Возмущения элементов эллиптического движения

Роберваля 224 Взаимодействие 109 Винт 40, 51, 53 Вириал Клаузиуса 44, 55 Возмущения элементов эллиптического движения 364 [c.511]

При изучении возмущенного движения выгодно рассмотреть как раз эти шесть последних дифференциальных уравнений первого порядка и подставить в них вместо неизвестных х, у, z, х, у, Z при помощи уравнений (50) новые неизвестные I, а, е, i, б, <й. В этом и состоит метод вариации произвольных постоянных. Причина названия сделается очевидной, если представим себе, что при невозмущенном движении, т. е. при отсутствии возмущающей силы Ф, параметры I, а, е, i, в, <Б были бы все постоянными, за исключением лишь первого, который был бы линейной функцией времени. Таким образом, мы приходим к следующему истолкованию этих новых неизвестных по отношению к действительному возмущенному движению они в любой момент дают элементы того гипотетического эллиптического движения точки Р, которое получилось бы, если бы в рассматриваемый момент прекратилось всякое возмущающее влияние, и точка Р, начиная с того состояния движения, которое она имела в этот момент в действительном движении, двигалась бы исключительно под действием ньютонианского притяжения точки А центром О. [c.209]

Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи и - -1 тел, когда любое тело Р подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О, возмущающим притяжениям остальных п — 1 тел Р, Р",... Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки Р будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального. [c.363]

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца. [c.562]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Общая постановка проблемы Солнце, Юпитер, Сатурн в центробарических координатах. Введение функции Г и ее вариации ov. Решение приближенных уравнений. Возмущения Юпитера, полученные и сравненные с результатами Лапласа. Возмущения Сатурна. Приближенное выражение восьми элементов орбиты через начальные координаты и скорости. Выражения для живой силы. Выражения для возмущений. Выражения для вариации постоянных. Характеристическая функция для эллиптического движения [c.917]

Введем в рассмотрение ортогональный триэдр единичных векторов 2 3 началом в центре Земли — фокусе эллиптической орбиты спутника направлен к перигею орбиты, 2 плоскости орбиты параллельно ее малой оси и в сторону движения от перигея к апогею единичный вектор 3 = iX 2 имеет направление перпендикуляра к плоскости орбиты. Возмущениями элементов орбиты спутника пренебрегаем тогда векторы 2 остаются неизменно направленными в пространстве. Заметим еще, что [c.586]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Неравенство является архаическим термином, означающим отклонение от эллиптического движения, и эквивалентным в данном случае понятию. возмущение рассматриваемого элемента. [c.119]

Это приближение, основанное на вариации элементов, особенно применимо к эллиптическим орбитам планет, поскольку они испытывают возмущения под действием других планет, и геометры зачастую им пользовались в теории планет и комет можно сказать, что самые наблюдения знакомят с приближением раньше, чем к нему привели вычисления это приближение имеет то преимущество, что при нем сохраняется эллиптическая форма орбит, так что не только место планеты, но и ее скорость и направление движения ) не испытывают на себе никакого влияния мгновенного изменения элементов. [c.89]

Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например. Солнца и планеты) иод действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, г, 0, Uq, Фо ( 18.13), вызванное малым возмущением. [c.510]

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы а, е, i, i, u, ф второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями. [c.512]

Следуя идее метода вариации постоянных, сохраним для векторов г V в возмущенном движении те же выражения (2), что и в невозмущенном движении, считая теперь эллиптические элементы [c.596]

Уравнения Ньютона (4.3.09) пригодны для описания возмущенных движений любого типа, однако для движений эллиптического типа ) удобнее рассматривать оскулирующие элементы 2, 1, а, е, л, е (см. ч. II, 2.01). [c.336]

Введем вместо, эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов а, е, , й, я, е новую систему оскулирующих элементов а, к, I, О, к, е. В элементах а, к, г, О, к, е уравнения возмущенного движения имеют вид йа 2 дЯ сИ па [c.342]

Введем теперь вместо систем эллиптических кеплеровских элементов fis, es, is, Qs, s, Es (s — 2.....n—1) новые системы оскулирующих элементов Os, hs, is, fis, ks. Es. B этих элементах уравнения возмущенного движения системы материаль- [c.355]

Следовательно, возмущенная орбита имеет форму логарифмической спирали, хотя оскулирующее движение является эллиптическим. Логарифмическая спираль обладает тем свойством, что пересекает полярный луч под постоянным углом X- Для вычисления этого угла воспользуемся формулой, связывающей угол наклона траектории с элементами орбиты и положением КА на орбите [c.353]

Эллиптические оскулирующие элемен-т ы. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики изучения возмущенного движения планет и спутников. Лагранж преобразовал дифференциальные уравнения возмущенного движения к новым переменным и разработал способы их приближенного интегрирования. В качестве новых зависимых переменных он принял оскулирующие элементы. [c.94]

Наоборот, если нам известны значения оскулирующих элементов, то по формулам эллиптической теории мы найдем координаты и скорость спутника в возмущенном движении. [c.96]

Оскулирующие элементы сами по себе не отображают последовательность положений, занимаемых спутником в различные моменты времени они являются промежуточными переменными, через которые выражаются координаты. Координаты и скорость спутника в возмущенном движении выражаются через оскулирующие элементы формулами эллиптической теории. [c.105]

Метод вариации постоянных. Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы А), рассматривая в них шесть элементов б, (р, си, а, е, е не как постоянные, но как функции от г.. С течением времени под действием других планет эти элементы будут по.4учать приращения 86, 8ср, Зси, За, Ье, Зе, которые называются возмуш,енаяма элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат х, у, г. Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений. [c.364]

Вековые гравитационные возмущения элементов эллиптической орбиты. Для анализа вековых возмущений элементов орбиты воспользуемся урав1нениями движения в оскулирующих элементах (8.3.14 ). При этом вместо времени t в качестве независимой переменной рассмотрим истинную аномалию О. Предполагая орбиту [c.405]

Поэтому орбита этого фиктивного эллиптического движения (соприкасающаяся, очевидно, с действительной орбитой) называется оскулирующей орбитой и значения, принимаемые параметрами I, а, е, i, б, ш в любой момент, называются оскулирующими элементами (возмущенного движения в рассматриваемый момент). [c.209]

Кеплерова орбита играет чрезвычайно важную роль в небесной механике. Она часто используется как орбита первого приближения при исследовании движения многих небесных тел. Применение кеплеровых элементов для построения теории двин ения небесного тела особенно эффективно в том случае, когда возмущения в его движении малы, т. е. когда его движение мало отличается от эллиптического. К таким случаям прежде всего относятся большие планеты Солнечной системы. Однако если возмущения кеплеровых элементов велики, то в качестве орбиты первого приближения приходится искать другие орбиты — промежуточные орбиты,.которые более близки к истинной орбите небесного тела, нежели кеплеров эллипс. К такому случаю относится Луна, при построении теории движения которой использовались специальные промежуточные орбиты. [c.101]

Важное значение в теории движения планет имеют так называемые средние элементы эллиптической орбиты, получающиеся, если принять во внимание только их вековые возмущения. В теориях Ньюкома для средних элементов Ь (средняя долгота в орбите), я (долгота перигелия), О (долгота восходящего узла), I (наклон к эклиптике), е (эксцентриситет), л (среднее движение, получаемое из наблюдений, т. е, включающее вековое возмущение средней долготы), а, (большая полуось, находимая по п на основании третьего закона Кеплера), а (большая полуось, освобожденная от влияния упомянутых вековых возмущений) приняты следующие выражения [120] [c.487]

При реальном движении элементы орбиты, которые соответствуют этим координатам и колшонентам скорости, должны неизбежно меняться с течением времени. Вместо определения возмущенных координат непосредственно решением дифференциальных уравнений с одинаковым успехом можно сначала получить элементы орбиты в виде функций времени. Тогда координаты можно найти по этим элементам при помощи стандартных формул эллиптического движения. В этом состоит принцип метода вариации произвольных постоянных — метода, широко известного в теории дифференциальных уравнений. В Небесной механике он применяется к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. [c.238]

Поэтому в возмущенном движении как координаты, так и компоненты скорости в момент времени I определяются формулами эллиптического движения и выражаются через время и мгновенные значения злементон для момента t, причем компоненты скорости получаются дифференцированием выражений координат для эллиптического движенпя, как если бы орбитальные элементы были постоянными. Эта процедура является обязательной, если координаты и компоненты скорости должны дать мгновенные элементы по формулам эллиптического движения. С другой стороны, можно было бы ввести три условия, отличные от уравнений (5), и прийти к результатам, и.меющпм ту же силу. Однако координаты п компоненты скорости дают мгновенные элементы при помощи формул эллиптического движения только при условиях (5). Такие мгновенные элементы называются также оскулирующими элементами. [c.240]

Пусть основная координатная плоскость Роху совпадает с плоскостью невозмущенной эллиптической орбиты, причем ось РоХ направлена в неподвижный перигелий, ось РоУ направлена под прямым углом к РоХ в направлении движения возмущаемой планеты Р, ось Рог дополняет оси РоХ и РоУ До правой тройки. Следуя Брауэру [2], обозначим через Хо, уо, 2о, о> Уо, о ( о = О, 0 = 0) невозмущенные прямоугольные координаты и компоненты скорости возмущаемой планеты Р. Они зависят от времени и элементов, орбиты. Тогда возмущенные координаты и скорости представляются равенствами [c.415]

Из предыдущего очевидно, что в тех случаях, когда мы выходим за пределы эллиптического невозмущенного движения и начинаема апрок-симировать с некоторой степенью точности действительное движение небесного тела, строгое определение элементов становится возможным только при условии учета возмущений. Так как возмущения можно представить в различной форме, то и элементы будут принимать значения, слегка отличающиеся друг от друга. Поэтому элементы утрачивают свой геометрический смысл и, строго говоря, должны рассматриваться только как параметры, по которым строится теория. [c.356]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...