вс прочие тела нашей сисгемы, то получается движение, отличающееся от эллиптического и гораздо более сложное. Но во всяком случае действие Солнца есть преобладающая сила, приложенная к планете. Она значительно больше возмущающих сил, 1. е. притяжений других планет. Поэтому отступления от правильного эллиптического движения хотя замечаются при точных наблюдениях, но они очень невелики. Это позволяет применить для получения второго приближения следующий прием. Будем считать, что все-таки планета движется по эллипсу, но ч то этот эллипс медленно и постепенно изменяется. Л1ы считаем, что изменяются все элементы эллипса его большая полуось (а), эксцентриситет (е), угол наклона орбиты к неизменной плоскости (а), время обращения (Г) и т. д. все это — не постоянные величины, а функции времени. Другими словами, мы вводим понятие о мгновенном эллипсе, беспрестанно изменяющемся. Найдя первое приближение, — т. е. кеплерово эллиптическое движение,— и определив для этого эллипса те постоянные величины, которые его характеризуют (а, е, ср и т. д.), мы затем изменяем Э1И постоянные, предполагаем их функциями времени. Вот — сущность метода изменения постоянных, применяемого при изучении планетных возмущс1П1й. Конечно, тот же метод может быть применен и для других задач динамики это — общий динамйческий метод. [c.243]

Уравнения Лагранжа. Как уже отмечалось в 3.15, при с = О и а = О элементы а, е, i, Q,o, oq и Mg превращаются соответственно в большую полуось, эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент перицентра и среднюю аномалию в эпоху кеплерова эллиптического движения. Поэтому, если положить в уравнениях (4.9.1) е = О, то мы получим уравнения Лагранжа для кеплеровых оскулирующих элементов. [c.141]

Поправки к начальным элементам эллиптических орбит планеты обнаруживаются потому, что для уточнения теорий движения привлекаются современные точные наблюдения. Исправление вековых членов в формулах для элементов орбит связано с уточнениями системы масс планет по сравнению с той, которую использовал Ньюком, а также уточнением постоянной прецессии. [c.485]

Важное значение в теории движения планет имеют так называемые средние элементы эллиптической орбиты, получающиеся, если принять во внимание только их вековые возмущения. В теориях Ньюкома для средних элементов Ь (средняя долгота в орбите), я (долгота перигелия), О (долгота восходящего узла), I (наклон к эклиптике), е (эксцентриситет), л (среднее движение, получаемое из наблюдений, т. е, включающее вековое возмущение средней долготы), а, (большая полуось, находимая по п на основании третьего закона Кеплера), а (большая полуось, освобожденная от влияния упомянутых вековых возмущений) приняты следующие выражения [120] [c.487]

Вековые гравитационные возмущения элементов эллиптической орбиты. Для анализа вековых возмущений элементов орбиты воспользуемся урав1нениями движения в оскулирующих элементах (8.3.14 ). При этом вместо времени t в качестве независимой переменной рассмотрим истинную аномалию О. Предполагая орбиту [c.405]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...