Уравнение изгиба пластинки полное

Чтобы получить более полное дифференциальное уравнение изгиба пластинки, нам останется лишь подставить выражения (1) в уравнения (с) [c.195]

Учебник для вузов, в которых сопротивление материалов изучается по полной программе. Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность изложения - от частного к общему - и разумное повторение материала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. В первой части дается традиционный курс сопротивления материалов в элементарном изложении. Во второй части приводятся дополнения по некоторым вопросам, рассмотренным в первой части, а также рассматриваются задачи, требующие применения методов теории упругости. Таковы, например, задачи о кручении стержней, о местных напряжениях, об изгибе пластинок, о кручении тонкостенных стержней. Для возможности более обоснованной трактовки таких задач в книгу включен раздел, посвященный основным уравнениям теории упругости и некоторым наиболее простым задачам этой науки. [c.234]

Вывести уравнение изгиба прямоугольной пластинки (аХЬ), нагруженной поперечной распределенной нагрузкой / х, у) из рассмотрения экстремального значения полной потенциальной энергии. [c.18]

Вывести уравнение изгиба круглой пластинки в полярных координатах (5.14) радиусом г = а из рассмотрения экстремального значения полной потенциальной энергии. Пластинка нагружена поперечной распределенной нагрузкой q= q r, ф). [c.19]

Положим, что срединная поверхность пластинки уже несколько выпучена до изгиба, так что в любой ее точке имеется некоторый начальный прогиб Wq, малый в сравнении с толщиной пластинки. Если такую пластинку подвергнуть действию поперечной нагрузки, то последняя вызовет дополнительный прогиб так что полный прогиб любой точки срединной поверхности пластинки будет Wf - -Wy. Для вычисления прогиба w- воспользуемся уравнением (103), выведенным для плоской пластинки. Этот прием допустим в том случае, если начальный прогиб мал, поскольку мы вправе рассматривать его в этом случае как эффект фиктивной нагрузки и применить принцип наложения 2). Если кроме поперечных нагрузок имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то влияние этих сил на изгиб зависит не только от w , но также и от Wq. Чтобы учесть это обстоятельство, мы в правой части уравнения (217) вводим полный прогиб w=Wq- -Wi. Следует помнить, что левая часть этого уравнения была получена из выражений для изгибающих [c.437]

Таким образом, все силы разделились на две группы. Первой группе соответствуют деформации в плоскости пластинки, второй — изгиб пластинки. Каждая группа уравнений решается особо и полные напряжения получатся путем сложения напряжений соответствующей плоской задачи с напряжениями изгиба. Такое разделение уравнений на две группы явилось следствием того, что мы при составлении уравнений равновесия пренебрегали теми изменениями в направлениях сил Т ,. .., которые являются следствием изгиба пластинки. В дальнейшем мы учтем это обстоятельство и выясним влияние сил и [c.380]

Влияние сил Ту, Т и будет для плоских и слегка искривленных пластинок не одинаково. Чтобы учесть влияние начального искривления на изгиб, вызываемый силами Ту, Гд и б ц обратимся к уравнению (226). В правую часть этого уравнения кроме нагрузки д входят составляющие в направлении оси г от усилий Ту, Т и /5 . Составляющие эти, очевидно, определяются полным искривлением пластинки, и потому, применяя уравнение (226) к искривленным пластинкам, нужно в правой части вместо м поставить величину l o + иоу. Что касается левой части уравнения (226), то она определяет деформации пластинки, вызванные внешними силами, и потому, применяя это уравнение к пластинкам с начальной кривизной, нужно в левой части поставить вместо ю величину Юу. Таким образом, получаем для пластинок с начальной кривизной уравнение [c.420]

Изгиб пластинки распределенной нагрузкой. Для бесконечной пластинки, изгибаемой распределенной нагрузкой p=f(x,t), можно найти интегралы полного дифференциального уравнения (10.3) [c.365]

Выясняя граничные условия, он приходит к тем самым определениям, которые ныне являются общепринятыми для пластинок со свободно опертыми и с жестко защемленными краями. Для края, по которому распределены заданные силы, он требует выполнения трех условий (вместо двух, признанных достаточными в наше время). Эти условия сводятся к тому, что поперечная сила, крутящий момент и изгибающий момент (вычисленные из молекулярных сил для каждого элемента длины края) должны уравновешивать соответствующие величины для внешних сил, приложенных по краю. Сокращение числа условий с трех до двух было выполнено впоследствии Кирхгофом, физическое же обоснование такого сокращения было дано Кельвином (см. стр. 266). В доказательство применимости своей теории Пуассон исследует изгиб круглой пластинки под нагрузкой, интенсивность которой является функцией одного лишь радиуса. С этой целью Пуассон переписывает уравнение (а) в полярных координатах и дает полное решение задачи. В дальнейшем он применяет это решение к случаю равномерно распределенной нагрузки и дает уравнение для свободно опертых и для защемленных краев. Его внимание привлекает также задача о поперечных колебаниях пластинки, и он решает ее в применении к круглой пластинке, форма прогибов которой обладает центральной симметрией. [c.138]

Складывая значения энергии, выраженные формулами (220) и (224), с энергией изгиба [см. уравнения (117), стр. 106], мы получим полную энергию деформации изогнутой пластинки под совместным действием поперечных нагрузок и сил, расположенных в срединной плоскости [c.429]

Мы видим, что все коэффициенты возрастают с возрастанием Поэтому как только Л/д. приближается к критическому значению, член в ряде (h), соответствующий поперечно выпученной форме пластинки [см. уравнение (227)], приобретает главенствующее значение. Мы имеем здесь полную аналогию со случаем изгиба начально искривленного и подвергнутого сжатию стержня. [c.439]

Из этого перечня видно, что книга не претендует на освещение всех вопросов теории упругости анизотропного тела, а излагает только некоторые, наиболее изученные, но еще не приведенные в систему. В ней не содержится исследований по изгибу и устойчивости анизотропных пластинок, так как эти вопросы достаточно полно разработаны в нашей книге <Анизотропные пластинки . Задача о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии изложена сжато (в связи с более общей задачей), причем из частных случаев рассмотрены только наиболее важные. В книге не затронуты проблемы равновесия и устойчивости анизотропных оболочек, а также динамики упругого тела (за исключением общих уравнений движения) Во всех случаях предполагается, что деформации являются упругими и малыми, а материал следует обобщенному закону Гука. В конце имеется перечень литературы, куда, кроме работ, излагающих специальные вопросы, включены также некоторые основные курсы теории упругости. [c.12]

Зная из выражений (Ь) смещения, мы можем из уравнений (Ь) предыдущего параграфа вычислить деформацию срединной плоскости и соответствующие напряжения мембраны. Напряжения изгиба находятся после этого из уравнений (101) н (102) для изгибающего и крутящего моментов. Складывая напряжения мембраны и напряжения изгиба, получаем полные напряжения. Максимальные значения этих напряжений получаются в серединах длинных сторон пластинки. Они даны в графической форме на рис. 209. Для сравнения здесь нанесены также прямые линии, представляющие напряжения, полученные на основе теории малых прогибов, и кривая bja = О для напряжений в бесконечно длинной пластинке. Представляется естественным ожидать, что полное напряжение при ь]а = О должно быть больше, чем при Ь а = Vz для любого значения нагрузки. Мы видим, однако, что кривая для Ыа = О лежит ниже кривых для 6/а= /г и Ыа = /а- Это, вероятно, результат приближенности решения энергетическим методом, объясняющийся тем, что мы пользуемся здесь конечным числом постоянных. Он указывает на то, что в вычисленных напряжениях содержится погрешность в сторону запаса прочности, т. е. что они слишком велики. Погрешность для 6/а = /2 составляет, по-иидимому, около 10%. [c.468]

Полубесконечная область. В случае изгиба полубесконечной пластинки при наличии полного сцепления проблема сводится по-прежнему к системе (2.1), но при этом область их задания 2 представляет собой полуплоскость (0 х<оо, —оо-<г/-<оо). Кроме того, здесь еще следует добавлять краевые условия для пластинки при х=0. Названную систему уравнений можно привести к системе из трех интегральных уравнений первого рода типа Винера —Хопфа (1, 3). Как это делается, покажем на примере изгиба пластинки без учета сил касательного взаимодейст- [c.288]

Уравнения (14,6) и (14,7) представляют собой полную систему уравнений сильного изгиба тонких пластинок А. Foppl, 1907). Эти уравнения весьма сложны и не могут быть решены точно аже в простейших случаях. Обращаем внимание на то, что они нелинейны.. [c.79]

Во втором приближении решаем полное уравнение (2.77), причем полагаем, что Ms (г) = М (d (г) и О (г) = lO- ) (г) определены в первом приближении из (2.84), и находим новое значение iVs (2) (f), которое подставляем в (2.84) для нахождения Ms (2) (f). Частным случаем является решение для слабоизогнутой пластинки с учетом влияния растягиваюш,их сил в срединной поверхности на изгиб. В этом случае (2.77) и (2.84) имеют вид [c.50]

Исследуя цилиндрические оболочки, подвергнутые внутреннему давлению, Грасхоф не только применяет формулы Ламе, но учитывает и местные напряжения изгиба, возникающие в тех случаях, когда края оболочки жестко соединяются с торцовыми плитами. В этом исследовании он пользуется дифференциальным уравнением прогибов продольных полосок, вырезанных из обо-лочки сменшыми радиальными сечениями ). Грасхоф дает также полные решения для некоторых случаев симметрично нагруженных круглых пластинок. Рассматривает он и равномерно нагружен-нью прямоугольные пластинки, предлагая для некоторых случаев приближенные решения. [c.163]

В выводе уравнений элементарной теории пластинок принимается, что каждый тонкий слой пластинки, параллельный ее срединной плоскости а г/, находится в плоском напряженном состоянии, в силу чего отличными от нуля остаются только три компоненты напряжения Оу и Тху. Для более толстых пластинок полезно иметь полное решение задачи с учетом всех шести компонент напряжения. Несколько решений этого рода было предложено Сен-Венаном в его переводе книги Клебша ). Некоторые элементарные строгие решения для круглых пластинок были найдены А. П. Коробовым ), опыт же построения общей строгой теории пластинок был предложен Дж. Мичеллом ) и получил дальнейшее развитие в книге А. Лява ) по теории упругости. В последнее время строгая теория, пластинок обратила на себя внимание инженеров и некоторые ее задачи были полностью решены. Особого упоминания заслуживают труды С. Войновского-Кригера ) и Б. Г. Галер-кина ). Возрастающий успех, который находят в настоящее время в разнообразных технических применениях тонкостенные конструкции, привлек большое внимание к теории оболочек. Приемлемое для практики решение во многих, относящихся к тонким оболочкам, задачах становится достижимым, если пренебречь изгибом и допустить, что напряжения распределяются по толщине [c.492]

Большие прогибы равномерно нагруженной прямоугольной пластинки. Начнем со случая пластинки с защемленными краями. Для получения приближенного решения задачи воспользуемся энергетическим методом ). Полная энергия К деформации пластинки получится путем сложения энергии изгиба [выражение (117), стр. 106] с энejpгиeй, обусловленной деформацией срединной поверхности [выражение (249), стр. 4б4]. Тогда принцип виртуальных перемещений даст нам уравнение [c.466]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Дифференциальное уравнение симметричной формы потери устойчивости получим, используя энергетический метод. Полная потенциальная энергия пластинки складывается из потенциальной энергии изгиба несущих слоев, потенциальной энергии ваполни-теля и работы внешних сил и определяется следующим выражением [13] [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...