Эйлера линейная

Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффициентами вида [c.51]

Если та = /, то уравнения (1.126) совпадают с динамическими уравнениями Эйлера для динамически симметричного абсолютно твердого тела, т.е. в линейном приближении внутреннее движение не изменяет движения системы, рассматриваемой как единое абсолютно твердое тело. [c.55]

Следовательно, линейные скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной точки можно вычислять также по векторной формуле Эйлера, как и в случае вращения вокруг неподвижной оси, только радиус-вектор каждой точки удобно проводить из неподвижной точки тела, хотя, как и в случае вращения вокруг неподвижной оси, его можно проводить из любой точки мгновенной оси. [c.169]

Аналогично можно определить эйлеров тензор линейного поворота. Условие со = 0 (со=0) является условием отсутствия поворота произвольной материальной точки. Используя (3.80), представим (3.16) в виде [c.76]

Линейные скорости точек при вращении тела вычисляют по формуле Эйлера. [c.97]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами были рассмотрены Л. Эйлером в теории движения Луны. Эти уравнения были вновь проанализированы в конце XIX в. [c.316]

Другим важным случаем, когда осуществляется потенциальное обтекание, являются малые колебания погруженного в л(ид-кость тела. Легко показать, что если амплитуда а колебаний мала по сравнению с линейными размерами I тела (а<С/), то движение жидкости вокруг тела будет всегда потенциальным. Для этого оценим порядок величины различных членов в уравнении Эйлера [c.34]

При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обтекаемой поверхности Имеется также и определенная непоследовательность, связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье — Стокса, являются течения с линейным (17,1) и параболическим (17,4) профилями (в то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течением с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнений движения. [c.238]

Если в эту формулу подставить выраженные в виде линейных комбинаций компонент то упругая энергия будет представлена как квадратичная функция величин Снова применяя теорему Эйлера, будем иметь [c.24]

Уравнения (10) называются дифференциальными уравнениями криво-линейного движения несвободной материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника, или уравнениями в форме Эйлера. [c.483]

Для линейных, голономных и неголономных связей принцип Гаусса имеет ту же общность, что и принцип Эйлера — Лагранжа. [c.226]

Если тело линейно-упругое, то согласно (4.6) величины — линейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций ekr. Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно ekr- Следовательно, по теореме Эйлера об однородных [c.64]

Поскольку упругий потенциал VI (eij) для линейно-упругого тела является однородной функцией второго порядка относительно компонент Eij тензора деформации, то на основании теоремы Эйлеру [c.66]

По большинству действующих программ на изучение темы отводится 4 часа. За это время предусматривается ознакомить учащихся с проблемой устойчивости и с формулой Эйлера при различных вариантах концевых закреплений стержней, указав пределы применимости формулы Эйлера и эмпирических линейных зависимостей, познакомить с расчетами по коэффициентам продольного изгиба. Подробность изучения отдельных вопросов варьируется в зависимости от специализации. Кроме того, для некоторых специальностей количество часов меньше указанного, поэтому приходится сокращать или совсем опускать отдельные вопросы. [c.189]

Мы отнюдь не склонны считать, что программа запрещает давать вывод формулы Эйлера если преподаватель может найти время для этого вывода, дать его, безусловно, полезно. Часто возражают, что обычный вывод неприемлем, так как учащиеся не умеют находить интеграл линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Можно воспользоваться математическим справочником, а справедливость решения при желании проверить дифференцированием. [c.193]

В случае неприменимости формулы Эйлера критическое напряжение, а значит и критическая сила для стальных и деревянных стержней могут быть вычислены по эмпирической линейной зависимости (формула Тетмайера-Ясинского) [c.243]

Предельное значение гибкости для Ст.З равно 100, следовательно, для определения допустимой нагрузки нельзя применять формулу Эйлера. Для решения задачи используем таблицу коэффициентов ф, из которой выбираем значения при Я = 70 и Я = 80, и методом линейного интерполирования определим ф при Я = 74. [c.300]

Подставляя выражения (16.4) в уравнение (16.1), для определения перемещения и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера) [c.474]

Заметим, что для линейно-упругого тела по теореме Эйлера об однородных функциях [c.239]

Сопоставляя формулы (3.9) и (3.14), заключаем, что частные производные функции 1Г по составляющим деформации представляют собой однородные линейные функции составляющих деформации е , е , Уу , следовательно, сама функция W является однородной функцией второй степени этих составляющих. Вид функции Ш можно получить с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях, которая утверждает, что если Г(х, у, г,. ..) есть однородная функция п-й степени, то дР [c.39]

Устойчивость линейно-упругих продольно сжатых стержней. Формула Эйлера [c.345]

Теперь перейдем к рассмотрению наиболее распространенных методов численного решения задачи (1.29), (1.30). К ним относятся методы, основанные на разложении функции Т (т) в ряд Тейлора (наиболее распространенная схема этого вида — схема Эйлера) методы Рунге—Кутта линейные многошаговые методы. [c.28]

Проведем сопоставление явной и неявной схем Эйлера. С точки зрения объема вычислений для одного шага явная схема имеет преимущество. Только в случае, когда функция / (т, Т) линейна относительно Т, т. е. / (т) а (т)Т + Ь (т), вычисления по неявной схеме не сложней, чем по явной, поскольку тогда уравнение (1.34) разрешается относительно [c.29]

Обобщенные координаты механизма. Положение твердого тела, свободно движущегося в пространстве, полностью определяется шестью независимыми координатами, за которые можно принять три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющие расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Их принято называть обобщенными, так как они определяют положение всего твердого тела. Аналогично обобщенными координатами механизма называют независимые между собой координаты (линейные или угловые), определяющие положения всех звеньев механизма относительно стойки. [c.24]

Угловые скорости и ускорения звеньев пространственных механизмов. Дифференцирование по времени уравнений для определения положений звеньев дает систему линейных уравнений, в которые входят производные от углов Эйлера. Чтобы перейти к проекциям угловой скорости звена / в движении относительно звена I, используются известные соотношения [c.50]

Ответ. Уравнения Эйлера являются в этом случае системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.206]

Гипотезы 1—3 являются непосредственным обобщением гипотез Бернулли — Эйлера, используемых в теории изгиба балок. Они устанавливают отсутствие деформаций сдвига по толщине пластины и линейной деформации в направлении, перпендикулярном срединной плоскости. [c.176]

В этом случае декартовы координаты х, у, г являются функциями от обобщенных координат д, не содержащими I. Поэтому х, у, г — линейные однородные функции от д, а 2Т — квадратичная однородная функция от д. Следовательно, по теореме Эйлера об однородных функциях, имеем [c.233]

Согласно этим наблюдениям, среднее угловое отклонение кинематического полюса (т. е. средний угловой радиус круга Эйлера) составляло в названные годы приблизительно Yg", что соответствует линейному отклонению по земной поверхности, равному приблизительно 4 м. Но вместо периода полного оборота в 10 месяцев мы имеем, как показано на рис. 44, за 4 года (1893-1900 г) ЗУз оборота, что соответствует одному обороту в 14 месяцев. [c.191]

Теория устойчивости упругих систем была заложена трудами Л. Эйлера в XVHI в. В течение долгого времени она не находила себе практического применения. Только с широким использованием во второй половине XIX в. в инженерных конструкциях металла вопросы устойчивости гибких стержней и других тонкостенных элементов приобрели практическое значение. Основы устойчивости упругих стержней излагаются в курсе сопротивления материалов. Поэтому в настоящей главе рассматривается только теория устойчивости упругих пластин и оболочек как в линейной, так и нелинейной постановке. Интересующихся более глубоко вопросами устойчивости стержней мы отсылаем к книгам [5, 6, 7]. Критический подход к самому понятию упругой устойчивости в середине XX в. явился наиболее важным моментом в развитии теории устойчивости и позволил к настоящему времени сформировать единую концепцию устойчивости упругопластических систем, описанную в 15.1 настоящей главы. [c.317]

Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще ственна, то движение в звуковой волне можно считать потен циальным и написать v = Уф (подчеркнем, что это утверждение не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в 64 при выводе линейных уравнений движения, — решение с rotv==0 является точным решением уравнений Эйлера). Поэтому имеем [c.359]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при Tafi, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости прямоугольная пластина длиной а в направлении оси х , шириной Ъ в направлении оси Хг равномерно сжимается вдоль оси Xi усилием Тц = —Т. Уравнение (12.11.1) примет вид [c.416]

Это — однородный квадратичный функционал, для которого в изотропном случае уравнение (12.11.1) служит уравнением Эйлера. Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегрирования этого уравнения, можно применить прямой метод, а именно, аппроксимировать прогиб при помопщ линейного агрегата [c.418]

Но 1 — Г = / таким образом, при р<Е /Е стержень асимптотически устойчив в том смысле, что прогиб его под действием продольной силы и произвольной поперечной нагрузки стремится к конечному пределу. Этот предел неограниченно возрастает, когда р стремится к величине отношения Е /Е при р Е /Е предельная теорема перестает быть справедливой. Общий вывод из рассмотренного примера следующий. Система мгновенно неустойчива, когда нагрузка превосходит эйле,рову, вычисленную по мгновенному модулю. Система асимптотически неустойчива, если нагрузка превышает эйлерову нагрузку, соответствующую длительному модулю. При меньших нагрузках система устойчива. Этот результат относится не только к случаю сжатого стержня, но п к любой наследственно-упругой системе, устойчивость которой может быть исследована на основе геометрически линейной постановки задачи типа Эйлера. [c.603]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Для чугуна при неприменимости формулы Эйлера ( пред 80) вместо линейной пользуются параболической зайисимостью [c.332]

Таким образом расчет по неявной схеме Эйлера сводится к решению на каждом шаге по времени системы линейных уравнении (1.66), которое может быть выполнено с помощью какой-либо стандартной подпрограммы. В рассматриваемой задаче матрица А является симметричной, так как согласно (1.67) a,j- = aji = —оТТ, и поэтому используется подпрограмма GELS (см. 1.3). [c.44]

Как было указано выше, теоретические и экспериментальные результаты для времени квазиуиругого выпучивания рези- ювых и пластиковых стержней хорошо согласуются, однако утверждение о конечности времени выпучивания противоречит точной линейной теории (которая дает для него экспоненциальную зависимость). Чтобы выяснить этот момент, рассмотрим поведение стержня с заделанным концом. Предположим, что функция ползучести описывается степенным законом (76). Критическое значение силы Per определяется по формуле Эйлера [c.164]

Пусть р, q, г — проекции угловой скорости ш на главные оси, инерции 05, 0 1, OS. Они, как известно, представляют собой линейные комбинации обобщенных скоростей ф, в, где ф, 0, ly — углы Эйлера (см. стр. 42—43) ). Поэтому мы можем принять р, q, г за три псевдоскорости. Вычислим внергию ускорений ) [c.75]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...