Фурье преобразование свойства

При рассмотрении способов разложения произвольной электромагнитной волны в спектр (см. 1.6) были приведены основные формулы, позволяющие определить вид E(v) при заданном E(t). Качественное исследование этой процедуры позволило нам утверждать, что каждый спектральный прибор производит на опыте Фурье-преобразование. Однако в этом общем рассмотрении не учитывались свойства прибора, определяющие успех этой операции. [c.313]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ случайной величины — Фурье преобразование ф-ции распределения этой случайной величины удобный аналитич. объект для матем, исследований разл. свойств случайной величины. [c.402]

Что касается собственных функций, то их можно найти значительно более просто в случае, когда Л/ 1. При этом в уравнениях (4.86) интегрирование можно распространить и на всю область от —оо до 4-00. В этом случае правые части уравнений (4.86), за исключением коэффициентов пропорциональности, представляют собой фурье-образы распределений соответственно U % ) и U r i). Таким образом, согласно (4.86), искомые собственные функции должны быть инвариантными относительно фурье-преобразования. Известно, что этим свойством обладает произведение гауссовой функции и полинома Эрмита. Возвращаясь к исходным координатам хну, собственные функции можно записать соответственно в виде [c.198]

Поскольку /, > л, то распределение поля в плоскости регистрации определяется пространственным фурье-преобразованием распределения во входной плоскости [8]. Это свойство следует из общего характера фурье-пре-образования. [c.469]

Основными операциями обработки изображений являются операции спектрального и корреляционного анализа и пространственной фильтрации. Реализация этих операций базируется на свойстве линзы осуществлять двумерное фурье преобразование над когерентным оптическим сигналом и возможности синтезировать комплексные фильтры голографическим методом. Поэтому следующий параграф посвящен анализу оптического фурье-преобразования, а вопросы собственно оптической обработки изображений будут рассмотрены в гл. 7. [c.204]

Метод пространственной фильтрации лежит в основе оптических методов обработки изображений. Он основан на явлении дифракции света и свойстве сферической линзы осуществлять двумерное фурье-преобразование над когерентными оптическими сигналами. Операции пространственной фильтрации изображений реализуются в различных оптических системах, однако, наибольшее применение нашла двухлинзовая схема (рис. 7.1.1). [c.225]

Рассмотрим теперь, к чему приводит фурье-преобразование выражения (12). Члены в квадратных скобках дадут комплексное пропускание объекта, умноженное на комплексный фазовый множитель. Экспоненциальный член справа приведет к сдвигу восстановленного изображения на величину, пропорциональную — смещению опорного пучка. При наблюдении изображения глазом комплексный фазовый множитель исчезнет и останется только интенсивность исходного объекта. Таким образом, выражение (12) описывает фурье-преобразование объекта, за исключением лишь того, что при восстановлении появляется фазовый множитель. Вот почему голограмма, записанная по схеме на рис. 1, называется безлинзовой голограммой Фурье. Свойства таких голограмм мы обсудим в разд. 4.3.4. [c.182]

Фурье преобразование 13, 27, 179, 652 -- свойства 28 [c.733]

Преобразование Фурье. Метрические свойства трансформант [c.21]

Преобразование Фурье. Метрические свойства трансформант 4. Теорема свертки. Функция межатомных расстояний. . [c.371]

Преобразование Фурье — это, пожалуй, самый важный аналитический инструмент для работы в области статистической оптики и в области современной оптики вообще. Поэтому мы приведем здесь краткий обзор наиболее важных теорем, касающихся фурье-образов и фурье-преобразований, встречающихся на практике. Здесь не будут выводиться эти свойства и соотнощения. По данному вопросу рекомендуем читателю ряд прекрасных книг (см., например, [А.1—А.4]). [c.499]

В этой главе мы постараемся познакомить читателя с математическим аппаратом, который необходим для понимания значительной части последующего материала. Большинство теорий кинематической дифракции в той или иной мере используют фурье-преобразование. Одним из наиболее важных его свойств является свертка, или интеграл свертки. При получении как фурье-преобразования, так и свертки удобно использовать дельта-функцию, поэтому прежде всего определим эту функцию и рассмотрим ее свойства. [c.36]

В гл. 1 мы уже видели, что амплитуда рассеяния от объекта в приближении дифракции Фраунгофера, полученная из формулы Кирхгофа или выведенная на основании теории рассеяния, описывается интегралом фурье-преобразования. Например, чтобы получить двумерную форму уравнения (2.156), в формуле (1.37) следует подставить U = ИХ, v — тД. Таким образом, можно описать амплитуду, получающуюся при дифракции, с помощью распределения в пространстве Фурье, которое, как мы увидим дальше, часто называют обратным пространством. Поскольку в дальнейшем такое описание амплитуды будет использоваться чаще всего для вывода соотношений, относящихся к дифракционным эффектам, и для их объяснения, то перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных свойств и поведения фурье-преобразования. [c.42]

На практике функция Гаусса редко встречается как функция прохождения объекта, но ввиду ее свойств в отношении фурье-преобразования и свертки данную функцию весьма часто исполь- [c.56]

Прибором, состоящим из звукоприемника микрофона в воздушной среде, гидрофона в водной среде) и вольтметра, измеряется эффективное звуковое давление р = V(г), после чего вычисляют интенсивность звукового ПОЛЯ. Свойства приборов для измерения давления и интенсивности в воздухе, как правило, стремятся приближать к свойствам слуха (см. Шумомер). Для получения спектр, состава Ш. применяются различного рода анализаторы спектра (см. Анализатор звука). В литературе рассматривается вопрос о целесообразности получения энергетич. спектра путем Фурье преобразования от автокорреляционной ф-ции. Для экспериментального опре- [c.427]

Фильтрующие свойства единичного приемника. Из рассмотренного в данном разделе осредняющего действия приемника звукового давления, работающего в статистическом некогерентном поле при детерминированном или случайном неоднородном распределении чувствительности по его поверхности, следует, что основой этого эффекта является способность приемника осуществлять пространственную фильтрацию компонент различного масштаба. Поскольку временные частоты турбулентного поля и его пространственные масштабы связаны уравнениями движения, можно использовать избирательную реакцию приемника звукового давления для применения его в качестве фильтра пространственных частот. В этих целях нужно построить передаточную функцию приемника в термину пространственных частот, подобно тому, как это сделано для временных частот в форме уравнения (3.19). В данном случае задача в определенной мере упрощается, поскольку располагая передаточной функцией (3.19), можно получить искомую пространственную передаточную функцию путем Фурье-преобразования (3.19) по определенному пространственному параметру. В зависимости от выбора того или иного параметра разложения можно получить представление о способности приемника осуществлять фильтрацию воздействующего на его вход процесса по этому параметру. Удобно в качестве параметров разложения выбрать собственные функции приемника х(х , Хг ), где в предположении, что приемник имеет прямоугольную форму в плане, [c.98]

Особым свойством рассматриваемых в этом разделе поверхностей волновых чисел является отсутствие какой бы то ни было изолированной точки на 5 +, где фаза —к х стационарна. Следовательно, распределение амплитуд волн теперь уже не пропорционально (как в разд. 4.9) значению пространственного фурье-преобразования F (к) распределения источников. Мы убедимся в том, что вместо этого оно зависит от частичного преобразования Фурье, когда на распределение источников действуют в различных ортогональных направлениях либо оператором преобразования Фурье, либо каким-нибудь иным оператором. [c.452]

Левая часть уравнения (2.6.26) описывает фурье-преоб-разование над функцией и . Решения такого уравнения — это функции, обладающие свойством фурье-преобразование переводит их самих в себя (с точностью до постоянного множителя). Такими функциями являются, как известно, полиномы Эрмита-Гаусса >. [c.149]

Несмотря на то что прецессирующая намагниченность исчезает через время 6, которое вследствие общих свойств фурье-преобразования имеет порядок 1/6 (б — ширина функции формы), ее возможно восстановить до первоначальной величины наложением второго радиочастотного импульса соответствующей длительности. Метод исследования, основанный на этом принципе, известен под названием спинового эха . [c.37]

Таким образом, ФРТ в канонических координатах пропорциональна квадрату модуля обратного фурье-преобразования зрачковой функции. ОПФ находится как фурье-преобразование ФРТ. Пользуясь свойствами фурье-преобразования, описанными, например, в работах [10, 21, 22, 37], можно получить простую формулу, связывающую ОПФ непосредственно со зрачковой функцией [c.45]

Отметим некоторые важные свойства Фурье-спектра. Так, при вращении транспаранта вокруг оптической оси будет вращаться и спектр. Изменение масштабов транспаранта приводит также к изменению Фурье-спектра, а именно к расширению при его уменьшении и сужению при его увеличении. Поступательное движение транспаранта в плоскости / на спектре не отражается. Постоянный член в преобразовании Фурье изображения представлен в спектре пучком нулевого порядка, который создает в центре плоскости 2 яркую точку. [c.51]

Поскольку согласно (5.94) x t) равно свертке функции Грина с внешней силой, то в соответствии с известным свойством преобразования Фурье [c.81]

Преобразование Уолша. Функции Уолша служат базисом для построения рядов функций Уолша, являющихся цифровыми аналогами рядов Фурье и обладающих многими свойствами этих рядов. [c.86]

Основным результатом работ Липпмана явилось теоретическое и экспериментальное обоснование свойства объемной картины стоячих волн воспроизводить спектральный состав излучения. Следует отметить, что теоретическая часть работы Липпмана была выполнена на вполне современном уровне. Липпман показал, что его процесс сводится к двойному преобразованию Фурье на первом этапе спектр падающего излучения записывается в виде его Фурье-образа — функции распределения интенсивности света в стоячей волне, на втором этапе при реконструкции осуществляется еще одно Фурье-преобразование, в результате которого восстанавливается исходный спектр. Касаясь экспериментальной части работы, следует напомнить, что забытая на полвека экзотическая технология изготовления липпмановских светочувствительных фотопластинок успешно возродилась в настоящее время и наряду с лазерной техникой является одной из основ современной голографии. [c.42]

Один из способов, который позволил бы нам понять сущность голограмм Фурье,— это использование свойства линз производить преобразование Фурье это свойство линз является весьма важным для понимания операций пространственной фильтрации в оптических процессорах, использующих неголографические пространственные фильтры, однако оно играет незначительную роль при объяснении свойств голограмм Фурье. Поэтому мы используем иной подход к голографии Фурье, в котором линзы (если они используются) выполняют лишь свою обычную функцию отображения пространства объекта в пространство изображения. Можно показать, что любая голограмма Фурье представляет собой частный случай безлин-зовой голограммы Фурье, на которой записан объект, освещенный неколлимированным светом. [c.179]

При построении оригиналов двойного преобразования Фурье использованы свойства этого преобразования, а также сведение в специальных случаях изображений двойного интеграла обращения к однократному интегралу (связь двойного преобразовапия Фурье с интегральным преобразованием Хапкеля). [c.372]

Величина 9 (e) является весовой функцией, позволяющей вьшолнить суперпозицию отдельных возмущений и тем самым определить выходную реакцию преобразователя. В связи с этим 0(1) выполняет роль функции Грина или импульсной реакции приемника с заданной геометрической формой реагирующей поверхности и распределения локальной чувствительности в пределах этой поверхности. Формально фу1рщия 0(eX которую в литературе часто называют функцией влияния, представляет собой пространственную автокорреляцию импульсной реакции K(S). Это последнее обстоятельство обусловливает ряд свойств функции 0( ), в частности, четность 0 (E) = 0 (— е), способы определения, включая графические, смысл ее Фурье-преобразований и др. Интегрирование функции 0 (ё) по всем смещениям e в пределах существойания (т.е. площади преобразователя) дает ее нормирующий множитель [c.82]

Согласно известному свойству фурье-преобразования, имеем + 00 +00 ] 1/ ( ) 2 ] У (со)Рйсо. [c.541]

Вспомним теперь, что если мы проводим фурье-преобразование в некотором подпространстве, используя базис, полный для всего пространства, то он в этом подпространстве является сверх-полным. Введение псевдопотенциала как раз и означало, что какая-то часть пространства заменена черным ящиком , дэйстви-тельные свойства которого совершенно не важны он должеа имитировать реальный рассеиватель. Это означает, что внутри данного черного ягцика разложение волновой функции проводится не по плоским волнам, а по каким-либо другим функциям, т. е. при проведении фурье-преобразований эта область пространства не включается в рассмотрение. Разложение по плоским волнам в теории псевдопотенциала тем самым проводилось всегда в некотором подпространстве координатного пространства, что и означает, что все методы, связанные с псевдопотенциалом, должны быть сверхполны. [c.206]

Возбуждение будет в той или иной степени оставаться локализованным на -м узле, если для предельно больших значений i амплитуда и/ ( ) = Оц (t) окажется конечной. Последнее в свою очередь зависит от аналитических свойств функции 2 (I к). Фурье-преобразование функции Си (к) можно выполнить, интегрируя по к вдоль контура, проходящего в комплексной Я-плоско-сти чуть выше вещественной оси . Как хорошо известно из общей теории функций Грина, если функция Оц (к) имеет полюс при отличной от нуля мнимой части массового оператора 2 ( Я), то ее фурье-образ Сп (О содержит множитель, экспоненциально затухающий со временем. Соответственно состояние, локализованное на узле I, оказывается нестационарным. Иначе говоря, обращение мнимой части оператора 2 I, к) в нуль при к -> к есть необходимое условие существованиясостояния с тастотой к , локализованного на узле I или вблизи него. Фактически это утвер- [c.419]

Элек1роны проводимости в металлах не свободны, они двигаются (в лучшем случае) в периодическом поле ионной решетки. Из квантовой механики известно, что движение частицы в периодическом поле описывается не плоской волной e vr/f , а блоховской функцйей (рр г) (F. Blo h, 1928), обладающей специфическим свойством периодичности, таким что зависимость энергии частицы от импульса Ер — это не простая формула р / 2т), а довольно сложная неизотропная зависимость i (p), которая только в простейших случаях и в ограниченном диапазоне значений р может быть записана как р / 2тп ) с некоторой эффективной массой тп (для случая эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей нужны уже три эффективные массы). Однако такие небольшие изменения формы изоэнергетических поверхностей и, в частности, поверхности Ферми на практике представляют довольно редкие случаи. Чтобы не рисовать сложных трехмерных изображений, рассмотрим какую-либо одну ось, например ось х. Пусть а — период ионной решетки вдоль х (т.е. частица двигается в периодическом поле и х+а) = и (ж)). Эта периодичность в координатном пространстве х в пространстве волнового числа f = p /ft проявится как периодичность с шагом, равным 2тг/а, — это прямое следствие фурье-преобразования от а -представления к f j,-представлению. Таким образом, любая картинка, нарисованная в импульсном пространстве в интервале -тг/а < к х < -к а (в нашем упрощенном для наглядности одномерном варианте — это полоса (рис. 47)), будет периодически повторяться влево [c.159]

Когда мы перечисляли в 9 основные физические свойства электромагнитного поля, определяющие выбор его лагранжиана, мы сослались на это обстоятельство как на опытный факт и связали его с отсутствием в лагранжиане 4-потенциала Л . Теперь можно пояснить эту связь. Если бы 4-потенциал входил в лагранжиан электромагнитного поля, то, как и в примере 7.4, в уравнении (59) появился бы еще и член, пропорциональный потенциалу, скажем хМ,-, где — константа. Тогда мы получили бы при проведении фурье-преобразования в качестве выражения для частоты ие со = с к а (О = Vс к + — групповая и фазовая скорости были бы различны и зависели бы от длины волиы. [c.232]

Дифракция Фраунхофера. По мере увеличения размера частицы и приближения его к длине волны источника света X, количество света, рассеянного в направлении падающего луча, увеличивается и становится намного больще, чем количество света, рассеянного в других направлениях. Когда размер частицы й много больше X, теория дифракции Фраунхофера (РО) описывает свойства частицы в отношении рассеяния света в направлении падающего луча, что можно рассматривать как предельный случай теории Лоренца-Мая. Теория РО показывает, что интенсивность рассеяния (дифракционная картина) пропорциональна, а величина угла рассеяния обратно пропорциональна размеру частицы (рис. 6.15). При этом используется Фурье-преобразованная линза (линза, расположенная между частицами и детектором таким образом, что детектор находится в фокальной плоскости линзы). [c.193]

Аналогичную операцию можно вьшолнить с использованием преобразования Радона. Схема сжатия при этом выглядит следующим образом. Сначала вычисляется преобразование Радона исходного изображения Цх,у) под различными, заранее выбранными углами ф. Затем из полученных проекций (р) с использованием одномерного преобразования Фурье получают функцию / <0 (V), представляющую собой набор значений двумерного фурье-образа изображения. Сжатие выполняется дискретизацией и квантованием, полученных значений коэффициентов Фурье отдельно вдоль каждой линии. Так как проекция /в р)—действительная функция, то ее фурье-преобразование ( ) обладает свойством эрмитовости, т. е. действительная часть — четная функция, мнимая— нечетная. Поэтому должна быть передана или запомнена только положительная часть (v>0) каждой линии в частотной плоскости. При сжатии вдоль каждой линии отбрасываются значения спектра после некоторой граничной частоты которая изменяется от проекции к проекции, т. е. зависит от ф. В [18] для определения значения было предложено следующее правило [c.212]

Несмотря на то что импульсный отклик и автокорреляционная функция дисперсионного фильтра наглядно описывают свойства последнего, в ряде случаев целесообразно использовать амплитудную и фазовую характеристики. Из осцилляций на амплитудно-частотной характеристике в полосе пропускания и особенно из отклонений фазовой характеристики от хода, соответствующего функции модуляции, можно оценить подавление осцилляций на автокорреляционной функции. Ход частотных характеристик, т. е. передаточной функции, можно получить либо путем фурье-преобразования импульсного отклика (9.8), либо с помощью модели эквивалентной схемы, которая обеспечивает более подробную информацию. При еще более точном анализе применяют модель поперечного поля, описанную в разд. 7.7 [106]. При определенной частоте ПАВ в дисперсионном преобразователе возбуждается лишь в некоторой (активной) области, границы которой можно определить из условия противоположной полярности ПАВ на электродах преобразователя. Число электродов в активной части равно обратному значению относительной ширины полосы при рассматриваемой частоте. Активную область можно заменить недисперсиоиным неаподизованным преобразователем, свойства которого описаны аналитическими выражениями, например, (7.57) и (7.110). [c.426]

Когда объект находится достаточно далеко от фотопластинки либо в фокусе линзы (рис. 13, 6), каждая точка объекта посылает на фотопластинку параллельный световой пучок, при этом связь между амплитудно-фазовыми распределениями объектной волны в плоскости голограммы и в плоскости объекта дается преобразованием Фурье или Фурье-образом, осуществляющим разложение оптического изображения объекта в двумерный спектр по пространственным частотам (более подробно о преобразовании Фурье мы поговорим в главе Голографические оптические. элементы ). Голограмма в. этом случае называется голограммой Фраунгофера. Если амплитудно-фазовые распределения объектной и опорной волн являются Фурье-образами и объекта, и опорного источника, то голограмму называют голограммой Фурье. При получении голограммы Фурье объект и опорный источник обычно располагают в фокусе линзы (рис. 13, в). В случае безлинзовой голограммы Фурье опорный источник располагают в плоскости объекта (рис. 13 г). При. этом фронт опорной во7шы и фронты. элементарных волн, рассеянных отдельными точками объекта, имеют одинаковую кривизну. В результате структура и свойства голограммы практически такие же, как у голограммы Фурье. Голограммы Френеля образуются в том случае, когда каждая точка объекта посылает на фотопластинку сферическую волну (рис. 13, <)). [c.47]

Такие системы дифференциальных ураглений удобно представить в алгебраической форме, воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа или Фурье, а затем записать опюшение левой и правой частей в виде передаточной функции. После факторизации этой функции и наложения условий физической реализуемости обобщенная передаточная функция [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...