Равновесие упругого шара

РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО ШАРА С НАКЛАДКОЙ [c.321]

РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО ШАРА С НАКЛАДКОЙ обозначения [c.333]

Равновесие упругого шара 261 Распределение напряжений радиальное простое 195 [c.363]

Таким образом, если два абсолютно упругих шара, массы которых одинаковы, испытывают прямой удар, то они обмениваются своими скоростями, так что кажется, что один стал на место другого. В частности, если один из шаров до удара неподвижен, то после удара неподвижным окажется другой шар. Этот опыт легко осуществить при помощи двух шаров из слоновой кости, подвешенных на двух одинаковой длины нитях и касающихся друг друга в положении равновесия. Один из шаров удаляют от положения равновесия и потом отпуска ют так что он под действием своего веса возвращается в прежнее [c.52]

Первые приложения общих уравнений равновесия упругих тел к конкретным задачам были осуществлены, по-видимому, в 1827—1828 гг. находившимися в то время на русской правительственной службе в Петербурге французскими инженерами Г. Ламе и Э. Клапейроном в их Мемуаре о внутреннем равновесии однородных твердых тел В этом мемуаре они рассмотрели задачи о растяжении бесконечной призмы, кручении бесконечного кругового цилиндра, равновесии шара под действием взаимного притяжения его частиц, равновесии полого кругового цилиндра и шара под действием внутреннего и внешнего давления. Далее они выписали некоторые интегралы (с четырех- [c.54]

Пример. Однородный стержень, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести, находится в состоянии равновесия. На один из его концов с высоты к падает абсолютно упругий шар. Определить движение стержня и шара. [c.163]

Постановка задачи. Рассмотрим упруго-пластическое равновесие полого шара, испытывающего внутреннее давление р. Вследствие центральной симметрии (г, ф, % — сферические координаты) сдвиги у<ру, yyJ. и касательные напряжения т ф, Тфу, равны [c.103]

Явление потерн устойчивости упругого тела рассмотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 2.115, я), сверху надет шар. При небольшом значении силы тяжести 0 , сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии. Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равновесия, снова примет прямолинейную форму. Посте- [c.251]

В то же самое время они получат перемещение и, а это вызовет упругие напряжения в соответствии с равенствами (III. 11) или (III. 20) или некоторыми другими реологическими уравнениями. Предположим, что тело является шаром радиусом Ro, центр которого закреплен тогда по условиям симметрии можно принять, что направления различных смещений и и скоростей v во всех точках проходят через центр. Каждому р соответствует некоторая вполне определенная величина е и, следовательно, некоторый вполне определенный радиус R, при котором внутреннее напряжение р, возникшее в теле благодаря деформации, уравновесит внешнее давление р. Если р приложено мгновенно, то это значит, что, пока Ro не достигнет R, равновесия не будет это вызовет появление кинетиче- Кой энергии. Когда шар будет сжат до объема V, р уравновесит р, но частицы будут двигаться по направлению к центру, так как они обладают кинетической энергией. Это вызовет увеличение р [c.62]

Решение общей задачи теории упругости, а именно, интегрирование уравнений движения или равновесия при определенных граничных условиях, т. е. при заданных на поверхности тела напряжениях или смещениях, получено только для тел очень простой формы (например, для шара и эллипсоида). Инженер имеет дело с телами сложной формы (как, например, коленчатые валы) и вынужден обычно пользоваться приближенными решениями, которые мы дали для балок и пластинок. [c.480]

Задачей дальнейших исследований является отыскание правильного объяснения этих фактов. Конечно, здесь речь идет не только о математической задаче, т. е. о нахождении решений основных уравнений упругого равновесия, которые соответствовали бы граничным условиям лучше, чем прежние. То, что на этом пути сделано Герцем, трудно превзойти. Можно было бы попытаться устранить или уменьшить ту неточность, которая получается из-за вычисления деформации шара вблизи поверхности давления по тем же формулам, как и плитки, и отыскать с этой целью особое решение для шара. Но мы видели на примере, что ввиду малости а и заметного влияния кривизны шара в пределах этой небольшой области ожидать нельзя. Но если бы мы и могли несколько улучшить формулы, то все равно независимость их от размеров пробного образца, свойственная всем решениям основных уравнений упругого равновесия, сохранилась бы. Поэтому, идя этим путем, нельзя найти объяснение тому факту, что при одинаковых условиях небольшой шарик вызывает повреждение пластинки без вреда для самого себя скорее, чем большой. [c.246]

УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ШАРА. 62. Равновесие шара под действием поверхностных сил или заданных перемещений его поверхности. [c.140]

УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ШАРА [c.144]

Начнем с работы Л. С. Лейбензона (1961), в которой впервые было произведено четкое разбиение напряжений, перемещений и деформаций на основные и добавочные, возникающие при потере устойчивости. Полученные для дополнительного состояния зависимости позволили определить критические значения разности давлений, действующих на внешнюю и внутреннюю поверхности полого шара и длинной трубы. В последующих работах Л. С. Лейбензона проведен обстоятельный анализ приближенных методов решения задач устойчивости упругого равновесия. [c.77]

Частным случаем является такой, когда молекулы двухатомны, а атомы являются жесткими шарами, которые подобно шарам так называемой гимнастической гантели соединены с помощью соединительной штанги в жесткую систему I). Если считать сначала соединительную штангу упругой, то, конечно, нужно будет принять радиальные колебания атомов по отношению друг к другу. Но затем можно перейти к предельному случаю, когда деформируемость штанги стремится к нулю и, следовательно, амплитуда этих колебаний так мала, что, точно так же как и вращательное движение вокруг линии, соединяющей центры атомов, она за доступное для наблюдения время не приходит в тепловое равновесие с прочими движениями. [c.512]

Мы можем теперь сделать общее заключение. Для того чтобы тело, выведенное из положения равновесия, могло совершать колебания, необходимо, во-первых, чтобы тело обладало инерцией и, во-вторых, чтобы существовала сила, стремящаяся вернуть тело в первоначальное положение. При колебаниях шара на пружине такой силой является сила упругости, при колебаниях маятника — сила тяжести. [c.15]

Образование волн. Мы видели, что при возмущении системы, состоящей из связанных маятников, благодаря упругости пружинок-связей и инерции шаров возникает волновое движение. Возмущение водной поверхности приводит вследствие действия силы тяжести и инерции к образованию волн на воде. Сила тяжести играет здесь такую же роль, как сила упругости в колебаниях груза на пружине. Действие этой силы приводит к тому, что вода сопротивляется всякой попытке изменить горизонтальность её поверхности поэтому эти волны называют также гравитационными волнами на поверхности воды. Если бросить в воду камень, то, погружаясь, он создаёт в ней углубление, которое сразу же начинает заполняться водой, врывающейся в него со всех сторон. Подобно тому как груз на пружине при колебаниях не останавливается, а в силу инерции проскакивает через положение равновесия, так и вода, заполнив углубление, благодаря инерции продолжает двигаться дальше. В результате в том месте, где было углубление, вода приподнимается и образует водяной столб этот столб падает, и снова образуется углубление, которое вновь заполняется водой от места падения камня начинают распространяться круговые волны. [c.32]

Сначала рассмотрим равновесие упругого шара, подверженного действию объемных сил тяжести п поверхностной нагрузки аЛг=н = о(0), тг и=н = т(0) (а< б <р), притом о(0) и т(0) направлены ио положительным наиравлепням соответствующих координатных линий п вне интервала (а < О < р) обращаются в тождественный нуль. Определим радиальную и тангенциальную и% ком- [c.320]

Решений типа (9.50) мы не будем использовать, лишь отметим, что они нужны для задачи о равновесии упругого шара. Заметим, рднако, следующее вместо уравнений Ламе (9.51) мы путем" дифференцирования получили уравнения (9.53) более высокого порядка, но более простого вида и нашли решения этих уравнений (9.55) и (9.56). Однако нельзя сказать, что (9.55) и (9.56) обязательно явятся также решениями уравнений Ламе (9.51) решения уравнений Ламе всегда будут удовлетворять уравнениям (9.53), так как эти последние являются следствием уравнений Ламе но благодаря более высокому порядку уравнений ( 53) они будут иметь более широкий класс решений, чем уравнения (9.51). Значит, нам придется установить, при каких условиях (9.55) и (9.56) будут удовлетворять уравнениям (9.51) для этого надо, очевидно, подставить (9.55) и (9.56) в (9.51) ). [c.261]

Равновесие и движение упругого твердого тела. Вывод дифференциальных уравнений для тела, обладаюи его различными упругими свойства.чи по разным направлениям. Число упругих постоянных, вообще, 21 оно уменьшается при наличии плоскостей симметрии и для изотропного тела сводится к двум. Задача о равновесии имеет только одно решение. Когда на частицы тела не действуют силы, то оно может быть в равновесии, если компоненты сжатия постоянны. Всестороннее сжатие, коэффициент упругости. Равновесие изотропных цилиндров, на поверхности оснований которых известным образом распределены давления. Продолжение вычисления для случая кругового сечения. Равновесие полого шара, на поверхности которого действует постоянное нормальное давление) [c.322]

Постановка задачи. Рассмотрим упруго-пластическое равновесие полого шара, испытываюш,его внутреннее давление р. Вследствие центральной симметрии (г, tp, (— сферические координаты) сдвиги Тхл и касательные напряжения равны нулю, а е = , о = о . При этом каждый элемент шара испытывает простое нагружение, так как главные направления не меняются, а коэффициент = Таким образом, при решении этой задачи можно исходить непосредственно из уравнений теории упругопластических деформаций. [c.108]

В качестве второй модели реальной сгенки Максвелл рассматривает слой из упругих шаров, расположенных достаточно далеко друг от друга, так что ни один из них не заслонен другими от удара молекул. Он считает также слой настолько толстым, что каждая молекула, которая попадает из газа на такую стенку, должна столкнуться хотя бы с одним шаром. Когда наконец она покидает этот слой и возвраш,астся в газ, ее скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности в газ, но вероятность любой величины и направления ско.рости будет такой же, как в газе, находягцемся в тепловом и механическом равновесии с твердым телом. [c.138]

В четвертой главе рассматриваются пространственные смешанные задачи для упругих тел, усиленных накладками. Здесь дается постановка и решение задачи о контакте узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством. Обсуждается контактная задача о напряженном состоянии упругого полупространства, усиленного узкой прямоугольной накладкой бесконечнбй или полубесконечной длины. Рассматривается осесимметричная контактная задача о передаче нагрузки от круглой накладки к упругому полупространству. Решается задача о взаимодействии цилиндрической накладки конечной длины с упругим бесконечным сплошным цилиндром или с бесконечным пространством нри наличии в нем цилиндрической полости. Наконец, рассматривается равновесие тяжелого упругого шара, усиленного симметрично относительно экватора сферической поясо-вой накладкой и подвешенного при помощи нерастяжимых лент к одной неподвижной точке. Обсуждаются различные постановки этой задачи. [c.12]

Равновесие тяжелого упругого шара, усиленного сферической поясовой накладкой [c.320]

Рассмотрим упругое поле, создаваемое в однородном изотропном шаре радиуса г — К точечным дефектом, помещенным в его центре г = 0. В равновесии на свободной поверхности тела (на которую внешние сплы не действуют) силы, происходящие от внутренних напряжений п действующие на каждый элемент поверхности, должны быть равны нулю. Этому условию не удовлетворяет решение (3,8), так как дает не равные нулю компоненты тензора напряжений на поверхности тела. Поэтому воспользуемся общим сферически-снмметричным решением (3,6) для поля смещений и — (где Е/ и Е/г оп- [c.65]

В монографии с привлечением теории двухточечных полей и метода конвективных координат изложены основы нелинейной теории упругости. Приведены решения задач устойчивости равновесия шара, сферической оболочки, параллелепипеда, цилиндра. Детально исследованы акустические волны различного рода, в том числе волны ускорения, плоские синусоидальные волны и др. Решены задачи о бесконечно малых и конечн1 1х колебаниях при заданных начальных деформациях. В приложении даны необходимые сведения по тензорному анализу, теории поверхностей. [c.4]

П. Описание математической модели. Изучается динамика плоской системы N маятников, находящихся в поле силы тяжести и связанных с помощью пружин (рис. I). Каждый маятник представляет собой невесомый нерастяжимы й стержень длины L, один конец которого закреплен в неподвижной точке, на другом конце находится однородный шар массы т. Вращением шара относительно центра масс пренебрегаем. Точки закрепления маятников находятся на одной горизонтальной линии на расстоянии А одна от другой. Пружины, связывающие между собой маятники, закреплены на стержнях на расстоянии Ь от точек подвеса и имеют длину Л в нейтральном состоянии. Следовательно, в положении равновесия все углы (/ = I,. ..,7V) отклонения маятников от вертикали равны нулю. При столкновении шаров происходит упругий удар. Предполагается, что углы малы (sin = kp ), а пружины при растяжении и сжатии практически сохран уот горизонтальную ориентацию. Введем декартовы координаты отклонения шаров от состояния равновесия = L[c.53]

Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова- [1—6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], [c.631]

Было предложено несколько остроумных способов решения этой задачи. Советские физики А.Ф. Иоффе и Я. И. Френкель предложили сперва переохлаждать шар (из каменной соли) до температуры, значительно более низкой, чем температура окружающей атмосферы, а затем нагревать его в воздухе до комнатной температуры ). Более высокая температура на поверхности вызывает расширение в материале шара. Термические напряжения в нем сводятся к сжимающим напряжениям в окружном направлении в его внешних частях, из условия же равновесия следует, что центральная часть шара должна быть растянута. Таким образом, в центре шара создается состояние равномерного всестороннего растяжения. Нетрудно найти термоупругие напряжения в шаре в период процесса теплообмена. Эти напряжения определяются центрально симметричным распределением температуры (задача, рассмотренная в классической теории теплопроводности для сферы). Я. И. Френкель определил максимальные значения термических растягивающих напряжений в центре шара и установил, что в каменной соли, переохлажденной в жидком воздухе, они должны достигнуть высоких значений, которые никогда не наблюдались при испытаниях этого материала на простое растяжение или изгиб (шары из каменной соли при повторном нагреве не дают трещин). Найденные таким путем очень высокие значения сопротивления трехосному растяжению во внутренней точке тела для такого слабого материала, как каменная соль, следует считать сомнительными. Внешние части шара из каменной соли, находящиеся в основном под действиел двухосного сжатия, должны получить пластические деформации, так как этот материал обладает низким пределом текучести. Поскольку высокие значения растягивающих напряжений были вычислены на основании теории упругости, влияние пластической деформации внешних слоев шара, приводящее к уменьшению сжимающих напряжений во внешней оболочке, не было учтено, вследствие чего величина растягивающих напряжений в центральной части оказалась значительно завышенной. [c.201]

Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации решена А. И. Лурье (1953) с помош,ью обш,его решения П. Ф. Папковича благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной задачи для полой сферы. Результаты исследований Лурье по пространственным задачам теории упругости собраны в его монографии (1955), где oдepнiaт я также решения задач о тяжелом и о вращающемся шаре, о сферической полости в неограниченной среде и др. ). [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...