Преобразование неустойчивое

Если преобразование не обладает свойством устойчивости, то говорят, что оно неустойчиво, т. е. преобразование неустойчиво тогда и только тогда, когда существует положительное число х такое, что можно указать точки ж с произвольно малым х , для которых I Т ж > х при некотором целом положительном значении п. [c.423]

Теорема 4. Если хотя бы один корень Хк характеристического полинома вещественной матрицы А не лежит на единичной окружности комплексной плоскости А, то преобразование неустойчиво. [c.453]

Выше в ряде параграфов возникали задачи, принципиальное решение которых не представляло особых трудностей (решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, восстановление оригиналов по трансформантам интегральных преобразований и т. д.). Однако фактическая реализация этих решений была затруднена органически присутствующей в расчетах погрешностью, обусловленной как самой реализацией алгоритма, так и погрешностью, вносимой при подготовке начальных данных. Эти задачи включаются в класс так называемых некорректных задач, т. е. задач, решение которых неустойчиво. К ним принадлежат также и задачи, некорректность которых не связана с процедурой численной реализации, а обусловлена самим существом задачи. [c.190]

Отмеченное свойство интегрального уравнения (3.3.1) (неустойчивость решения задачи обращения преобразования Лапласа) заставляет с большой осторожностью использовать методы приближенного решения, связанные с заменой точного значения передаточной функции W p) приближенным. Даже если это приближенное значение Wi p) на всей полуоси [О, оо) мало отличается от точного значения W(p), приближенное значение весовой функции gi t), полученное из W p), может на конечных интервалах сильно отличаться от точного значения g t). Однако, несмотря на это, существует множество достаточно корректных методов приближенного обращения преобразования Лапласа, применимых к функциям W(p), которые при этом должны удовлетворять определенным условиям. Такими условиями, в частности, являются монотонность и ограниченность функции W р). Как будет видно в дальнейшем (см. гл. 4 и 5), характер протекания большинства химико-технологических процессов соответствует монотонным и ограниченным передаточным функциям, для которых существуют достаточно строгие методы приближенного определения весовой функции g i). Подробное изложение теории приближенного обращения преобразования Лапласа дано в работах [5, 6]. [c.109]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Покажем, что вращения вокруг главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему главным моментам инерции, являются устойчивыми а вращение вокруг главной оси, соответствующей среднему из главных моментов инерции, — неустойчивым. Мы будем исходить из преобразованных уравнений (26.17) и (26.18), введя в них компоненты момента импульса L, М, 7V, что весьма удобно для последующего графического представления [c.196]

Будем применять методы теории возмущений, рассмотренные в 7 гл. XI. Нахождение областей неустойчивости основано на нескольких следующих одно за другим канонических преобразованиях, приводящих функцию Гамильтона (29) к некоторой простейшей форме, отражающей резонансный характер задачи и позволяющей весьма просто построить искомые области неустойчивости. [c.554]

В 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке 0 рассматривая эллипс с большой полуосью, равной е, мы можем взять в.качестве х (е) малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Сед-ловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в 19.4, следует применить линейное преобразование [c.371]

Таким образом, г-я составляющая оператора Т гь равна [х иг. Условие устойчивости (а также асимптотической устойчивости и неустойчивости) преобразования следует теперь немедленно. Преобразование, осуществляемое оператором Г, является устойчивым, если 1 при всех значениях г из совокупности 1,2,. . ., т оно асимптотически устойчиво, если i < 1 при всех этих г, и оно неустойчиво, если > 1 для какого-нибудь значения г. [c.423]

Начало координат является (единственной) неподвижной точкой преобразования эта точка неустойчива. Обозначим выражение Г а через [c.423]

Именно такой результат, конечно, и следовало ожидать, учитывая выводы гл. XIX, относящиеся к случаю тп = 2. Для этого случая было установлено, что если собственные значения для линейного приближения чисто мнимые, то особая точка поля Fq устойчива если же рассматривать эту точку как особенность ноля F, то можно получить как устойчивость, так и неустойчивость. Чтобы решить вопрос об устойчивости, можно воспользоваться преобразованием Т = как это показано в 21.14. [c.426]

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование ж = Ва (где матрица J5 не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных. значений матрицы В будет равно В , определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы В 1. Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных 5фг/5а, в точке а = 0. Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо,чтобы якобиан [c.428]

В металлах старение связано со структурными преобразованиями, которые происходят вследствие преодоления первоначальной неустойчивости структуры, возникшей, как правило, вследствие термической обработки. [c.275]

В результате ряда преобразований Петров и Калинина получают условие неустойчивости струйного течения в виде неравенства [c.28]

Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной, и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразование координат X = где а — вещественное число — параметр сдвига корней. Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где [c.399]

После подстановки ряда (3.40) в уравнение (3.39) и последующих стандартных преобразований задача определения спектра областей динамической неустойчивости оболочки сводится к задачам расчета точечных спектров собственных значений Для [c.144]

Картина дисперсионных самовоздействий волновых пакетов преобразование амплитудной модуляции в фазовую. В среде с нелинейным показателем преломления форма и спектр волнового пакета испытывают сильные изменения, носящие при определенных условиях характер неустойчивостей. Первым этапом в цепочке возникающих здесь разнообразных нелинейных волновых явлений является эффект фазовой самомодуляции. Особенно просто он выглядит в условиях, когда нелинейный отклик можно считать квазистатическим (3). Рассмотрим волновой пакет вида (5), распространяющийся вдоль оси г. В среде с показателем преломления (9) полный фазовый набег волны [c.71]

Элементы изображения, лежащие вне фокальной плоскости, колеблются с частотой смены кадров. Величина неустойчивости изображения достигает при этом значения, которое можно определить по формуле (11.257). При этом параметры схем киносъемки и кинопроекции, определяющие неустойчивость изображения, наблюдаемого зрителем при непрерывном движении пленки для щелевого преобразования Фурье, показаны на рис. 142. На этом рисунке [c.266]

Рис. 142. Неустойчивость трехмерного голографического изображения, наблюдаемого зрителем при непрерывном движении пленки в кинопроекторе с оптическим преобразованием Фурье

Точки пересечения графика на рис. 7.29 с биссектрисой определяют неподвижные точки преобразования, т, е. точки, преобразующиеся в себя. Такими точками на рис. 7.29 являются точки Mf и М . При этом точка М является неустойчивой, а точка Л1 — устойчивой, поскольку точки, близкие к точке Mf, преобразуются согласно диаграмме рис. 7.29, отдаляясь от точки М, а точки, близкие к УИ, — напротив, приближаясь к ней. [c.283]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции [(х X) значении параметра X = Л, . Ясно поэтому, что функции, образованные из f(x X) путем многократ-ног-о итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении X. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра к от значения Лоо. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции f x) ). [c.177]

Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение возмущенного движения (5.46) с искомым вектором ас в матричное уравнение (5.49) с искомым вектором Z. Очевидно, что если двилгение устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора , то оно будет устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора ас, и наоборот. [c.143]

Таким образом, с помощью линейного ортогонального преобраиования q = Л уравнение (6.43) можно привести к одной из двух форм (6.45) или (6.46), причем потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы преобразуются в силы той 5ке структуры. Очевидно, что из устойчивости (неустойчивости) относительно коорди1гат z и скоростей i следует устойчивость (неустойчивость) относительно координат q и скоростей с, и наоборот. Поэтому нас не будет интересовать само преобразование q = Л , приводящее уравнение (6.43) к одному из уравнений (6.45) или (6.46). Достаточно знать, что такое преобразование су цествует. [c.167]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Рис. 43. Пересечение неустойчивого множества s-критического цикла со связной компонентой фундаментальной области преобразования моно-дромии

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Основной проблемой анализа динамической устойчивости является построение границ ЗОИ устойчивости и неустойчивости. Если /ДО и /г(0 являются линейно независимыми решениями уравнения Хилла, то при помощи этих решений можно построить и другие комбинации линейно независимых решений путем линейного преобразования [c.461]

Как и в др. классич. СВЧ генераторах, в МЦР преобразование энергии стационарного електронного пучка в излучение оказывается возможным благодаря группировке частиц нолем затравочной волны. Образующиеся электронные сгустки усиливают первичную волну (циклотронная неустойчивость). Такой индуциров. процесс происходит в МЦР вследствие 1) зависимости со,, от энергии электрона (не-изохронность вращения), к-рая приводит к азимутальной группировке частиц, меняющих свою энергию в процессе взаимодействия с волной 2) различия поступат. смещений, к-рые приобретают электроны, попавшие в разные фазы пространственно неоднородной волны этот механизм приводит к продольной (вдоль Яд) группировке частиц. [c.25]

Как правило, гиперболич. множество имеет нулевой ри-манов объём и вследствие этого нигде не плотно, т. е. не содержит ни одного шара (в двумерном случае—круга). Тривиальный пример такого множества—гиперболич. неподвижная точка X (седло) нек-рого гладкого преобразования плоскости. В её окрестности, однако, может существовать гиперболич. множество гораздо более сложной структуры (оно замкнуто, нигде не плотно и не содержит иэолиров. точек, т.е. напоминает канторово совершенное множество). Это бывает в тех случаях, когда проходящие через точку д сепаратрисы (к-рые служат для неё устойчивым и неустойчивым многообразиями) пересекаются под ненулевым углом (трансверсально) в нек-рой точке у= х (называемой трансверсальной гомоклинич. точкой). [c.632]

Как упоминалось в 2.5, метод решения этой задачи был предложен автором в 1975 г. [12]. Он целиком основывался на введении операции поворота сечения, что и инициировало все последующие работы по неустойчивым резонаторам с вращением поля. Здесь приходится исходить из того, что в резонаторах, состоящих из ставдартных оптических элементов со сферическими или плоскими поверхностями, световой пучок в плоскости выходного зеркала, полностью его перекрывая, имеет форму сечения, геометрически подобную форме сечения самого выходного зеркала (с масштабом подобного преобразования М). Таким образом, сечение выходящего из резонатора пучка является результатом вычитания друг из друга различающихся только размерами геометрически подобных фигур (примером тому может послужить кольцо). Нетрудно показать, что это сечение может иметь компактную форму, лишь когда указанные две фигуры развернуты одна относительно другой. [c.247]

При воспроизведении трехмерных голографических киноизображений с непрерывным движением пленки в кадровом окне кинопроектора возникает неустойчивость изображения, наблюдаемого зрителями. Она обусловлена тем, что условия точного преобразования Фурье выполняются только для плоского изображения, которое расположено в фокальной плоскости объектива. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...