Координаты главные ортогональные

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Отсюда следует, что в заданной ортогональной системе координат главные направления кривизны определяются соотношением [c.266]

В плоскости станка, принадлежащей каким-либо из двух его главных ортогональных координатных осей, контроль относительного положения базовых уалов, несущих заготовку и инструмент, проводится по двум параллельным осям, разнесенным на достаточное расстояние, с целью учета углового положения узлов и корректировки линейной координаты вершины инсгрумента, причем измерения проводятся от независимой метрологической рамы, связанной с несущей системой станка тремя шарнирными опорами. Это позволяет сохранять постоянный размер и форму рамы при деформации несущей системы станка до 6,35 мкм. [c.669]

Пусть дана оболочка толщины Н. Серединной поверхностью оболочка называется поверхность, делящая толщину её всюду пополам. Предполагается, что всюду, исключая, может быть, некоторые точки или линии на ней, серединная поверхность является непрерывной с непрерывно изменяющейся касательной и кривизнами, причём все её геометрические характеристики изменяются весьма плавно. Выберем на серединной поверхности главную ортогональную систему" криволинейных координат 5, -Г). Под плавным изменением некоторой геометрической характеристики будем понимать такое, когда при переходе от точки ( , т)) к точке ( , г ), расположенной на расстоянии порядка толщины оболочки А, она имеет относительное изменение [c.156]

Среди множества осей координат, связанных с телом, самыми удобными являются главные оси инерции. Как известно из аналитической геометрии, существуют три (в случае трехосного эллипсоида только три) взаимно перпендикулярные прямые, ортогональные к поверхности второго порядка в точках пересечения с ней. Направления этих прямых называются главными направлениями. Если путем поворота придать осям координат главные направления, т. е. перейти к главным осям инерции, то уравнение (6.16) упрощается— обратятся в нуль все коэффициенты с различными индексами. [c.367]

Ортогональная изостатическая криволинейная координатная сетка (т.е. сетка, координатные линии которой касаются трех взаимно ортогональных главных осей тензора напряжений) даже для расслоенного поля напряжений существует далеко не всегда. Пиже, в разделе, будут приведены условия, обеспечивающие возможность введения ортогональной изостатической системы координат. Если ортогональные изостатические координаты все же можно ввести, то поле напряжений необходимо является расслоенным. Обратное утверждение, конечно же, не является справедливым. [c.46]

Ускорение в этом случае определяется через проекции на естественные оси координат. Естественными осями координат, или натуральным триэдром траектории, называется ортогональная (прямоугольная) система координат, состоящая из осей а) касательной, направленной в сторону возрастания дуговой координаты, б) главной нормали, направленной в сторону вогнутости траектории, и в) бинормали, направленной так, чтобы три оси составляли правую систему координат (рис. 3.5). [c.233]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Уравнения (7.22) записаны в координатных осях, которые совпадают с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки. Иногда оказывается более предпочтительным выполнение расчета с использованием другой ортогональной системы координат. В этом случае разрешающая система уравнений формально может быть записана в том же виде, что и система уравнений (7.22), но под VI ( ) подразумевается следующее выражение [c.208]

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат = а, = Р, х = 2, х . Первые две координаты (а, р) системы представляют собой криволинейные координаты на срединной поверхности соответствующие им координатные линии являются линиями главных кривизн. Третья координатная линия—кривая, касательная к которой направлена по нормали к поверхности, параллельной срединной, и в совокупности с двумя первыми образует ортогональную систему криволинейных координат. Однако при решении инженерных задач [c.362]

Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой [c.183]

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность S. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую сторону поверхности отрезки, равные h, так что М М = М М = h. Совокупность точек Mi образует одну сторону оболочки, совокупность точек Мг — другую сторону, 2h — толщина оболочки, S — ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если h R, где R — наименьший из главных радиусов кривизны срединной поверхности. Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что и техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат и выбрать локальные оси Ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось z по нормали, то для 27 [c.419]

Вводят ортогональную систему координат. Если из условий симметрии можно определить положение центра тяжести и направления главных центральных осей инерции, то начало координат О нужно совместить с центром тяжести, а оси Ох и Оу направить по главным осям инерции. Если такой возможности нет, то, выбрав произвольные оси координат О х у , нужно [c.331]

Это так называемый эллипсоид скоростей деформации. Вдоль осей выбранной таким образом системы координат деформация частицы в течение элементарно малого отрезка времени б/ может происходить только в виде сжатия или растяжения частицы. Такие оси координат называются главными осями деформации. При перемещении частицы вдоль линии тока изменяются значения бь б2 и бз, а также ориентация главных осей деформации частицы, но в любой точке траектории частицы всегда будут существовать три взаимно ортогональных направления, вдоль которых частица будет либо расширяться, либо сжиматься. Выбранные таким образом оси координат называются главными осями скорости деформации. [c.81]

Введем на срединной поверхности криволинейные координаты П1, 21 совпадающие с линиями главной кривизны (они являются-следовательно, ортогональными), как показано на рис. 5. Тогда первая квадратичная форма срединной поверхности имеет вид [c.217]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Главные радиусы кривизны всегда действительны и линии кривизны взаимно ортогональны. При доказательстве этого утверждения мы сделаем некоторое предположение относительно системы координат, которая до сих пор оставалась произвольной. Это позволит нам в приводимом ниже доказательстве получить для главных радиусов кривизны и линий кривизны значения, не зависящие от системы координат. Из уравнений (1), представляющих рассматриваемую поверхность, вообще, следует [c.120]

Внешними силами, действующими на рассматриваемую систему из двух материальных точек, являются реакции Ni и N2 осей Ох и Оу эти реакции ортогональны соответствующим осям. Ввиду того что каждая из точек вынуждена двигаться только вдоль своей координатной оси, имеем Ni = F os а, N2 = F sin а, где F — модуль силы притяжения точек. Главный вектор внешних сил имеет компоненты —N2, —Ni, т. е. коллинеарен вектору СО, имеющему начало в центре масс С точек, а конец в начале координат. [c.159]

Направления, определенные формулами (22.2), для которых / принимает какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3), называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси образуют ортогональный триэдр ), и три плоскости, определенные им, называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно упрощает расчеты) почти всегда оси координат [c.72]

Отыскание главных координат. Выше говорилось, что функции 1, jf, у и (О называют главными координатами, если они ортогональны. Ортогональность функций 1, X, у достигается, если в качестве системы координатных осей Оху принимается система главных центральных осей инерции (см. Дополнение). Остается найти такую функцию ш, которая ортогональна каждой из функций 1, X, у, т. е. удовлетворяет условиям равенства нулю интегралов (14.32)i,, ,д. С этой целью отнесем поперечное сечение тонкостенного стержня к системе главных центральных осей инерции X, у и установим зависимость между секторными площадями, соответствующими двум полюсам А н В при одной и той же произвольной точке начала отсчета секторной площади. Напомним (см. рис. 14.9), что дифференциал секторной площади выражается формулой d u=hds. Если полюс располагается в точке А (рис. 14.1.5), имеем [c.400]

Подставим в (14.44) выражение для согласно (14.17), и учтем ортогональность главных координат 1, х, г/ и м. В результате подстановки получим [c.405]

Выберем на срединной поверхности фланца правую ортогональную систему эйлеровых координат Xi, х , совпадающую с линиями главных кривизн. Обозначим через и главные радиусы кривизны, а через — коэффициенты первой квадратичной формы. Величины Н , — известные функции координат x-i , х . Материал заготовки считаем идеальным жесткопластическим, а напряженное состояние — плоским. [c.90]

Выражения (3.58) — комплексные ортогональные проекции или прямоугольные координаты винта. Главные части [c.52]

Приведенные выше формулы для определения главных деформаций и сдвигов, главных направлений тензора деформаций и его инвариантов могут быть использованы без каких-либо изменений и в случае ортогональных криволинейных координат. [c.25]

Для ортотропного несжимаемого тела, когда в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств, функция пластичности, записанная в осях координат, совпадающих с главными осями анизотропии материала х, у, z, имеет вид [c.92]

Геометрия слоистой оболочки, элемент которой показан на рис. 9.14.1, определяется координатной поверхностью, отстоящей на расстоянии с и S от внутренней и наружной поверхностей оболочки. Положение произвольной точки слоистой стенки определяется ортогональными криволинейными координатами а, Р, Z, причем координатные линии а и Р совпадают с линиями кривизны координатной поверхности, а координата z отсчитывается по наружной нормали к этой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны координатной поверхности, соответствующие линиям а и Р, обозначены через А, В к R, R . [c.223]

Заметим, что любая ортогональная система координат xyz, одна из осей которой (например, ось х) направлена вдоль относительной скорости фаз 1 21 = 2 — fi, является главной для тензора riir, и в этой системе он имеет вид [c.124]

Чтобы аналитически определить главный вектор и главный момент, воспользуемся ортогонально декартовой системой координат Охуг с началом в центре пр1 веде1 ия О. Из формулы (111.27) следует проекции главного вектора системы сил на координатные оси равны алгебраическим суммам соответствуюицих проекций сил, т. е. [c.288]

Докажем теперь, что двум разним корням уравнения (1.97) соответствуют два взаимно ортогональных направления главных осей. Используем соотношения (1.96а). Обозначим координаты точки главной оси, соответствующей корню Х,- уравнения (1.97), через Xi, у,, г,-. Производные функции Ф. соответствующие корню Х , обозначим соответствующими индексами. Теперь составим два равенства [c.83]

Величины Ж>иут и Мвнут не зависят от ориентации сечения АВ (см. рис. 1.7). Однако в практических расчетах наиболее удобным представляется использование поперечного сечения. В этом случае нормаль к сечению совпадает с продольной осью стержня. Далее главный вектор и главный момент внутренних сил обычно представляют в виде их проекций на ортогональные оси координат, причем одна из осей (например, ось х) совмещается с упомянуто нордалькц см. рис. 1.8. [c.22]

Здесь мы воспользовались тем, что направленчя осей координат заранее не фиксированы. Следовательно, ортогональные оси могут быть ориентированы так, что каждая ось совпадает с одним из главных направлений. Таким образом, все три вектора главных напряжений ортогональны, тогда ортогональны и главные площадки. [c.117]

Форма и ориентация этой поверхности полностью определяются деформированным состоянием в данной точке и не зависят от направления осей координат. Всегда можно выбрать такие направления ортогональных осей координат, чтобы члены с произведениями координат в уравнении (119) исчезли, т. е. чтобы деформации сдвига для таких направлений обращались в нуль. Такие направления называются главными осями деформаций, соответствующие плоскости —/глоцай/салга главных деформаций, а деформации в этих направлениях — главными деформациями. приведенных выше рассуждений ясно, что главные оси деформации остаются перпендикулярными друг другу и после деформации, а прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными главным плоскостям, и после деформации остается прямоугольным параллелепипедом. В общем случае он испытывает малое вращение. [c.241]

Главные оси р взаимно перпендикулярны и потому образуют ортогональную систему координат в п-мерном пространстве. Это фундаментальное свойство главных осей поверхности второго порядка может быть доказано при помощи того же соотношения (5.10.29), которое мы раньше использовали для доказательства действительности корней %1. Теперь его следует лишь по-иному интерпретировать. Предположим, что и — два различных характеристических корня, а Qi ц. q) определяют соответственно две главные оси, соответствующие этим двум В этом случае первый сомножитель в (5.10.29) не может обратиться в нуль, потому что Xvil различны. Следовательно, в нуль должен обратиться второй сомножитель. Это дает [c.183]

Замечая далее, что при =/3 выражения. +J х—у являются нормальными координатами в расширенном смысле, т. е. обе формы Т л U могут быть однопременпо приведены к ортогональному виду, вывести отсюда, что главные частоты определятся равенствами [c.406]

Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле, во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноименными главными напряжениями (ai, или или Стд), называется изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений) изостатические поверхности. Тремя системами изоСтатических поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например от X и и не зависят от г, одна из систем изостатических поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г, а две другие представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях, перпендикулярных г, называются изостатами или иначе траекториями главных напряжений. [c.446]

Вследствие ортогональности фундаментальных функций и их производных в выражения Т, U п F после подстановки в них а (х, i) по формуле (30) войдут только квадраты обобщенных координат и обобщенных скоростей. Следовательно, обобщенные координаты qi — главные. После выделения фундаментальной функили Хо = I и обобщенной координаты выражения для Т, U я F примут вид [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...