Метод наибыстрейшего спуска

Основой для получения таких асимптотических выражений является общая теория асимптотического вычисления контурных интегралов в комплексной плоскости методом наибыстрейшего спуска [141]. Эта теория развита для интегралов типа [c.96]

Этот интеграл нельзя вычислить в замкнутой форме. Однако метод наибыстрейшего спуска (см. разд. 5.6) позволяет оценить его в пределе хр [c.270]

Для вычисления интегралов типа (4.9.12) часто используется метод наибыстрейшего спуска (см. разд. 5.6). Для этого интегрирование необходимо проводить вдоль контура наибыстрейшего спуска (КНС), который получают посредством непрерывного преобразования первоначально выбранного контура (например, контура Зоммерфельда) в КНС. Точнее говоря, мы имеем [см. выражение (5. .4)] [c.272]

МЕТОД НАИБЫСТРЕЙШЕГО СПУСКА [c.366]

Метод наибыстрейшего спуска [c.367]

Рассмотрите две диэлектрические среды (скажем, 1 и 2), разделенные цилиндрической поверхностью радиусом а. Пусть коллимированный гауссов пучок освещает поверхность раздела под углом падения (относительно оси пучка), который больше критического. Вычислите в дальней зоне поле, прошедшее во вторую среду в случае р- и з-волн как функцию угла падения. Кроме того, вычислите, какую часть энергии потерял падающий пучок при отражении за счет частичного пропускания. Подсказка. Вычисляя поле на поверхности раздела, используйте коэффициент пропускания Френеля для лучей, направленных по оси пучка. Затем найдите асимптотическое представление дифракционного интеграла Фраунгофера, используя метод наибыстрейшего спуска, чтобы правильно учесть гауссово распределение освещенности. (См книгу [35].) [c.400]

Произведя в (12) подстановки, применяемые в методе наибыстрейшего спуска [c.537]

Метод наибыстрейшего спуска. Этот метод ) позволяет получать асимптотические приближения комплексных интегралов типа [c.687]

Метод стационарной фазы. Метод стационарной фазы отличен от метода наибыстрейшего спуска, хотя они и весьма сходны между собой. Метод стационарной фазы менее общий, и его труднее доказать аналитически, но он часто теснее связан с физической задачей. Подлежащий исследованию интеграл удобнее записать в виде [c.692]

Наиболее применяемым в настоящее время из методов минимизации является метод наискорейшего спуска. В большой степени широкому распространению метода способствуют его сравнительная простота и возможность применения для минимизации весьма широкого класса функций. При определении направления поиска выбирают наибыстрейшее убывание целевой функции F(X), т. е. [c.286]

В заключение отметим следующее. Основой найденных выражений являются общие асимптотические формулы (4.2) и (4.3). Получение таких формул базируется на использовании стандартной техники метода наибыстрейшего спуска [141]. Однако вид функции Ф ( ) в (4.1), имеющей в данном случае две точки ветвления и полюс, значительно усложняет конкретные выкладки, связанные с построением пути наибыстрейшего спуска на верхнем листе четырехлистной римановой поверхности. Примером таких трудных ситуаций может быть случай, возникающий в связи с возможностью совпадения седловой точки = йг sin 0 с точкой ветвления = = ki при некотором угле 0. Подробное обоснование справедливости асимптотических оценок интегралов в том виде, как это представлено выше, содержится в работе [233]. [c.99]

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификащ131ми методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) и стационарной фазы (СФ). Первый из них (ВКБ) более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором (СФ) рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска (НС), который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя. [c.340]

Гл. 11 посвящена строгой теории дифракции, получившей за последние 20 лет огромное развитие ), вызванное в основном прогрессом в ультракоротковолновой радиотехнике. Эта глава, а также приложение 3, посвященное математическим методам наибыстрейшего спуска и стационарной фазы, нанисаны Клсммовым. [c.13]

До сих гюр были приведены результаты, получаюпщеся методом наибыстрейшего спуска, для асимптотических разложений в строгом л1ате1 атическом смысле, причем считалось, что величина к может становиться бесконечно большой, а остальные параметры имеют определенные зпачепия, не зависящие от к. Однако было показано, что вид асимптотического разложения зависит от некоторых условий, в частности от того, начинается ли путь наибыстрейшего спуска в седловой точке или нет. Иными словами, вид разложения может зависеть не только от е, но и от других параметров, и может резко меняться, когда эти параметры принимают определенные критические значенпя ). Таким образом, для любого данного значения к независимо от того, насколько оно велико, приведенное выше выражение ие дает хорошего численного приближения, если значения остальных параметров достаточно близки к критическим. Следовательно, практически необходимо получить выражения, обеспечивающие плавный переход от одного асимптотического разложения к другому. Естественно, что эти выражения представляют собой более сложные функции к, чем (13), одпако имеет смысл рассмотреть три случая, которые можно исследовать довольно строго. В кратком обзоре, излагаемом ниже, везде неявно предполагается, что комплексность всех величин такая же, как и раньше. [c.691]

В обозначениях (9) кривая v x, у) = onst снова описывает путь интегрирования однако в (14), в противоположность методу наибыстрейшего спуска, амплитудная часть экспоненты остается постоянной вдоль этого пути, тогда как фаза меняется с максимальной скоростью. Можно, как и раньше, показать, что основные вклады в интеграл вносят отрезки пути, лежащие вблизи седло-вых и концевых точек, однако физическое толкование этого результата проводится теперь не в терминах спадания амплитуды, а в терминах фазовой интерференции (см, 8.3). [c.692]

Однако здесь необходимо отметить одно различие между обоими методами. При использовании метода наибыстрейшего спуска с путем интегрирования, начинающимся в седловой точке и не уходящим иа бесконечность, вклад в асимптотическое разложение от концевой точки пути оказывается бесконечно малым по сравнению со вкладом от седловой точки, поскольку первый содержит дополнительный экспоненциальный множи1ель. Вместе с тем при использовании метода стационарной фазы вклад от концевой точки пути иитегрирования равен но порядку величины вкладу от седловой точки, деленному на й / поэтому он не входит в асимптотическое приближение только в том случае, если учитывается лишь первый член разложения. [c.693]

Таким образом, методы наибыстрейшего спуска и стационарной фазы (если отвлечься от их математического представления) состоят в выборе такого пути интегрирования, вдоль которого подынтегральное выражение, содержащее экспоненциальный множитель, вносит пренебрежимо малый вклад в интеграл везде, за исключеиием окрестностей некоторых критических точек, являющихся либо седловыми, либо концевыми точками пути интегрирования. [c.693]

Работу по определению координат вершин поверхностей для любых постоянных значений т и X и при начальных параметрах а и k выполняли с применением самооптимизирующей ЭЦВМ по программе, созданной с использованием метода наибыстрейшего спуска, описанного Уокером в 1962 г. [c.78]

На первом этапе вычислений контур у деформируют в контур с теми же концами, проходящий через стационарные точки Zq ф-ции q z) 1точки, в к-рых 9 (г)=0]. Стационарная точка является седловой точкой поверхности и = и х, у) = Reg(z), г = х iy. Наиб, удобный путь интегрирования совнадает с линией, вдоль к-рой Im д(г) постоянна, а Reg(z) убывает быстрее всего перевальный контур, путь наибыстрейшего спуска), тогда вычисление интеграла сводится к интегрированию по вещественной переменной. Др, возможность — выбор линии с постоянной Reg(z), в этом случае П. м. переходит в метод стахщо-нарной фазы. Если при переходе к перевальному контуру встречаются особые точки ф-ции /(г), соответствующие вклады учитывают с помощью Коши теоремы. Если в рассматриваемой области q z) не имеет нулей, осн. вклад в интеграл даёт окрестность одного из концов контура интегрирования. [c.556]

Необходимо отметить, что в ряде случаев описанный метод не годится, но их исследование становится возможным при небольшом его видоиз.менении. Прежде всего отметим, что замена верхнего предела в (5) любым положительным числом (не зависящим от k) не приводит к изменению асимптотического-разложения (7). Следовательпо. этот случай можно исследовать, исиользуя путь наибыстрейшего спуска, вдоль которого и(х, у) стремится не к —со, а к конечному значению. Как и раньше, можно использовать путь v(x, у) = onst, на котором лежит несколько точек, где скорость изменения и(х, у) меняет знак. [c.690]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...