Гармонический осциллятор уровни энергии

Уравнение (63.27) является уравнением гармонического осциллятора. Уровни энергии даются формулой [c.321]

Квантовые осцилляторы. Уровни энергии квантового гармонического осциллятора описываются выражением [c.57]

Для тех систем, в которых силы притяжения между молекулами достаточно велики, например в жидком или твердом состоянии, различные формы энергии не могут быть рассмотрены как независимые, и квантование энергетических уровней должно быть проведено относительно целой системы из п молекул. В данной книге квантованные энергетические уровни поступательного движения, жесткого ротатора и гармонического осциллятора будут вычислены при допущении, что они не зависят друг от друга. [c.70]

Это уравнение указывает, что основной колебательный энергетический уровень гармонического осциллятора не равен нулю, когда п = О, но равен половине кванта энергии. Не теряя общности энергетические уровни можно отнести к основному колебательному энергетическому уровню, равному половине кванта в таком случае [c.88]

При отсутствии конкретных спектроскопических данных о молекулярных энергетических уровнях внутренняя энергия может быть вычислена с достаточной степенью приближения из поступательных энергетических уровней частицы в ящике (или потенциальной яме), вращательных энергетических уровней жесткого ротатора и колебательных уровней гармонического осциллятора. Так как поступательные энергетические уровни вычисляются [c.115]

Выше было показано, что температуры положительны при условии ( О( )/й )>0, т. е. число возможных состояний всегда возрастает с энергией. Это справедливо для свободных частиц или гармонического осциллятора таким образом, жидкости и кристаллические решетки, всегда имеют положительные температуры. Однако существуют некоторые весьма специфические системы, в которых имеется верхний предел спектра энергетических состояний. Если частицы в этих состояниях находятся в тепловом равновесии друг с другом и одновременно термически изолированы от состояний, не имеющих верхнего энергетического предела, то они могут вести себя так, как если бы они обладали отрицательными температурами. Поскольку выше предельного уровня нет других энергетических уровней, при возрастании внутренней энергии системы достигается такое состояние, когда все уровни одинаково заселены. Согласно статистической механике, это мо- [c.24]

Рис. 33.5. Потенциальные кривые, уровни энергии и схематические спектры гармонического (<з) и ангармонического (б) осцилляторов

Инфракрасный спектр поглощения. Гармоническому осциллятору соответствует система равноотстоящих энергетических уровней (рис. 41). В случае поглощения света молекула будет переходить из одного энергетического состояния в другое, обладающее большей энергией. При этом согласно правилам отбора (Ао = 1) колебательное квантовое число V будет изменяться на единицу, а [c.102]

В случае комбинационного рассеяния света переходы молекулы возможны не только между основным (нулевым) и первым возбужденным колебательным уровнем, но и между последующими возбужденными уровнями энергии (рис. 43). При этом для гармонического осциллятора переходы возможны только -с изменением колебательного квантового числа на единицу как и для [c.109]

Характерный потенциал взаимодействия молекул представлен на рис. 12.6 показано также аппроксимирование простого гармонического осциллятора, действительное вблизи положения равновесия. Чтобы определить значения уровней энергии, расположенных через равные интервалы, можно воспользоваться уравнениями квантовой механики [c.291]

Выражение (8.28а) является суммой гамильтониана жесткого волчка и гамильтонианов гармонических осцилляторов остальные члены в выражении (8.28) создают эффекты центробежного искажения, кориолисова взаимодействия колебаний и ангармоничности ). Сначала мы определим точные собственные функции разделяющегося гамильтониана в выражении (8.28а), а в гл. 10 воспользуемся этими собственными функциями для определения типов симметрии уровней энергии. Запишем [c.192]

При температурах порядка десятков и даже сотен градусов Цельсия колебания молекул являются гармоническими. Поэтому для описания колебательного движения ядер в двухатомной молекуле возьмем в качестве моделирующей системы гармонический осциллятор с частотой (0. Уровни энергии одномерного осциллятора не вырождены, т. е. (е) = 1. Значения энергии определяются правилом квантования [c.136]

Кубаревым было показано, что одномерная модель гармонического осциллятора, строго говоря, применима для температур порядка 3000° К и выше. Однако для не очень широких полос применение этой модели при комнатных температурах часто оправдывается приближенно. Но ясно, что для низких температур одномерная модель еще менее пригодна. Применимость универсального соотношения проверялась [ экспериментально для комнатных и более высоких температур насколько нам известно, для низких "температур такая проверка не проводилась. Из общих соображений, однако, следует, что при понижении температуры уменьшается вероятность обмена энергией между отдельными колебательными состояниями, что ведет к нарушению равновесного распределения частиц по колебательным уровням, т. е. основного условия, используемого при выводе универсального соотношения. Отсюда следует, что если я применять методы I и III для низких температур, то это надо делать очень осторожно. [c.16]

Исходя из распределения Максвелла — Больцмана для чисел заполнения [формула (9.3.16)], покажите, что если уровни энергии гармонического осциллятора могут принимать только значения пЛу, то распределение чисел заполнения является распределением Бозе — Эйнштейна, и определите среднее значение числа заполнения. [c.495]

Техника лазерного охлаждения сделала возможным уменьшить кинетическую энергию накопленных в ловушке ионов до такого уровня, когда движение центра инерции иона должно рассматриваться на основе квантовой механики. Поскольку удерживающий ионы потенциал квадрупольной ловушки, типа показанной на рис. 1.2 ловушки с крышками, в первом приближении квадратичен, движение центра инерции описывается гамильтонианом гармонического осциллятора. [c.44]

Величина Г+ представляет собой флуктуационный оператор со средним значением, равным нулю р — фактор затухания. Если для атомной системы воспользоваться моделью гармонического осциллятора [ср. уравнение (В2.27-37 ], то оператор идентичен бозонному оператору Зу , в случае двухуровневой системы [ср. уравнение (В2.27-14)] оператор идентичен фермионному оператору Ь . Оператор связан с соответствующим оператором в представлении Гейзенберга соотношением а+= а+ехр —гсо , где На в случае гармонического осциллятора является разностью энергий двух соседних уровней, а в случае двухуровневой системы равняется разности энергий этих двух уровней. Предыдущее рассмотрение привело нас к уравнению (2.24-1). Если аналогичным образом снова принять, что имеет место суперпозиция не зависящих друг от друга воздействий диссипативной и когерентной систем, то для а+ получится уравнение движения [c.210]

Как уже известно] из 4.3, колебательным состояниям для этого простого гармонического осциллятора соответствуют дискретные уровни энергии [c.117]

Уровни энергии. Собственные значения уравнения (2,44), т. е. значения энергии 1-го гармонического осциллятора, даются выражениями [c.89]

Для учета взаимодействия колебания и вращения в многоатомной молекуле с точки зрения квантовой механики необходимо применить волновое уравнение (2,275) с оператором Гамильтона в его наиболее общем виде (2,276). Уровни энергии получаются путем решения задачи о возмущении, причем в качестве возмущающей функции берется разность между оператором Гамильтона вида (2,276) и оператором Гамильтона для гармонического осциллятора и жесткого ротатора, [c.403]

Гармонический осциллятор 80 кинетическая и потенциальная энергия 85 собственные функции 91, 92, 115 уровни энергии 90 Геометрическое строение из вращательно-колебательных спектров [c.600]

Соотношение (9.28) не учитывает, например, такие эффекты, как влияние колебания на вращение. В результате этого предположения мы можем рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, то есть энергии поступательного движения, вращений, колебаний и электронных уровней двухатомной молекулы представляют собой кинетическую энергию точечной массы, кинетическую и потенциальную энергии гармонического осциллятора, энергию жесткого ротатора и энергию распределения орбитальных электронов неподвижной молекулы, причем все частицы имеют массы, связанные, конечно, с массой двухатомной молекулы. Как будет показано ниже, каждая из этих форм энергии при использовании квантовой теории может рассматриваться отдельно для получения функций распределения. Подставляя (9.28) в (9.26), получаем [c.333]

Из квантовой механики известно ), что если колебания гармонические, то осциллятор может менять свою энергию только на величину одного колебательного кванта, причем вероятности перехода из состояния с / — 1 квантами в состояние с I квантами pi-i,i и перехода с /-уровня на(/ —1)-й уровень р пропорциональны /. Таким образом, если рассматривать молекулу как гармонический осциллятор, что справедливо для не слишком высоких колебательных состояний, т. е. при температурах не слишком больших по сравнению с hv/k, то можно записать [c.303]

Сферический волчок. Уровни энергии данного типа молекул в приближении жесткого волчка и гармонического осциллятора определяются набором колебательных квантовых чисел Уi и вращательным квантовым числом / [c.179]

Правилами отбора разрешены переходы между уровнями энергии гармонического осциллятора, удовлетворяющими условию Д1/=Чг1, причем для молекулы, представленной набором гармонических осцилляторов, может происходить одновременно переход только в одном из осцилляторов. [c.10]

Рассмотрим теперь квантовую частицу (рис. 166). Энергия такой частицы квантуется. Например, в гармоническом потенциале энергия уровня с номером п равна е = Йо)о(1/2 + и), где соо — частота осциллятора. Начальное состояние частицы не обязательно должно соответствовать только одному уровню. Например, в случае гармонического осциллятора можно строить так называемые когерентные состояния из суперпозиции волновых функций разных уровней. Но и в более сложном случае ангармонического осциллятора можно выбрать в качестве начальной волновой функции любую суперпозицию собственных функций. Однако специфика выбора довольно быстро проявится в дальнейшей эволюции. [c.186]

Наполните прямоугольный сосуд водой и слегка толкните его. Еще лучше поместить сосуд на горизонтальную поверхность, наполнить его до краев и затем долить так, чтобы вода вздулась (поднялась) над краями. Слегка толкните сосуд. После того, как более высокие моды затухнут, можно наблюдать моду омывания , которая затухает очень медленно. (Это — гравитационная мода, несмотря на то что мы используем поверхностное натяжение, чтобы удержать воду над стенками этим затухание сводится к минимуму.) Поверхность воды остается практически плоской (после того как более высокие моды затухнут). Предположим, что мода все время плоская горизонтальная — в положении равновесия и наклонная — в крайних положениях. Пусть ось х совпадает с горизонтальным направлением, а ось у направлена вверх. Пусть х и у — горизонтальная и вертикальная координаты центра тяжести воды в сосуде с равновесными значениями х и i/o- Найдите зависимость у—i/o) от х—х ). (Удобной переменной может служить уровень воды на одном конце сосуда, отсчитанный от равновесного уровня.) Увеличение потенциальной энергии всего объема воды равно mg (у—yd). Вы обнаружите, что (у—i/o) пропорционально (х—Хо) . Таким образом, потенциальная энергия центра тяжести, подобно потенциальной энергии гармонического осциллятора, пропорциональна квадрату смещения от равновесного положения. Используйте второй закон Ньютона, предполагая, что вся масса воды от сосредоточена в центре тяжести. Найдите формулу для частоты. [c.56]

Отсюда ш"+8 Л ю=0. Это уравнение описывает колебания гармонического осциллятора. Таким образом, нелинейное отображение (8) переводит орбиты задачи Кеплера с постоянной энергией Л<0 в орбиты гармонического осциллятора, расположенные на энергетическом уровне (9). Этот вывод удачно дополняет теорему Бертрана. [c.69]

В квантовой механике показывается, что энергия основного состояния осциллятора больше энергии покоя классического осциллятора на величину /гйш- (Квантовый осциллятор в основном состоянии не находится в покое.) Энергия п-й орбитали квантового гармонического осциллятора равна (я+ /2)6, где /ае — это нулевая энергия осциллятора. Движение квантового гармонического осциллятора при нулевой энергии (квантовое нулевое движение) приводит к определенным физическим последствиям например, лэмбовский сдвиг энергетических уровней водородного атома обусловлен нулевыми колебаниями электромагнитного поля. Неупругое рассеяние рентгеновских лучей [c.208]

Замечание. В более грубом приближении рассматриваемую систему можно заменить гармоническим осциллятором с новой частотой, которая определяется характеристической температурой 00 = (ку /к) (1 — 2хе), соответствующей разности энергий между основным (ге = 0) и первым возбужденным (п = 1) уровнями. Для молекулы водорода в основном электронном состоянии 12 значение составляет 0,02685, однако существенную роль играет ангармонический член третьего порядка уа п 1/2) ку. [c.240]

Из выражения (33.18) следует, что уровни энергии уже не располагаются на одинаковых расстояниях друг от друга, как у гармонического осциллятора, а образуют систему неравноотстоящих уровней, которые постепенно сближаются по мере роста V и, наконец, сливаются при Екол Е. Существенно, что для ангармонического осциллятора изменяются и правила отбора Ап—1, 2,..., т. е. в этом случае возможны переходы между любыми уровнями (см. рис. 33.5, б). [c.240]

Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряжен-Н0С1И i. [c.173]

Принцип действия СО2-Л. можно объяснить с помощью известной в квантовой электронике 4-уровневой схемы с учётом особенностей кинетики колебат. уровней молекул. Ниж. уровни колебат. мод в первом приближении можно рассматривать как расположенные эквидистантно по энергии состояния гармонических осцилляторов. При столкновениях одинаковых молекул переходы между уровнями одной моды имеют резонансный характер и происходят с частотой, как правило, значительно превышающей частоты накачки и столкновительной дезактивации. Вследствие этого устанавливается больцмановское распределение населённостей этих уровлей, характеризуемое колебат. темп-рой моды. Термодинамически неравновесный характер состояния молекул проявляется в отличии темп-р мод друг от друга и от темп-ры поступательных и вращат. степеней свободы молекул. Процессы преобразования энергии, в ходе к-рых образуется инверсна населённость, происходят между блоками уровней, принадлежащих к отд. модам. Энергии переходов между компонентами мультиплетов с отличающимся на единицу числом квантов деформационной моды не равны кванту этой моды, но различаются не слишком сильно. При темп-рах, характерных для большинства режимов работы СО -л., распределение населённостей уровней смешанных мод, пренебрегая неэквидистантностью, можно считать больцмановским с общей темп-рой. [c.442]

В данной работе для исследования неравновесных эффектов и определения переносных свойств в многоатомных газах типа СОа использовался аппарат кинетической теории многотемпературной релаксации на основе обобщенного уравнения Больцмана с учетом поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, развитый ранее для двухатомных газов Ц]. Преимуществом такого подхода является то, что релаксационные уравнения для заселенностей колебательных уровней во всех приближениях получаются вместе с гидродинамической системой, структура которой зависит только от принятых предположений о расположении по порядку величины соответствующих времен или длин релаксации. Предполагалось, что поступательные и вращательные степени свободы релаксируют быстро, а колебательные — медленно, но с различными скоростями для разных мод колебаний, причем передача колебательной энергии в процессе соударений происходила по законам гармонического осциллятора. [c.105]

Разложение поля, по нормальным тинам колебаиий эквивалентно разложению по гармоническим осцилляторам, т. е., в данном случае поле рассматривается как совокупность осцилляторов. Каждый из нормальных типов колебаний есть квантовый осциллятор с уровнями энергии Ьи)к(Пк+ /2), которые являются собственными значвииям и 0перат0 ра аиергии поля, Н=ЛЬш (<цак+Ч2). Опуская [c.198]

Если в соответствии с положениями, изложенными в предыдущем разделе, мы построим металлический кристалл, то он будет содержать примерно 10 атом/см . Что же происходит с энерге-тичёскими уровнями (или соответствующими им частотами) отдельных свободных атомов, из которых построен кристалл Мы уже видели, что линейные комбинации волновых функций, соответствующих свободным частицам, описывают эффект возмущения первоначально вырожденных (т. е. неразличимых) энергетических уровней. Это явление можно схематически проиллюстрировать с помощью следующей механической аналогии. На фиг. 3, а изображена механическая аналогия четырех изолированных невзаимодействующих атомов четыре одинаковые пружины с грузами. Все грузы будут колебаться, как простые гармонические осцилляторы, с одной и той же частотой. На фиг. 3, б изображены те же четыре механических осциллятора, но на этот раз они взаимодействуют друг с другом благодаря наличию связывающих их пружин. Если предположить, что все краевые эффекты пренебрежимо малы (а это было бы действительно так, если бы осцилляторов было не четыре, а 10 ), то в нашей связанной системе окажутся возмож- [c.59]

Современиая квантовая механика дает для уровней энергии гармонического осциллятора значения е =(л- - /г) йы. [c.430]

Чтобы найти энергию колебательных уровней и собственные функции невращаю-щейся молекулы, необходимо применять методы теории возмущений (см. Молекулярные спектры I, гл. V, 4). Возмущающей функцией является разность между оператором Гамильтона общего вида (2,276), в котором Рх-, Ру и Р приравнены нулю, и оператором для гармонического осциллятора, входящим в прежнее уравнение (2,41) [c.227]

Следует подчеркнуть, что возмущение обусловлено теми же ангармоническими членами в выражении потенциальной функции, от которых зависят члены в сериальной формуле для уровней энергии. Эти последние члены связаны с суммарным эффектом от возмущения данного уровня большим числом других колебательных уровней, причем каждый из них дает, по формуле (2,292), добавочную энергию ] 1 /S. С другой стороны, резонансное возмущение обусловлено воздействием только одного особенно близко расположенного уровня. Далее, при вычислении членов xntViVf, всегда используют значения энергии и собственные функции, полученные в приближении гармонического осциллятора. В противоположность этому для вычисления возмущений по формулам (2,289) и (2,291) можно также использовать значения энергии уровней с учетом ангармоничности по (2,271) и (2,281) и соответствующие им собственные функции. [c.236]

Предположим, что ансамбль двухатомных молекул можно моделировать системой одномерных гармонических осцилляторов, для которых зависящая от времени функция распределения по полубесконечпой системе уровней энергии п = О, 1,. . . [c.590]

Для рассматриваемых здесь гармонических осцилляторов переход может осуществляться только между ближайшими соседними уровнями, т. е. Ап = 1, поэтому можно ограничиться вычислением среднего времени диссоциации с уровня 0. Действительно, пусть (Т г, V+1)—среднее время, в етчепие которого энергии достигает значения (IV + 1) 9, если в начальный момент ее значение было равно г9. Тогда [c.590]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...