Некоторые свойства преобразования Фурье

Некоторые свойства преобразования Фурье [c.28]

Волновой пакет, представляемый функцией (8.10), зависит от x,t). Он отличается от нуля в некоторой области значений х, а его форма и размеры меняются с течением времени. Из общих свойств преобразований Фурье можно сделать заключение о длине волнового пакета в пространстве [c.58]

Отметим некоторые важные свойства Фурье-спектра. Так, при вращении транспаранта вокруг оптической оси будет вращаться и спектр. Изменение масштабов транспаранта приводит также к изменению Фурье-спектра, а именно к расширению при его уменьшении и сужению при его увеличении. Поступательное движение транспаранта в плоскости / на спектре не отражается. Постоянный член в преобразовании Фурье изображения представлен в спектре пучком нулевого порядка, который создает в центре плоскости 2 яркую точку. [c.51]

Для установления природы преобразования Фурье для члена решетки регулярная структура, образующая решетку, представляется последовательностью маркеров с идентичными апертурами-в данном случае щелями. Для такого маркера мы используем так называемую Ь-функ-цию, математическое представление (как функция она не имеет реального математического смысла), определяемое, как предельная форма прямоугольной функции (рис. 42, а), у которой площадь (выбирается обычно равной единице) сохраняется постоянной, ширина стремится к нулю, в то время как высота уходит в бесконечность. Таким образом, 5-функция равна нулю всюду, за исключением одной характерной точки, где она бесконечна. В некоторых случаях она описывается как (единичная) импульсная функция. (Ни одна из известных обычных функций не ведет себя подобным образом, и потому ее относят к обобщенным функциям обычно она характеризуется своими интегральными свойствами.) [c.69]

Приведенные выше примеры показали, что в некоторых случаях для извлечения информации о спектре объекта нет необходимости прибегать к полному преобразованию Фурье функции Р(х). Рассмотрим еще две задачи, в которых легко устанавли вается однозначная связь между физическими свойствами объекта и видом интерферограммы, [c.96]

Приведенное выше интегральное фурье-представление функции и (О позволяет нам выявить некоторые важные свойства аналитического сигнала. Обозначив оператор обратного преобразования Фурье через , мы видим, что функцию и (О можно представить в виде суммы двух членов [c.104]

В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гильбертовом пространстве образуют счетный набор. Однако возможен и случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуальным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства. Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра). Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего. [c.435]

Преобразование Фурье на конечном интервале и некоторые его свойства [c.49]

При локальном источнике возмущения в упругой системе в любой момент времени будут также локальными, т. е. будут содержаться в некоторой ограниченной области. Преобразование Лапласа по времени / вследствие запаздывания прихода возмуш,ений с удалением от их источника будет экспоненциально убывать при стремлении пространственной координаты к бесконечности. Отсюда вытекает, что преобразование ЬР (преобразование Фурье над преобразованием Лапласа) существует и является аналитической функцией переменных р и Из указанного свойства следует также законность перемены порядка интегрирования в прямом и обратном преобразованиях ЬР. В общем случае обращение двойного преобразования производится последовательно [4], однако при некоторых условиях возможны существенные упрощения. Приведем здесь ряд приемов, облегчающих анализ (обращение) преобразования ЬР. [c.78]

Здесь будут приведены без доказательств некоторые свойства интегрального преобразования Фурье, которые нам понадобятся ниже при постановке исследуемых в книге смешанных задач. Применение преобразования Фурье или других интегральных преобразований к решению уравнений в частных производных, при помощи которых описываются физико-механические свойства сплошных сред, позволяет понижать порядок этих уравнений. Подробные сведения по теории преобразования Фурье читатель может найти, например, в монографиях [14—19]. [c.22]

До сих пор мы не использовали спектрального представления (14.28) величины Т к), тесно связанной с W к). Это представление, содержащее средние значения произведений преобразований Фурье трех компонент скорости, разумеется, не может дать точной формулы, выражающей W к) через значения Е к) и к однако оно позволяет выяснить некоторые свойства истинной функции W к), которые можно сопоставить со свойствами приближенных выражений [c.199]

Первая задача состоит в удовлетворении произвольным смешанным начальным условиям на торце полубесконечного цилиндра. Вторая задача — вычисление зависимости от времени деформаций на некотором расстоянии от начального возмущения. В первой задаче произвольные напряжения на плоскости, перпендикулярной z, разлагались в линейную сумму частных решений для бесконечной пластинки или цилиндра. Частные решения находились методом разделения переменных или методом преобразований Фурье. При этом произвольные напряжения на плоскости, перпендикулярной 2, можно было представить как сумму напряжений, соответствующих каждому частному решению, при условии, что эта сумма сходится и что система частных решений полная. Коэффициенты этой суммы вычислялись при помощи использования свойств ортогональности двойного функционального пространства из пространства решений. В этом методе трудно было решить, какие из решений, соответствующих допустимым значениям у, должны быть отобраны. [c.180]

Напомним некоторые определения и свойства рядов и преобразования Фурье, поскольку они в дальнейшем понадобятся. Рассмотрим функции от одного аргумента. [c.618]

Подход к определению параметра а состоит в том, чтобы провести оценку суммарной погрешности обращения преобразования Лапласа при помощи ряда Фурье в сравнении с функцией-эталоном, аналитический вид преобразования Лапласа которой известен и по форме похож на вызывающую затруднения функцию [293]. Функция-эталон в известном смысле является вычислительной моделью некоторого идеального процесса, который отражает лишь основные свойства конструкции и явления, происходящие в ней. [c.291]

Выражение для отношения сигнала к шуму для отдельного кадра (9.6.28) выявляет некоторые интересные и важные свойства метода звездной спекл-интерферометрии. Важнее всего, что при неограниченном увеличении числа к фотособытий, приходящихся на один спекл, отношение сигнала к шуму приближается к единице. Таким образом, невозможно достичь отношения сигнала к шуму, большего единицы, прн использовании одного кадра для определения спектральной плотности интенсивности изображения. Это характерно для всех вычислений спектральных величин, основывающихся на преобразовании Фурье одной выборочной функции случайного процесса (см., например, о периодограммах в работе [9.12], 6-6). Единственным способом повышения отношения сигнала к шуму является усреднение найденных значений для отдельных кадров по большому числу кадров, что приводит к свойству, описываемому выражением (9.6.29). [c.492]

Аналогичную операцию можно вьшолнить с использованием преобразования Радона. Схема сжатия при этом выглядит следующим образом. Сначала вычисляется преобразование Радона исходного изображения Цх,у) под различными, заранее выбранными углами ф. Затем из полученных проекций (р) с использованием одномерного преобразования Фурье получают функцию / <0 (V), представляющую собой набор значений двумерного фурье-образа изображения. Сжатие выполняется дискретизацией и квантованием, полученных значений коэффициентов Фурье отдельно вдоль каждой линии. Так как проекция /в р)—действительная функция, то ее фурье-преобразование ( ) обладает свойством эрмитовости, т. е. действительная часть — четная функция, мнимая— нечетная. Поэтому должна быть передана или запомнена только положительная часть (v>0) каждой линии в частотной плоскости. При сжатии вдоль каждой линии отбрасываются значения спектра после некоторой граничной частоты которая изменяется от проекции к проекции, т. е. зависит от ф. В [18] для определения значения было предложено следующее правило [c.212]

Использование внутреннего поперечного электрооптического эффекта определяет некоторые существенные отличия ПРИЗа от модуляторов с продольным эффектом по функциональным возможностям и параметрам. Одно из них связано с необычной для светочувствительных регистрирующих сред передаточной характеристикой. Для ПРИЗа она представляется двумерной комплексной нечетной функцией, имеющей нулевое значение в начале координат, как это обсуждалось в разделе 7.5.2 для ПВМС с поперечным электрооптическим эффектом. В результате после записи изображения воспроизводятся в преобразованном, закодированном виде с подавленной нулевой компонентой в фурье-спектре считываемого изображения. Такое преобразование оказывается весьма полезным в некоторых системах оптической обработки информации. Свойство автоматически выполнять преобразование изображений отражено в названии модулятора (ПРИЗ — аббревиатура от преобразователь изображений ). Кроме того, в определенном режиме работы ПРИЗ имеет необычные динамические свойства — так называемый эффект динамической селекции изображений, который будет обсуждаться ниже. [c.171]

Вспомним теперь, что если мы проводим фурье-преобразование в некотором подпространстве, используя базис, полный для всего пространства, то он в этом подпространстве является сверх-полным. Введение псевдопотенциала как раз и означало, что какая-то часть пространства заменена черным ящиком , дэйстви-тельные свойства которого совершенно не важны он должеа имитировать реальный рассеиватель. Это означает, что внутри данного черного ягцика разложение волновой функции проводится не по плоским волнам, а по каким-либо другим функциям, т. е. при проведении фурье-преобразований эта область пространства не включается в рассмотрение. Разложение по плоским волнам в теории псевдопотенциала тем самым проводилось всегда в некотором подпространстве координатного пространства, что и означает, что все методы, связанные с псевдопотенциалом, должны быть сверхполны. [c.206]

Элек1роны проводимости в металлах не свободны, они двигаются (в лучшем случае) в периодическом поле ионной решетки. Из квантовой механики известно, что движение частицы в периодическом поле описывается не плоской волной e vr/f , а блоховской функцйей (рр г) (F. Blo h, 1928), обладающей специфическим свойством периодичности, таким что зависимость энергии частицы от импульса Ер — это не простая формула р / 2т), а довольно сложная неизотропная зависимость i (p), которая только в простейших случаях и в ограниченном диапазоне значений р может быть записана как р / 2тп ) с некоторой эффективной массой тп (для случая эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей нужны уже три эффективные массы). Однако такие небольшие изменения формы изоэнергетических поверхностей и, в частности, поверхности Ферми на практике представляют довольно редкие случаи. Чтобы не рисовать сложных трехмерных изображений, рассмотрим какую-либо одну ось, например ось х. Пусть а — период ионной решетки вдоль х (т.е. частица двигается в периодическом поле и х+а) = и (ж)). Эта периодичность в координатном пространстве х в пространстве волнового числа f = p /ft проявится как периодичность с шагом, равным 2тг/а, — это прямое следствие фурье-преобразования от а -представления к f j,-представлению. Таким образом, любая картинка, нарисованная в импульсном пространстве в интервале -тг/а < к х < -к а (в нашем упрощенном для наглядности одномерном варианте — это полоса (рис. 47)), будет периодически повторяться влево [c.159]

Несмотря на то что импульсный отклик и автокорреляционная функция дисперсионного фильтра наглядно описывают свойства последнего, в ряде случаев целесообразно использовать амплитудную и фазовую характеристики. Из осцилляций на амплитудно-частотной характеристике в полосе пропускания и особенно из отклонений фазовой характеристики от хода, соответствующего функции модуляции, можно оценить подавление осцилляций на автокорреляционной функции. Ход частотных характеристик, т. е. передаточной функции, можно получить либо путем фурье-преобразования импульсного отклика (9.8), либо с помощью модели эквивалентной схемы, которая обеспечивает более подробную информацию. При еще более точном анализе применяют модель поперечного поля, описанную в разд. 7.7 [106]. При определенной частоте ПАВ в дисперсионном преобразователе возбуждается лишь в некоторой (активной) области, границы которой можно определить из условия противоположной полярности ПАВ на электродах преобразователя. Число электродов в активной части равно обратному значению относительной ширины полосы при рассматриваемой частоте. Активную область можно заменить недисперсиоиным неаподизованным преобразователем, свойства которого описаны аналитическими выражениями, например, (7.57) и (7.110). [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...