Фокус неустойчивый

В 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке 0 рассматривая эллипс с большой полуосью, равной е, мы можем взять в.качестве х (е) малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Сед-ловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в 19.4, следует применить линейное преобразование [c.371]

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Значит, для состояния равновесия с абсциссами х > х и х<С.Хо имеем 0 С О, т. е. состояния равновесия, не являющиеся седлами, устойчивы, а для состояния равновесия с абсциссами, удовлетворяющими неравенствам Жг < ж С Xi, имеем а > О, т. е. соответствующие узлы или фокусы неустойчивы. Таким образом, получим [c.164]

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равновесия, расположена под кривой а, то для этого состояния равновесия о < О (и значит, узлы и фокусы неустойчивы), если над кривой о, то о > О (и значит, узлы и фокусы устойчивы). [c.328]

Предельных циклов нет. Фокус неустойчивый. Структура разбиения фазового пространства изображена на рис. 205, i. [c.397]

Фаза колебаний начальная 37 Фокус неустойчивый 88, 299 [c.915]

Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) [c.138]

Случай 1 хотя бы один из коэффициентов а. отличен от нуля. Тогда все траектории в малой окрестности точки X = = О - спирали, а состояние равновесия имеет характер фокуса. Пусть а. - первый отличный от нуля коэффициент. Тогда точку X = = О называют сложным фокусом кратности / Этот фокус неустойчивый, если а. > О, и устойчивый, если а. < 0. [В первом случае Р(Го) = <ХуГ(/ +...> О и точка В на рис. П.1 лежит правее точки А, во втором случае (Гд) < О и расположение точек Аа В такое, как рисунке]. [c.328]

Р,(0.0) Устойчивый узел (фокус) Неустойчивый узел (фокус) Седло Седло [c.352]

Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) фокусом (рис. 1.6, а и рис. 1.6, б). [c.14]

При ( < О состояния равновесия неустойчивы (седла). При 9 > О, р > О состояния равновесия устойчивы, при 9 > О, р < О состояния равновесия неустойчивы. При б > О состояния равновесия — узлы, при б < О — фокусы. [c.138]

Рассмотрим плоскость р. На этой плоскости кривая <7=0 определяет область неустойчивых состояний равновесия (седел). При q> О линия р = О отделяет устойчивые состояния равновесия от неустойчивых. Граница между фокусами и узлами определяется уравнением 6 = 0, т. е. [c.138]

Начало координат (см. рис. 5.15) является неустойчивой особой точкой типа фокус, и все траектории, выходящие из начала координат, через большее или меньшее число периодов колебаний (в зависимости от добротности накопительного элемента системы) приходят на предельный цикл. [c.199]

При стремлении /г к нулю слева радиус неустойчивого предельного цикла уменьшается и стремится к нулю. Начало координат на фазовой плоскости при этом обращается из особой точки типа устойчивого фокуса в особую точку типа неустойчивого фокуса. Одновременно радиус устойчивого цикла увеличивается. [c.210]

При стремлении k к нулю справа радиус единственного устойчивого предельного цикла постепенно уменьшается, а неустойчивая особая точка типа фокус в начале координат приближается по характеру движения в ее окрестности к особой точке типа центр. [c.210]

Исключая время t из соотношений (11.44) и (11.45), получаем зависимость х х), графическое изображение которой на фазовой плоскости представляется спиралью, выходящей из точки (- 0, 0) статического равновесия (рис. 65,6). Эта точка, рассматриваемая как особая точка фазовой траектории, называется неустойчивым фокусом. [c.229]

Следовательно, расстояние 00 будет максимумом или минимумом одновременно с АР- - Вр, а последняя сумма будет, очевидно, минимумом, когда прямая АВ проходит через фокус Р. Таким образом, если прямая может проходить через фокус, то каждое ее положение является положением равновесия. В случае, показанном на фигуре, когда прямая проходит через Р, она будет находиться в неустойчивом положении равновесия, так как в этом положении ее центр тяжести будет выше, чем в соседних положениях. Она [c.231]

Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению. [c.379]

С ростом t амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Если уравнение (20.7.1) заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка, то начало координат будет устойчивым фокусом ( 19.4). Если, однако, в уравнении (20.7.1) считать к отрицательным (и > О >/с), то получим систему с отрицательным трением и колебания будут неограниченно возрастать по амплитуде. Начало координат для эквивалентной системы двух уравнений первого порядка будет неустойчивым фокусом. [c.394]

В этих расчетах не принималось во внимание влияние трения учет его может привести к тому, что вместо центра мы получим устойчивый или неустойчивый фокус. [c.486]

Как уже отмечалось в 17.2, особым точкам фазовой плоскости соответствуют равновесные состояния, при этом центру — устойчивое, а седлу — неустойчивое равновесия. Что касается фокуса и узла, то они могут соответствовать либо устойчивому (если движение изображающей точки по фазовой траектории направлено к особой точке — см. рисунки в строках 1, 4 и б табл. 17.2), либо неустойчивому (если движение — от особой точки — см. рисунки в строках 2, 5 и 7 табл. 17.2) состоянию равновесия. Аналогично устойчивым (рисунок 17.17, ж) или неустойчивым (рисунок 17.17,3) может быть предельный цикл. Точкам неустойчивого предельного цикла соответствуют нереализуемые движения. [c.76]

Прл А с О семейство спиралей будет расходиться, удаляясь от начала координат (фиг. 20, б), которое является неустойчивым фокусом. [c.358]

При (Т < О — устойчивый фокус, движение около стационарной точки носит характер затухающих колебаний. При а > О — неустойчивый фокус — колебания нарастающей амплитуды- [c.36]

Теорема III. Если в системе имеется единственная и неустойчивая особая точка типа узла (фокуса) и если бесконечность неустойчива (существует окружность радиуса R с центром в начале [c.39]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Такнм образом, точка Oj движется по логарифмической спирали, а положение равноиесия центра ротора является неустойчивым фокусом. На рис. 6.10 приведена фотография, лаимство- [c.210]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Фокус устойчив, если а -< 0. Если а > О, то получаем неустойчивый фокус в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики г —> О при t —оо. [c.368]

Рассмотрим случай, когда Г является циклической траекторией и в ограничиваемой ею области имеется одна особая точка ро, которая является узлом или фокусом. Возьмем точку q вблизи от Ро. Если особая точка неустойчива, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, не может стремиться к точке ро. Следовательно, она должна стремиться к предельному циклу, который либо совпадает с Г, либо является другой циклической траекторией, расположенной внутри области, ограниченной кривой Г. Отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, при этом стремится к точке Ро и, возможно, входит в нее. [c.393]

Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна-единственпая циклическая силовая линия и все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. Система обнаруживает стремление к установлению периодических колебаний независимо от начальных условий движения (исключая тривиальный случай, когда в начальный момент х = х = 0). [c.395]

Курс теории механизмов и машин (1985) -- [ c.110 ]

Курс теоретической механики Том2 Изд2 (1979) -- [ c.515 ]

Качественная теория динамических систем второго порядка (0) -- [ c.151 , c.199 , c.203 ]

Теория колебаний (0) -- [ c.88 , c.299 ]

Введение в теорию механических колебаний (0) -- [ c.189 , c.191 ]

Теория колебаний (2004) -- [ c.438 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...