Отображения на круговую область

Рас. 11. Отображение на круговую область [c.80]

Криволинейные координаты, связанные с конформным отображением на круговую область. В дальнейшем нам придется пользоваться конформным отображением данной области S, находящейся на плоскости Z, на область 2 плоскости представляющую собой либо круг, либо круговое кольцо, либо бесконечную плоскость с круговым отверстием начало С = мы будем брать в центре. [c.177]

Пример применения отображения на круговое кольцо. Решение основных задач для сплошного эллипса. Естественно попытаться обобщить способ, изложенный в предыдущем параграфе, на случай двусвязной области, пользуясь отображением на круговое кольцо. Однако даже для областей простейшего вида непосредственное применение этого способа не приводит к простым результатам ). Не останавливаясь на этом вопросе, мы применим отображение на круговое кольцо к решению основных задач для сплошного эллипса ). Дело в том, что конечная область, [c.230]

Тем же путем, при помощи конформного отображения на круговое кольцо и последующего (не взаимно-однозначного) отображения на правую полуплоскость Re С > О, С. М. Белоносов построил в другой работе 4] аналогичные интегральные уравнения для произвольной двусвязной области. Детальное изучение этих уравнений, проведенное на примере кругового кольца, позволило автору построить для этого случая решения в замкнутой форме (в квадратурах) обеих основных задач. Найденное [c.598]

Отметим, как это следует из теоремы Римана, что конформное ото бражение многосвязной области на односвязную невозможно, а допустимо отображение друг на друга только областей одинаковой связности. Например, область S, ограниченную двумя замкнутыми гладкими контурами, можно всегда однолистно отобразить на круговое кольцо, отношение радиусов граничных окружностей которого должно быть определенной величины, зависящей от вида области S. [c.170]

В общем случае, когда границы области движения содержат как свободную поверхность, так и промежуток высачивания, годограф скорости состоит из окружности и прямых, не имеющих общей точки пересечения, и задача о конформном отображении такого кругового многоугольника не может быть сведена к применению формулы Кристоффеля—Шварца. К этому же типу задач относится случай, когда происходит испарение со свободной поверхности или инфильтрация на поверхность, причем принимают, что расход влаги через какую-нибудь часть поверхности пропор- [c.289]

При численном решении краевых задач для тел сложной формы в прямоугольных сетках возникают большие трудности, связанные с аппроксимацией граничных условий, поэтому в настоящей работе используется криволинейная ортогональная система координат, соответствующая конформному отображению кругового кольца на двухсвязную область, занятую торцовым сечением зубчатого колеса. Методы получения таких отображений разработаны достаточно хорошо [5], [c.129]

Обобщения. Пристрелочный метод можно применять также для приближенного построения конформного отображения ограниченных двусвязных областей на круговые кольца. Пусть такая область О ограничена двумя гладкими кривыми Го (внутренняя граница) и Г (внешняя) и требуется найти ее конформное отображение на кольцо ро< й1 < 1 . Число Ро не задается, а должно быть определено в процессе решения задачи (см. Л. и Ш., стр. 160) мы можем задать еще точку С, е Г, соответствующую точке йУ = 1. [c.124]

В дальнейшем мы почти всегда будем отображать конечные односвязные области на круг < 1, а бесконечные односвязные области — на область > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием. Можно было бы ограничиться в обоих случаях отображением на круг I [ <С 1, но указанный способ несколько удобнее в практическом отношении. [c.166]

Бесконечная плоскость с круговым отверстием. Применим в этом случае отображение на область ] С [ > 1, так что формула (1) остается в силе. [c.485]

Гордон и Холл недавно "предложили отображать.в квадрат сразу всю область Q, а не поэлементно. Для этого они используют составные функции, вариант обычных конечных элементов. Если сама область Й ие слишком отличается от квадрата (отображение круговой области создаст искусственные особенности в углах), это даст выигрыш во времени по сравнению с изопараметрическим методом на каждом элементе. [c.194]

Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием ). В этом случае мы воспользуемся отображением рассматриваемой области на область ] С] > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием ). [c.303]

К простейшим основным областям, на которые производится конформное отображение в теории упругости, относятся, например, единичный круг, полуплоскость, бесконечная плоскость с круговым отверстием, а также кольцевая область или полоса. Существенно при этом, что в основной области нет нулей производной / ( ), так как в противном случае, как уже упоминалось, отображение в этих точках перестает быть конформным и соответствующие решения будут обладать особенностями. [c.221]

Нужно отметить, что метод зеркальных отображений токов возможен только для плоскопараллельных полей при плоских или круговых границах расчетной области, причем в последнем случае необходимо ввести два отображения [49]. Если цилиндр сверхпроводящий, то один отраженный ток нужно поместить на его оси, а другой, встречный по направлению,— в инверсной точке (рис. 2.7), отвечающей условию R = R /Ro- [c.66]

Если вырез в бесконечной плоскости не является эллиптическим или круговым, то одновременное отображение областей 5 и на внешность единичного круга при непременном соблюдении указанного условия аффинного [c.201]

Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного 5 при помощи преобразования 2 = о)( ). Функция = (г) осуществляет конформное отображение области на область в плоскости- 5, являющуюся внешностью круговых отверстий 1т радиуса ц с центрами в точках Рт- [c.134]

ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВУЮ ОБЛАСТЬ. Рассмотрим теперь отображение область D, находящейся на плоскости Z, на об хасть А плotкo тй g, представляющую сй [c.79]

Метод отображений нашел широкое применение при построении криволинейных элементов, позволйющих получить аппроксимацию тела относительно сложной формы с применением небольшого числа конечных элементов. Наряду с локальным отображением отдельного элемента на каноническую область во многих случаях удается построить глобальное отображение всей физической области на такую область — прямолинейную полосу, единичный круг, круговой цилиндр или прямоугольный параллелепипед, т. е. на область значительно более простой геометрии. Решение краевой задачи для такой области существенно упрощается. [c.14]

Отображение внешней области биплана по методу А. Вилла на круговое кольцо дало бы точное решение задачи, однако это серьезно затруднило бы явное выражение результатов. В связи с этим мы ограничимся некоторыми частными случаями или приближенными методами, которые позволили бы изучить прикладные вопросы задачи о биплане, пригодные для практического использования в аэротехнике. [c.151]

Сущность метода Полубариновой-Кочиной заключается в следуюш,ем. Пусть круговой д-угольник области комплексной скорости ш будет отображен на вспомогательную каноническую область С (полуплоскость) и вершины многоугольника А, В,. .. с углами па, яР,. . . переходят в точки а, Ь,. .. контура области (веш,ественной оси вспомогательной плоскости). Тогда комплексная скорость w может быть представлена в виде отношения линейно независимых решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения вида [c.609]

Д. 3. Авазашвили (1940) построил решение задачи об изгибе консольного призматического стержня при помощи функций комплексного переменного. Конформным отображением на область кольца Б. А. Обод овский. получил решение задачи об изгибе силой полого бруса эллиптического-сечения (1960). Л. К. Капанян (1956) использовал приближенное конформное отображение при решении задачи изгиба для круга с криволинейным квадратным вырезом В. Н. Ракивненко (1962) рассмотрел изгиб кругового цилиндра с двумя полостями с поперечными сечениями в виде квадрата. [c.28]

При решении плоской задачи часто бывает полезно предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной переменной В случае конечной одпосвязпой области 5 , ограниченной замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентрическое кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д. [c.46]

Применение метода линейного сопряжения функций к плоским задачам впервые было указано в работе Н. И. Мусхелишвили (1941), где рассматривался случай упругой полуплоскости. Решения основных задач в этом случае были найдены в простой и весьма изящной форме. Дальнейшее существенное обобщение метода было предложено И. Н. Карцивадзе (1943), распространившим его на случай круговой области, а также на более общий случай отображения на круг посредством рациональной функции. [c.58]

В принципе, решение вопроса о явном выражении отображающих функций дано для областей, ограниченных круговыми дугами и отрезками прямых (дается формулами Кристоф-феля — Шварца [109]). Приведем их для случая, когда область есть многоугольник с углами а л(0 < <С 2я й = 1, 2,. .., п). Пусть йк — точки на действительной оси (отображение осуществляется на полуплоскость), в которые переходят вершины. Тогда функция, отображающая верхнюю полуплоскость на заданный многоугольник, принимает вид [c.33]

Для отверстий, форма которых отличается от круговой, решение получается с помощью конформного отображения. Пусть функция 2 = (О (5) осуществляет копформное отображение области, внешней по отношению к контуру /, на внешность единичного круга в плоскости Потребуем, чтобы при оо ( ) -> , тогда будет со (оо) =1, Теперь функция [c.307]

Кутта и Жуковский изучили профили, получавшиеся следующим образом окружность, обтекаемая жидкостью в плоскости С конформно отображалась на плоскость г таким образом, что другая окружность, пересекавшая в плоскости первую (или касавшаяся ее), переходила в прямолинейный отрезок на плоскости г. Однако таким путем удавалось получить профили только вполне определенного вида. Карман и Треффц , используя конформное отображение кругового двуугольника, получили ряд других профилей. Ми-зес указал отображения, которые дают многие другие профили, в том числе и профили с постоянным центром давления. В результате многочисленных дальнейших работ , из которых особо следует упомянуть работы Теодореса и Гаррика , были разработаны методы, позволяющие рассчитать потенциальное течение с циркуляцией около любого заданного профиля, следовательно, позволяющие вычислить также распределение давления вдоль профиля, Был найден способ приближенного решения и обратной задачи отыскания профиля, на котором имеет место заданное распределение давления . Далее были разработаны теоретические методы для расчета двухмерного обтекания биплана. В этой области фундаментальное значение имеет работа Гаррика полученные им результаты применимы также к разрезному крылу и к крылу с подвесным закрылком. [c.279]

Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникаюш,ие здесь математические трудности весьма велики. Впервые задачу о распространении пластической области от выреза, вызываюш,его концентрацию напряжений в сечении скручиваемого стержня, решил Треффтц [1]. Он рассматривал уголковый контур и при решении задачи использовал метод конформного отображения. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандтля осуш ествить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. В. В. Соколовский [3] рассмотрел задачу об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения ряд решений задач о кручении стержней полигонального сечения был дан Л. А. Галиным [4, 5]. Большая литература посвящена одномерным упруго-пластическим задачам отметим работы [2, 3, 6-8]. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. Там же Л. А. Галин рассмотрел случай более общих условий на бесконечности. Впоследствии Г. Н. Савин и О. С. Парасюк [10-12 рассмотрели некоторые другие задачи об образовании пластических областей вокруг круглых отверстий. [c.189]

Рассматривается движение цилиндрического тела в ограниченной вязкой жидкости в приближении Стокса. Задача решается методом конформного отображения области течения на кольцо с последуюгцим использованием разложений искомых функций в ряд Лорана. Для частных случаев движения кругового цилиндра в жидкости, ограниченной концентрическим неподвижным цилиндром, получены точные аналитические решения. В случае эксцентрических окружностей для определения коэффициентов предложен численный алгоритм, основанный на методе коллокации. Путем предельного перехода к бесконечно большому радиусу внешнего цилиндра исследуется движение цилиндра перпендикулярно к плоскости. [c.330]

Применение метода конформного отображения. Полученное выше общее рещение задачи об обтекании поступательным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произвольного контура, если только известно конформное отображение внешности этого контура на внешность круга. Обозначим через О область плоскости 2, расположенную вне рассматриваемого контура С и содержащую внутри себя бесконечно удаленную точку плоскости г. Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость С = + и обозначим чергз К окружность с центром в начале координат этой [c.257]

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принципиально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца (п = 1) рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов. [c.591]

Метод Девисона — Гамеля не получил в последуюш.ем дальнейшего развития из-за сложности реализации конформного отображения кругового многоугольника области комплексной скорости на вспомогательную каноническую область. [c.609]

Этот же метод в соединении с функциональным уравнением позволяет рассмотреть задачу о кольцевых подкреплениях в несколько более общем случае, например, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. При таком предположении случай отображения (6.2) изучался М. П. Шереметьевым (1949), который привел подробное решение с численными результатами для подкрепления отверстия в виде софокус-ного эллиптического кольца. В упомянутой монографии Г. Н. Савина (1951) приводятся результаты вычислений и для других форм упругого подкрепления, доставляемых отображением (6.2), и напряжения на подкрепленном контуре отверстий сравниваются с теми же напряжениями в двух предельных случаях, когда подкрепляющее кольцо абсолютно гибкое (пустота) или когда оно абсолютно жесткое. [c.64]

A. A. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругового-отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы) для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче-о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного-гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А. А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (1960). [c.382]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Дэвис и Ходинт [2.39] приближенно определяют напряжения в плоскости, ослабленной двумя неравными круговыми отверстиями. Путем конформного отображения рассматриваемая область сводится к круговому кольцу. На одной из окружностей, соответствующей большему из неравных отверстий, граничные условия удовлетворяются точно, на другой в некоторых точках. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...