Пластинки Уравнения дифференциальные

При статическом методе определяют, при каких нагрузках наряду с начальной плоской формой равновесия пластинки возникают соседние искривленные формы равновесия. Для искривленной пластинки составляют дифференциальное уравнение рав- [c.178]

Яков Бернулли-младший (1759—1789), используя те же представления в анализе пластинок, получил ) дифференциальное уравнение [c.146]

Деформации сдвига 131 — Уравнения дифференциальные 128—130 — Уравнения упругости 128, 131, 132 Пластинки круглые переменной толщины 121 [c.461]

Пластинки прямоугольные гибкие 597 — Деформации и напряжения 597—599 — Изгиб 597—608 — Расчет при давлении равномерно распределенном 602—606 — Уравнения дифференциальные и равновесия 598—600 — Условия граничные 600, 601 [c.822]

Легко показать, что при потере устойчивости вся пластинка не может остаться в чисто пластическом состоя НИИ, т. е. что область упруго-пласти ческих деформаций обязательно суще ствует. В самом деле, допуская обратное, мы будем иметь одно родные граничные условия (5.42) на всём, внешнем контуре пластинки Но дифференциальные уравнения (5.33) и (5.34) при условиях (5.37 будут также линейными и однородными, и потому имеют единствен ное решение [c.294]

Уравнение колебаний пластинки описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка (8.15). Ищем решение этого уравнения в виде произведения [c.333]

Согласно (12.1) P = f . = G. Учитывая это, получаем дифференциальное уравнение движения пластинки [c.42]

Составляем дифференциальное уравнение движения пластинки под действием сил Р, R ч G [c.60]

Дифференциальное уравнение неустойчивости пластинки (15.15) при A/i2 = 0, fe = 0 принимает вид [c.329]

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки имеет вид [c.28]

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом основании согласно уравнению (5.12) имеет вид [c.173]

При расчете на устойчивость, кроме поперечных нагрузок q, имеются и силы, действующие в средней плоскости пластинки. Эти силы могут оказать значительное влияние на изгиб, и их надо учесть при выводе дифференциального уравнения. От действия продольных сил, помимо моментов и поперечных сил (см. рис. 75), в средней плоскости пластинки возникнут тангенциальные силы, показанные на рис. 77. [c.176]

Дифференциальное уравнение изгиба тонких пластинок [c.259]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

Задача об определении собственных частот колебаний пластинки в полярной системе координат сводится к рассмотрению дифференциального уравнения вида [c.349]

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение. изогнутой упругой поверхности пластинки. От соответствующего уравнения изогнутой оси балки оно отличается тем, что вместо жесткости поперечного сечения балки при изгибе EJ здесь берется цилиндрическая жесткость D. Цилиндрическая жесткость пластинки D больше жесткости поперечного сечения балки EJ. При i = 0,3 величина D больше ЕЗ примерно на 10 %. [c.502]

Если пластинка несет только поперечную нагрузку, причем ее длинные края свободно оперты, то составление выражения для изгибающего момента от внешней нагрузки не представляет трудностей. Не представляет трудностей также интегрирование дифференциального уравнения (17.16). [c.502]

В предыдущих параграфах этой главы рассмотрены простые случаи изгиба прямоугольных пластинок — цилиндрический и чистый. В этих случаях изгиба внутренние силовые факторы в поперечных сечениях пластинки определяют, как в балках,— непосредственно через внешнюю нагрузку, а прогибы — интегрированием простого дифференциального уравнения второго порядка. [c.508]

В общем случае изгиба прямоугольных пластинок дело обстоит значительно сложнее. Внутренние силовые факторы и прогибы являются функциями двух независимых переменных х н у в прямоугольной системе координат. Совместное рассмотрение уравнений статики, геометрических и физических зависимостей позволяет выразить все внутренние силовые факторы через функцию прогиба W (х, у). Отыскание этой функции сводится к интегрированию дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Это основное дифференциальное уравнение технической теории изгиба пластинок имеет следующий вид [c.508]

Пусть кольцевая пластинка, имеющая внутренний радиус а и наружный Ь, каким-либо способом закреплена по внешнему контуру и нагружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 481, а). Составим выражение для поперечной силы, входящей в дифференциальное уравнение (17.58) для угла поворота нормали. Для этого выделим кольцо, имеющее внешний радиус г (рис. 481, б), и составим уравнение его равновесия [c.523]

Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл это начальные (при 2 = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на> формуле (3.9.6) и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам. [c.105]

Точные решения, полученные результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов [c.641]

И. Г. Бубнов (1872—1919) разработал новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, блестяще развитый Б. Г. Галеркиным (1871—1945). Вариационный метод Бубнова — Галеркина в настоящее время получил широкое распространение. Большое значение имеют труды И. Г. Бубнова и Б. Г. Галеркина в теории изгиба пластинок. Новые важные результаты, продолжая исследования Галеркина, получил П. Ф. Папкович (1887—1946). [c.6]

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки [c.123]

Решение дифференциального уравнения (7.16) для пластинки, контур которой очерчен по эллипсу, в некоторых случаях может быть получено в конечном виде. При решении применим обратный метод, т. е., задаваясь видом функции прогибов и) х, у), будем [c.128]

Так как С является постоянной величиной, то и должно быть постоянным. Следовательно, функция (б) является решением дифференциального уравнения (7.16) при поперечной нагрузке равномерно распределенной по поверхности пластинки. [c.129]

Итак, функция (а) является решением поставленной задачи, так как она удовлетворяет условиям на контуре пластинки и при выборе коэффициентов ряда в форме (ж) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба пластинки. Дальнейшая конкретизация задачи зависит от вида функции у х, у). [c.134]

В полярной системе координат прогиб пластинки и нагрузка будут функциями г и 0, т. е. w r, 0) и q r, 0). Тогда дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки (7.16) получит вид [c.146]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Аналогия между плоским напряженным состоянием и изгибом пластинки ). Существует аналогия между прогибом пластинки, подчиняющимся дифференциальному уравнению Д Aw = О, для частного случая действия одних лишь краевых сил, и функцией напряжений Эри 9, удовлетворяющей уравнению Д Д9 = 0. В то время как функция w определяет кривизны деформированной пластинки, функция Эри определяет компоненты = d fjdy , = d ldx и = — d плоского напряженного состояния упругого тела. Если в обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же контуром, положим / х, у) = О, то подобие явлений устанавливается соотношениями [c.404]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Варьирование можно проводить в подинтегральных выражениях без варьирования давления р. Преобразуя интегралы путем последовательного интегрирования по частям, можно показать, что условие минимума [уравнение (3.27)] эквивалентно требованию, чтобы прогиб ш пластинки удовлетворял дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка (уравнение Лагранжа) [c.150]

Теория упругой устойчивости разработана весьма основательно и располагает рядом эффективных методов. Один из методов определения критической нагрузки заключается в следующем полагая, что при некотором значении параметра нагрузки у возможно появление искривленной формы равновесия пластинки, составляют дифференциальное уравнение изгиба с учетом внешних сил Т, = уТ1 Т2 = уТ1 8 = у8 которые приложены в срединной плоскости пластинки и при ее искривлении дают составляющую р, нормальную к срединной плоскости пластинки. Решение такого уравнения, содержащего у в качестве параметра и удовлетворяющего всем граничным условиям, сзществует только при некоторых определенных значениях параметра у, которые называют собственными значениями задачи. [c.74]

Влияние этих факторов наиболее рельефно проявляется при двухслойном строении пласта (рис. 3.13, б). В этом случае описание понижений напора в основной части пласта дается дифференциальным уравнением планового радиального потока, вкото- [c.191]

Уравнение (2.221) представляет собой дифференциальное уравнение изгиба пластинки оно было найдено впервые Софи Жермен и носит ее имя. Левая часть уравнения содержит бигармо- [c.82]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки, его обычно называют уравнением Софи Жермен. [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...