Равновесие асимптотически устойчиво

Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определенно-диссипативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.202]

V по времена вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.206]

Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость. [c.370]

Равновесие асимптотически устойчивое [c.347]

В следующих задачах определить область устойчивости, т. е. пайти все значения параметров аир, при которых положение равновесия асимптотически устойчиво [c.180]

Говорят, что система абсолютно устойчива, если у нее лишь одно состояние равновесия, асимптотически устойчивое во всем фазовом пространстве система глобально асимптотически устойчива, если любая ее траектория стремится к какому-нибудь состоянию равновесия. Заметим, что понятия, связанные с устойчивостью системы, наиболее широко употребляются в теории управления и теории автоматического регулирования [2]. [c.131]

Положение равновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, суш,ествует такая -окрестность точки qj = q% = О (/ = 1,. .., п), что для всех — [c.218]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые ) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет [c.225]

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво. [c.230]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Определить, будет ли асимптотически устойчиво положение равновесия системы спутник — стабилизатор для значений параметров, определяемых формулами (2.28) и (2.29). [c.103]

Таким образом, положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.103]

Пример 2.11. Для системы с демпфирующей пружиной (см. пример 2.3) выясним, будет ли асимптотически устойчивым ее положение равновесия при значениях параметров задачи, определяемых формулами (2.35), (2.37) (1-й вариант) и (2.35), (2.38) (2-й вариант). [c.107]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Используя процедуру RGUR, получить необходимые и достаточные уаювия для параметров к- и рассматриваемой системы, при которых ее положение равновесия асимптотически устойчиво (все остальные параметры определяются формулами (2.28)). [c.104]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Рис. 18,3. Интерпретация по Ляпунрву устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства г, е) проверяемое положение равновесия неустойчиво д) проверяемое положение равновесия асимптотически устойчиво

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = О существует функция Ляпунова, такая, что функция —dVjdt положительно определена в D, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.164]

Стоит заметить, что когда размерность фазового многообразия больше двух, возникает много различных типов поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории, и представляется нецелесообразным говорить в данном случае о предельных циклах (точно так же, как для положений равновесия на плоскости не вводят понятия предельнош положения равновесия) ). Асимптотическая устойчивость уже имеет свое название, а более широкий класс включал бы несколько качественно отличающихся друг от друга типов поведения, для объединения которых нет оснований. [c.177]

Положение равновесия асимптотически устойчиво, поскольку общее решение уравнения (5.1) представляется в виде суммы экспонент, показатели которых имеют отрицательные монотонно убывающие действительные части и limq(r) = 0. [c.215]

Каждому значению С соответствует своя и тегральная кривая. Ось ординат и ось абсцисс тоже интегральные кривые, отвечаюцще зна ниям С=сю и С=0 соответственно. Начало к ординат - особая точка, в которой все интегр ные кривые касаются оси абсцисс. Особая то представленная на рис. 2.1, называется узло Нетрудно определить направление движен изображающей точки по интегральной крив При < О, < О изображающая точка с чением времени приближается к началу координат, что видно из (2. В этом случае имеем устойчивый узел, а состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если же А,, > О, А,, > О, то изображающ точка по соответствующей параболе удаляется (с ростом /) от начала ординат в этом случае особую точку ( =Т1 =0), являющуюся неустойч вым положением равновесия, называют неустойчивым узлом. [c.52]

Устойчивый узел. Xj и - действительные отрицательные величины. При задании ненулевых начальных условий в линеаризованной системе имеет место апериодически затухающий процесс. Состояние равновесия асимптотически устойчиво. [c.56]

Устойчивый фо1дгс. Л, и ><2 - комплексные числа и Ке 2< О- Состояние равновесия асимптотически устойчиво. Переходный процесс в линеаризованной системе носит характер затухающих колебаний. [c.57]

Границы областей устойчивости, на которых положение равновеси асимптотически устойчиво, называются безопасными, а границы, н которых оно неустойчиво, — опасными. [c.222]

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241]

Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t-> +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39]

Пример 2.12. Испо [ьзуяпроцедуру LSHIP, получим для примера 2.2 необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы. Для этого обратимся к процедуре [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...