Фурье-образы двумерные

Процесс формирования изображения в такой схеме математически описывается с помощью двух последовательных преобразований Фурье, а физически является процессом двойной дифракции на апертурах линз Ла и Лв. В результате первой дифракции на апертуре линзы Лп в ее задней фокальной плоскости формируется фурье-образ двумерного когерентного оптического сигнала, сформированного в результате прохождения пло- [c.225]

Фурье-образ двумерной функции f x, у) можно определить следующим образом [c.27]

Уравнения (5.27) записаны для двумерных пространственных фурье-образов взаимодействующих полей и поляризации (см. гл. 3, 3). Решение с граничными условиями ir(kp, 0) = = i s(k,., 0)=0, Ь р(кр, 0) = о можно найти непосредственным вычислением [c.127]

Преобразование Фурье широко используется в когерентной оптической обработке информации и применяется повсюду, где требуются частотный анализ, фильтрация, корреляция и распознавание сигналов. При определенных условиях [14, гл. 4] свойства когерентной оптической системы естественным образом описываются оператором фурье-образа, что в общем случае представляет собой двумерное преобразование Фурье. [c.27]

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являюш,ихся функцией только радиуса г, имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты р) и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следуюш,им образом [c.32]

Если, для того чтобы в плоскости регистрации голограммы получить двумерный пространственный фурье-образ распределения амплитуд и фаз объектной волны, используется линза, то получаем голограмму Фурье. В случае когда рассеивающий объект и точечный опорный источник находятся на одинаковом расстоянии от регистрирующей среды, мы имеем голограмму квази-Фурье. В 4.3 эти оба типа голограмм рассматриваются более подробно. [c.145]

Голограммы Фурье обладают значительно большей информационной емкостью, чем голограммы Френеля, и это необходимо учитывать при необходимости использовать максимальную плотность записи регистрирующей среды. Предположим, что поле объекта имеет протяженность Если этот объект преобразуется по Фурье с помощью линзы с фокусным расстоянием /, то по теореме выборки преобразование Фурье этого объекта полностью определяется его выборочными точками, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии, равном Я/ZLo. Если фурье-образ объекта имеет пространственную протяженность то число выборочных точек на длине Lj равно LoL /kf, и это число называется произведением пространства на полосу пропускания голограммы. Очевидно, что в случае двумерного объекта число независимых выборочных точек на голограмме Фурье дается выражением [c.193]

На рис. 5 показано, как работает сложная двумерная голографическая система хранения информации, приведенная на рис. 4. На рис. 5, а иллюстрируется процесс записи для регистрации страницы данных, и.меющей координаты ху в среде для записи голограммы. В материале для записи голограмм регистрируется распределение амплитуд объектного пучка, которое представляет собой фурье-образ (приближенно) страницы данных из составителя страниц. Это амплитудное распределение интерферирует с опорным пучком в плоскости записи. Оптические элементы системы заставляют объектный и опорный пучки пересекаться (посредством дефлекторов пучка) в любой выбранной плоскости памяти ху, принадлежащей среде для хранения информации. Таким образом объектный и опорный пучки автоматически следят друг за другом. Процесс считывания при восстановлении страницы данных показан на рис. 5, б. При этом считываемая страница находится в той же плоскости с координатами ху, что и страница, записанная на рис. 5, а. Но теперь присутствует лишь опорный пучок. Ол проходит через сРеду для записи голограммы так, как это показано на рис. 5, б. Но на решетке голограммы часть опорного пучка дифрагирует, образуя комплексный волновой фронт, копирующий амплитуду, фазу и направление распространения волнового фронта исходного объектного пучка, используемого при записи. Падающее на нее распределение световых пятен (цифровые данные) считывается матрицей фото детекторов. [c.424]

Сферическая линза формирует в плоскости Рд двумерный фурье-образ распределения U , и мы получаем следующее выражение для сигнала на выходе [c.568]

Эту систему можно заставить работать в реальном времени, если использовать в качестве устройства ввода сигналов две скрещенные акустооптические линии. Входные сигналы на высокой частоте можно подвести к акустооптическим линиям, а затем осуществить их двумерное фурье-преобразование и после этого отфильтровать соответствующие скрещенные члены на выходе. При этом одномерный фурье-образ такой отфильтрованной картины приводит к формированию функции неопределенности входного сигнала в координатах дальности т и доплеровской частоты v. [c.576]

Ho, поскольку a/ — двумерный фурье-образ функции К, а в силу формулы (7,1,38) функция К связана с двумерным фурье-образом функции зрачка Р, должно существовать более прямое соотношение между Ж и Р. И действительно, если условия 1—3 для пространственно-инвариантного случая выполняются, то амплитудная функция размытия К( — , — т ) принимает вид [формула (7,1.38)] [c.297]

В этой книге мы выбрали такое определение прямого преобразования Фурье, которое имеет экспоненциальное ядро с положительным показателем. Нащи определения одномерного и двумерного фурье-образов (вообще говоря, комплексных) функций Т (х) и Т(х, у) таковы [c.499]

Теперь мы представим без доказательств ряд формул для одномерных и двумерных фурье-образов. Везде в этом приложении д и Ь представляют собой функции (вообще говоря, комплексные) одной или двух переменных, а О и Н — их фурье-образы, определяемые в соответствии с (А.1) или (А.2). Во всех случаях символ означает оператор преобразования Фурье в одном или двух измерениях. Размерность должна быть ясной из контекста. Если приводится только одна форма соотношения, то это значит, что она пригодна как для одномерного, так и для двумерного случая. [c.500]

А.4. Таблица двумерных фурье-образов [c.502]

В табл. А.2 приведены двумерные фурье-образы, которые могут встретиться в данной книге. Здесь г — радиус в плоскости (дг, г/), а р —радиус в плоскости двумерной пространственной частоты (0а , 0у). [c.502]

Таблица А.2. Двумерные фурье-образы

В плоскости двумерный фурье-образ функции Р имеет вид [c.28]

Выражение (20.11) представляет собой двумерный фурье-образ. Взяв обратное преобразование, найдем [c.162]

Поскольку второй момент интенсивности равен Г(1, Г, 0) [см. (20.126)], функция 5(1, X, 0) есть не что иное, как спектральная плотность флуктуаций интенсивности. Выражение (20.142) для 5 было получено различными авторами [292, 297]. Поскольку функция 5 является фурье-образом второго момента интенсивности, она описывает и угловое распределение интенсивностей волн,. приходящих с различных направлений. Поэтому 8 Ь, и, 0) часто называют угловым спектром флуктуаций интенсивности. В этом случае удобно использовать переменную и == /%0, где 0 —-двумерный вектор, компонентами которого являются направляющие косинусы. Если направление волны, приходящей в точку наблюдения, определяется единичным вектором 1 = /х + ту + пг, то 0 = ту + пг. [c.189]

Другой простой и наглядный алгоритм основан на связи фурье-преобразований функций f x,y) и f p). Представим функцию f x,y) в виде набора синусоид, произвольно ориентированных в пространстве и постоянных вдоль одной из осей. На рис. В.6,а приведена одна из них. Рассмотрим проекцию синусоиды, полученную таким образом, что направление зондирования совпадает с образующей синусоиды. Нетрудно заметить, что она также будет представлять собой синусоиду, период которой совпадает с периодом исходной функции. Если направление зондирования не совпадает с образующей синусоиды, интеграл от нее вдоль любой прямой будет равен нулю. Таким образом, в фурье-спектр проекции, полученной под углом ф, внесут вклад только те пространственные частоты функции f x,y), образующие которых параллельны направлению зондирования. Если мы рассмотрим преобразование фурье-проекции (шр), то увидим, что оно совпадет с распределением фурье-образа F u,v) двумерной функции f x,y) вдоль линии, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению зондирования (рис. В.6,6). [c.13]

Ее двумерный фурье-образ известен и равен [c.26]

В дальнейшем мы в основном будем анализировать преобразование Радона двумерных функций. В этом случае из (1.19) можно определить следующую связь между фурье-образом проекций и спектром функции/i(x, ) , [c.26]

Таким образом, в методе фурье-синтеза вначале формируется двумерный спектр томограммы из одномерных фурье-образов проекций по полярной сетке отсчетов, а затем выполняется обратное двумерное преобразование Фурье также в полярной системе координат. [c.30]

В настоящем параграфе рассматривается вопрос о выборе числа проекций для восстановления достаточно широкого класса изображений, представимых в частотной плоскости в виде ряда Котельникова, обобщенного на двумерный случай. Для этого предварительно вспомним связь между преобразованиями Фурье и Радона (см. 1.1). Согласно теореме о центральном слое одномерное преобразование фурье-проекции, полученной под определенным углом просвечивания, равно сечению двумерного спектра изображения вдоль линии, проходящей через начало координат в спектральной плоскости под тем же углом. После определения фурье-спектров от всех проекций в частотной области формируется дискретный набор сечений двумерного фурье-образа искомого изображения. Для анализа возможности последующего восстановления объекта по набору проекций необходимо определить достаточное число сечений двумерного спектра для определения его во всей области задания на частотной плоскости. [c.54]

Двумерные фурье-образы изображений широко применяются при обработке информации. Фактически данное преобразование является ключевым при пространственной фильтрации изображений, вычислении функции корреляции, в ряде задач распознавания. Естественно, что проблема поиска более совершенного алгоритма вычисления двумерного фурье-образа и, главное, разработка процессора, выполняющего это преобразование быстро прн большом числе отсчетов в изображении, рассматриваются при анализе практически всех систем обработки многомерных сигналов. [c.207]

Использование преобразования Радона—Фурье, реализуемого в оптико-электронном процессоре, позволило достаточно просто решить задачу вычисления двумерного фурье-образа произвольной функции в режиме поступления видеоинформации [157] Алгоритм вычисления основан на связи преобразований Радона и Фурье (см. гл. 1). Напомним, что одномерное преобразование Фурье от проекции ] р) представляет собой центральное сечение фурье-образа анализируемой функции х,у). Это означает, что последовательное выполнение над изображением ( х,у) преобразования Радона и одномерного преобразования Фурье позволяет получить значения искомого двумерного преобразования Фурье. [c.208]

Строго говоря, линза формирует сфокусированный фурье-образ двумерного когерентного оптического сигнала не в задней фокальной плоскости, а на сфере радиуса /, касающейся фокальной плоскости в точке пересечения ее с оптической осью. Анализируя распределение комплексных амплитуд света в задней фокальной плоскости, мы по существу рассматриваем проекцию фурье-образа на эту плоскость. Перенос фурье-образа со сферы на плоскость сопровождается возникновениэм систематической погрешности в определении пространственной частоты, что необходимо учитывать при выполнении операции спектрального анализа с помощью линз. Частотная погрешность выражается в том, что масштаб оси частот в задней фокальной плоскости уменьшается с увеличением частоты, а не остается постоянным, как в точном фурье-преобразовании. Очевидно, что чем больше область частотной плоскости, используемая для спектрального анализа, тем больше погрешность в определении верхних пространственных частот анализируемого сигнала. Определим значение этой погрешности и размеры рабочей апертуры в частотной плоскости, обеспечивающие спектральный анализ с требуемой точностью. [c.211]

Когда объект находится достаточно далеко от фотопластинки либо в фокусе линзы (рис. 13, 6), каждая точка объекта посылает на фотопластинку параллельный световой пучок, при этом связь между амплитудно-фазовыми распределениями объектной волны в плоскости голограммы и в плоскости объекта дается преобразованием Фурье или Фурье-образом, осуществляющим разложение оптического изображения объекта в двумерный спектр по пространственным частотам (более подробно о преобразовании Фурье мы поговорим в главе Голографические оптические. элементы ). Голограмма в. этом случае называется голограммой Фраунгофера. Если амплитудно-фазовые распределения объектной и опорной волн являются Фурье-образами и объекта, и опорного источника, то голограмму называют голограммой Фурье. При получении голограммы Фурье объект и опорный источник обычно располагают в фокусе линзы (рис. 13, в). В случае безлинзовой голограммы Фурье опорный источник располагают в плоскости объекта (рис. 13 г). При. этом фронт опорной во7шы и фронты. элементарных волн, рассеянных отдельными точками объекта, имеют одинаковую кривизну. В результате структура и свойства голограммы практически такие же, как у голограммы Фурье. Голограммы Френеля образуются в том случае, когда каждая точка объекта посылает на фотопластинку сферическую волну (рис. 13, <)). [c.47]

Здесь мы будем рассматривать лишь полностью некогерентные объекты. Ранее мы видели, что в случае таких объектов и безаберрационной оптической системы одна пара отверстий, помещенных в выходной зрачок и разделенных векторным интервалом (кг1 и,Хг1 у), дает интерферограмму, амплитуда которой пропорциональна модулю функции Лр взаимной интенсивности в зрачке, а пространственная фаза совпадает с фазой этой функции. Но, согласно теореме Ван Циттерта — Цернике, величина Лр пропорциональна двумерному фурье-образу распределения интенсивности на объекте. Следовательно, измерив указанные параметры этой отдельной иитерферограммы, мы получаем (с точностью до действительного коэффициента пропорциональности) спектр объекта на частотах и,Уу). Разные пары отверстий с одним и тем же векторным интервалом дают одинаковые иитерферограммы. Поэтому избыточность оптической системы (т. е. большое число вариантов расположения отдельного векторного интервала в зрачке) лишь повышает отношение сигнала к шуму при измерении, но не дает новой информации. [c.317]

Из уравнений (10.170) и (10.171) видно, что ПХР является результатом выполнения одномерного преобразования Фурье по радиальной координате от двумерного фурье-образа исходной фуцк1щц. [c.675]

Из (1 20) следует, что фурье-образ проекции представляет собой спектр функции f x,y) вдоль прямой (О (СО8ф+С1)2,81Пф = 0, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом [c.26]

Возможна также следующая модификация метода фурье-син-теза. Из выражений (1.29), (1.31) следует, что значения одномерного фурье-образа любой -й проекции совпадают со значениями двумерного фурье-спектра искомой томограммы вдоль прямой psin (ф—i1j)=0, проходящей через начало координат частотной плоскости РФ под углом к базовой линии Если все спектры проекций в частотной плоскости рф повернуть на соответствующий угол и накопить, т е. просуммировать, то в результате сформируется двумерный спектр [c.30]

Для восстановления томограммы по формуле (1.36) необходимо выполнить следующие операции 1) вычислить фурье-образы проекций (р If) 2) повернуть полученный одномерный спектр в частотной плоскости рф на соответствующий угол ilj. В двумерной плоскости такой одномерный фурье-спектр можно описать функ-цией f(p lJ) [psin(ф—ijj)] 3) накопить все спектры в плоскости Рф. Результат накопления описывается функцией S(p, ф) 4) умножить полученный спектр S(p, ф) на двумерный фильтр р 5) выполнить двумерное обратное преобразование Фурье [c.31]

Передаточная функция томографа, формирующего суммарное изображение, описывается выражением (2 13) только в случае зондирующих пучков беско нечнЫл размеров Рассмотрим процесс формирования Sv в реальных приборах Пусть проекция исследуемого сечения /(дс, у) задана на отрезке 2ро Под обратной проекций понимается двумерная функция f,(p, q), которая постоянна вдоль оси q и перпендикутярна р, причем i)= t os ф+i/sin ф, =—дс sm ф+i/ os ф Обратная проекция вдочь оси q задана на отрезке 2qa Ее фурье-образ можно рассматривать как функцию с ограниченным спектром и представить в виде ряда, который согласно теореме Котельникова будет иметь вид [c.61]

В настоящее время широко распространены цифровые и оптические методы вычисления двумерных преобразований Фурье, Преимущества цифровых методов, основанных на использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье, общеизвестны широкий динамический диапазон, высокая точность. Однако, несмотря на то, что одномерное фурье-преобразование, выполняемое, как правило, в спецпроцессорах, реализуется достаточно быстро, тем не менее вычисление двумерного фурье-образа до сих пор не удается выполнять в режиме получения видеосигнала (25—30 кадров/с) для достаточно большого числа элементов в кадре (500X500 отсчетов). Другим недостатком можно назвать явление мимикрии частот при неправильно выбранном интервале дискретизации сигнала. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...