Теорема свертки

Поскольку теорема свертки представлена здесь весьма специфиче- [c.75]

Мы использовали h(x) для обозначения свертки двух функций f(x) и д(х). Их собственные преобразования Фурье записываются соответственно Я (ц), F (и) и G (и), где х и и-обычные сопряженные переменные. Таким образом, теорема свертки может быть выражена в форме утверждения, что если [c.76]

При проектировании и анализе линейных электрических цепей один из методов состоял в исследовании выходного сигнала, полученного способом, описанным выше, для случая формирования оптического изображения, т.е. путем свертки входного сигнала (представленного последовательностью импульсов с изменяющейся амплитудой) с единичным импульсным откликом системы. Однако интегрирование, необходимое для исследования влияния различных фильтров, при этом становилось очень сложным. Еще более трудным было обращение свертки, применяемое при проектировании фильтров с условием создания определенных выходных сигналов по заданным входным. Именно применение теоремы свертки обеспечило во многих случаях столь необходимые упрощения. Из этой теоремы следует, что спектр временных частот на выходе линейной электрической системы является просто произведением входного частотного спектра и частотного спектра единичного импульсного отклика системы (ее передаточной функции). Интегрирование во временной области заменяется более простой операцией перемножения в частотной области. Более того, полная частотная характеристика нескольких последовательно включенных фильтров является просто произведением их собственных передаточных функций. Поэтому неудивительны замечания о том, что если бы теория цепей была ограничена временным подходом, то она никогда не получила бы такого развития. [c.87]

Однако если в системе присутствуют оптические аберрации, то отклик системы на единичный импульс, который в данном случае является функцией рассеяния точки системы (разд. 2.3), для разных го-чек в объектном поле может различаться. Такие изменения могут, как мы видели, сделать невозможным применение теоремы свертки. К счастью, если система хорошо скорректирована, остаточные эффекты аберраций постоянны по области, где изображение любой точки в объектном поле достаточно интенсивно. В этом случае система назы- [c.88]

Подставляя значение t/(x) из (5.20) и пользуясь теоремой свертки, получим с точностью до несущественного постоянного множителя [c.88]

Произведя несложные преобразования и пользуясь теоремой свертки, приведем (6.36) к виду [c.117]

Теорема свертки. Свертка функций /(х, г/) и г/), определяемая в виде [c.28]

По теореме свертки [уравнение (346) гл. 7] соотношение (21) превращается в уравнение, описывающее процесс образования изображения в пространстве фурье-координат [c.50]

Из второй теоремы свертки [уравнение (41) гл. 7] вытекает, что [c.50]

В случае гетеродинирования максимумы биений будут, следовательно, появляться на частоте Д/. Для спектральных линий конечной ширины общий характер интерференции не изменится. Это следует непосредственно из соотношения (8) или из теоремы свертки (см., например, разд. 2. гл. 7). Однако биения перестанут быть монохроматическими. Их спектр уже не будет иметь вид дельта-функций, а расплывется в соответствии с шириной спектральной линии. [c.70]

Преобразование Фурье и его различные приложения к операциям свертки, корреляции и распределениям в настоящее время уже вошли в арсенал теоретической оптики и стали ее неотъемлемым инструментом. Это видно на примерах теории образования изображения, интерферометрии, спектроскопии и, наконец, голографии. Даже элементарное рассмотрение теории преобразования Фурье, приведенное ниже, дает исследователям универсальное средство для анализа различных задач физической оптики, теории дифракции и интерферометрии. А во многих случаях использование только таких теорем, как теоремы смещения или теоремы свертки, которые будут даны в следующих разделах, позволяет быстро находить решения целого ряда задач, которые в прошлом требовали применения специально разработанных и часто весьма громоздких методов. [c.194]

Теорема свертки. Функция межатомных расстояний [c.29]

Теперь, поскольку мы знаем преобразования Фурье от каждой из функций, входящих в свертку, мы можем легко найти преобразование Фурье свертки по теореме свертки (1,68) как произведение трансформанты линейной решетки (8) [или (18)] и трансформанты элементарной группировки (30) [c.116]

В результате получилось, что коэффициенты Ф г образуются свертыванием коэффициентов F , как это и должно было быть по теореме свертки — произведения (1,71а). Выражения (95) — (97) зависят от угла , их цилиндрически симметричная нулевая составляющая, не зависящая от , имеет вид [c.135]

Фурье этого агрегата по теореме свертки будет произведение трансформант молекулы и функции размещения [c.178]

По теореме свертки (1,68) трансформанта Фурье свертки равна произведению трансформант свертываемых функций. Пусть трансформанта функции Н х) известна [c.208]

Тогда по теореме свертки для трансформанты Н х) (43) получим [c.208]

Амплитуда рассеяния свертки р/ по теореме свертки определяется произведением трансформант Фурье каждой из этих функций [c.295]

Преобразование Фурье. Метрические свойства трансформант 4. Теорема свертки. Функция межатомных расстояний. . [c.371]

Теорема, свертки. В случае одного измерения [c.501]

Используя теоремы свертки и умножения, запишем фурье-пре-образование (3.31) в виде [c.76]

Из теоремы свертки следует, что [c.143]

Для определения т (<о) необходимо применить преобразование Фурье к обеим частям этого выражения и воспользоваться теоремой свертки для преобразования произведения, в результате чего мы получим [c.54]

Пойдем дальше и, воспользовавшись теоремой свертки для преобразования произведения, получим соотношение [c.123]

Это соотношение известно как теорема свертки для преобразования Фурье от произведения двух функций. Следует иметь в виду, что между интегралом свертки и конечным корреляционным интегралом имеется различие [3]. В интеграле свертки одна из функций свернута и затем смещена. Для временных фильтров, например, где должно быть выполнено условие физической осуществимости, это весьма существенное обстоятельство. Но в оптике во многих случаях функции оказываются симметричными, и поэтому указанное различие не играет роли. [c.234]

Имеет место теорема о свертке если g(0) = 0 и [c.241]

Использовать формулу Меллина (5.122) на практике достаточно сложно, поэтому для построения решений конкретных задач применяются различные вспомогательные приемы, основанные на использовании теоремы о свертке, знании зависимостей, обратных (5.118), и других предположений и теорем, относящихся к обращению выражений специального вида. [c.241]

Преобразование Фурье играет также другую важную роль в физической оптике. Трудно переоценить его значение и для физики в целом. Эта глава посвящена возможностям, которые открывает преобразование Фурье, обеспечивающее более глубокое понимание соотношения между дифракционной картиной, создаваемой многоапертурной дифракционной системой, такой, как решетка или кристалл, и ее (полной) апертурной функцией или структурой. Основные идеи этого подхода представлены в разд. 4.3-4.5 для различных применений в гл. 5 в связи с формированием и обработкой изображения. В разд. 4.3 мы рассматриваем дифракционную картину решетки и в разд. 4.4-ее апертурную функцию. Последняя обсуждается на языке свертки-т.е. на основе другой концепции и математической процедуры, широко используемой в физике. В разд. 4.5 как пример теоремы свертки совместно представлены две стороны соотношения-апертурная функция решетки и дифракционная картина, создаваемая ею. [c.62]

В предьщущем разделе апертурная функция решетки в целом была описана как распределение составляющей ее функции одиночной апертуры и соответствующей последовательности 5-функций, определяющей структуру решетки. Такое распределение одного явления, определяемого в некотором смысле другим, представляет собой пример свертки . Это процесс, который проявляется в разных формах и в многочисленных контекстах. Представление свертки, содержащееся в теореме свертки (разд. 4.5), чрезвьиайно важно и полезно для решения целого ряда проблем. Однако наибольшее значение свертка имеет в областях формирования и обработки изображения, которые мы здесь и рассматриваем. [c.71]

Однако описанное выше прямое использование теоремы свертки как в системах связи, так и в системах формирования оптического изображения вьщвинуло дополнительное требование, а именно инвариантность (или стационарность). Строго говоря, оно означает, что, например, в электрической цепи отклик на единичный импульс должен не зависеть от момента его подачи на вход, т. е. это должна быть система, инвариантная во времени. Таким же образом в системе формирования оптического изображения представление точечного объекта-функция рассеяния точки-должно быть одинаково по всему полю это должна быть система, инвариантная в пространстве (ср. разд. 4.4.1). В начале следующего раздела будут обсуждаться следствия этого требования в обработке оптического изображения. (Рассматривается ситуация, при которой система не является инвариантно линейной. В целом же проблемы нелинейных систем выходят за рамки этой книги.) [c.87]

Как показано на рис. 5.1, хотя и чисто символически в одном измерении, приложение теоремы свертки создает частотный спектр распределения интенсивности изображения в виде произведения спектра частот распределения интенсивности (ЧСРИ) по объекту и преобразования Фурье от ФРТ. Преобразование от ФРТ является оптической передаточной функцией (ОПФ) системы. [c.89]

Эквивалентность этого представления рэлеевскому (разд. 5.2) доказывается применением теоремы свертки к вьпнеприведенному уравнению, которое сразу дает [c.104]

Теорема свертки может лспользоваться не только для получения комбииировая-ного поля из более простых составляющих полей, но и, наоборот, для развбиения комбинированного поля. на простейшие составляющие. [c.199]

Вычисляя фурье-образы зкспоненциальных функций и производя ряд очевидных преобразований в соответствии с теоремой свертки, получаем [c.124]

XIX в. в работах В. Фойхта и Дж. Томсона (Кельвина). В пространственном случае эти модели представляют собой линейную аппроксимацию общих тензорных соотношений между компонентами напряжений, скоростей изменения напряжений и скоростей деформаций. Поэтому они позволяют использовать упругий потенциал в виде квадратичной функции деформаций в сочетании с квадратичной функцией вязкого рассеивания, что практически позволяет в силу принципа соответствия находить решения уп-руго-вязких задач в тех случаях, когда известны соответствующие решения упругих задач. Можно рассматривать среды, которые представляют собой различные комбинации моделей Кельвина и Фойгта. Подробное исследование вязко-упругих моделей проделано А. Ю. Ишлинским Дифференциальные соотношения, содержащие напряжения и деформации, а также их производные, с помощью преобразований Лапласа и теоремы свертки можно [c.272]

Отметим, что линейной комбинации изображений соответствует линейная комбинация оригиналов, произведению — свертка ориги-надов (теорема о свертке), возведению изображения в степень [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...