Колебания свободные 325, 326 - Нормальные координаты

Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рассматриваемых системах можно ввести нормальные координаты. Число нормальных координат равно числу степеней свободы системы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. [c.281]

Получилась бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно q (0 Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила Ф (0- Уравнения независимы, и поэтому q, (t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы Ф , то соответствующая координата q совершает только свободное затухающее колебание. [c.335]

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Таким образом, при свободных колебаниях системы (14.1) с малой диссипацией ее нормальные координаты Vs с точностью, до величин второго порядка малости изменяются по закону [c.232]

Если система окружена абсолютно проводящей оболочкой — совершенно замкнутой — то в ней могут происходить свободные незатухающие колебания, так как согласно нашему допущению нет никаких внутренних сопротивлений. Теория этих колебаний имеет обычный вид. Вводя нормальные координаты системы r/i, [c.134]

Таким образом, собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуд и являются теми характеристиками, которые необходимо определить экспериментально. Удобно свободные колебания системы представить суммой собственных каждое из которых является гармоническим колебанием нормальной координаты q Последнюю можно определить как координату, совершающую гармонические колебания лишь частоты Амплитуда нормального колебания определяется амплитудой колебаний (той же частоты) в одной из обобщенных координат, напри.мер q . Обычные, физические, координаты выражаются через нормальные в соответствии с (3). [c.331]

Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными координатами широко пользуются как при качественном описании колебательных процессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (38), связывающая произвольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, в развернутом виде записывается так [c.61]

На практике с подобной задачей приходится встречаться при исследовании колебаний индикаторной пружины с подвешенным к ней поршнем. Свободные колебания этой системы исследованы еще Пуассоном, и этим решением можно было бы воспользоваться при составлении выражения для перемещений у в нормальных координатах. Мы для большей ясности проделаем все выкладки, относящиеся к определению нормальных координат. Как известно, вопрос о про- [c.145]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Таким образом, с помощью нормальных координат задача о свободных колебаниях -мерной механической системы сводится к исследованию колебаний совокупности независимых между собой линейных гармонических осцилляторов. [c.241]

Существует бесконечное множество наборов нормальных координат, в которых функция Лагранжа -мерной механической системы, совершающей свободные колебания, имеет вид (43.29). Действительно, все координаты, получаемые из-9 умножением на постоянный множитель, будут обладать тем же свойством. Поэтому удобно ввести такие нормальные координаты, в которых кинетическая энергия Т системы имеет при всех квадратах обобщенных скоростей одинаковые коэффициенты, равные 1/2. Обозначим эти нормальные координаты через Q [c.242]

Вместе с тем дифференциальные уравнения свободных колебаний системы также значительно упрощаются и в нормальных координатах принимают вид [c.459]

Как видно, применение нормальных координат чрезвычайно упрощает всю теорию свободных колебаний системы. Вместо системы совокупных дифференциальных уравнений, которыми определялись координаты дц д2,. . ., дк, мы имеем здесь к независимых друг от друга уравнений (8). Вместе с тем мы освобождаемся от необходимости отыскивать корни уравнения частот собственные частоты системы определяются сразу формулами (9). [c.460]

Все движение можно, следовательно, разложить на составляющие движения, каждое из которых соответствует изменению во времени только одной какой-либо нормальной координаты. Колебания для каждого из этих видов вполне аналогичны поэтому колебаниям системы с одной только степенью свободы. Спустя некоторое время, большее или меньшее в зависимости от степени рассеяния энергии, свободные колебания становятся совершенно незаметными, и система практически возвращается в состояние покоя. [c.154]

Из уравнения (4.43) предыдущего параграфа видно, что типичной формой уравнения для свободных колебаний без демпфирования в нормальных координатах является следующая [c.265]

При о = о эти уравнения сводятся к обычной форме в главных или нормальных координатах. Следовательно, при свободных колебаниях, когда Рг = 0,1 движение по любой из координат не зависит от остальных. Но для вращающихся систем это условие не выполняется, даже если Тд и V" — приведены к суммам только квадратичных чле- [c.41]

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (о, или соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм. [c.230]

Особенности динамики упругих систем с распределенными параметрами. С увеличением числа степеней свободы упругой системы до бесконечности она превращается в систему с распределенными параметрами. Статика таких упругих систем рассматривалась в гл. VI и VII. Их динамика составляет раздел теории колебаний. Как и в упругих системах с конечны.м числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации системы и способов ее закрепления и опирания. На рис. 8.24 изображены нормальные формы поперечных колебаний тонкого стержня с шарнирно опертыми концами. [c.233]

При переходных режимах вынужденным колебаниям сопутствуют свободные, соответствующие начальным условиям. При мгновенном приложении нагрузки или при мгновенном изменении какой-либо из координат (например, при мгновенном перемещении одной из опор) в системе происходит удар. При этом, как и в системах с конечным число.м свободных координат, движение начинается в точке приложения мгновенного возмущения и лишь постепенно распространяется на остальные части системы. При этом образуется бегущая волна, как это поясняет рис. 8.25, на котором изображен заделанный одним конном стержень, к свободному концу которого внезапно приложена нагрузка. Здесь показана примерная упругая линия этого стержня в последовательные моменты времени. Скорость распространения волны деформации и ее форма (крутизна) зависят от параметров системы (от соотношения распределенных масс и упругости, иными словами, от соотношения собственных частот нормальных форм и времени приложения внешней нагрузки). Вследствие постепенности распространения деформации при ударных нагрузках в зоне их приложения возникают динамические напряжения, которые могут во много раз превысить статические, т. е. те, которые соответствуют весьма медленному нагружению системы. Поэтому появление ударных нагрузок в машинах крайне нежелательно. [c.234]

Элементы векторов h, = (A,i,..A ,), определяемые из (3.17) с точностью до произвольного общего множителя, представляют собой амплитуды отклонений обобщенных координат от равновесного состояния системы при свободных колебаниях с частотами кг. Определив собственные формы системы, можно перейти к главным (нормальным) обобщенным координатам Wi,..., г с помощью линейного преобразования [c.46]

Эту формулу удобно использовать при проведении экспериментальных исследований. Опытным путем находят значения амплитуд каждого пролета и частоту свободных колебаний трубки (с целью определения коэффициентов Vi и 2, л производят расчет частоты методом Ю. А. Шиманского). Получив для каждого пролета величины Л , и Ua, вычисляют по формуле (165) в зависимости от координаты значения нормальных напряжений. [c.132]

В частных случаях за функции Qjj + f целесообразно принять нормальные формы свободных колебаний всей системы в плоскости Г, приведенные к р-му виду колебаний /-й штанги. В этом случае обобщенные координаты Qpk +1 / не зависят от / и р, а зависят от f и /, поэтому обозначим их через [c.174]

Выражения (9.44) для амплитуды о п начальной фазы о совпадают с известными зависимостями для амплитуды и фазы нормальной координаты Уг при вынужденных колебаниях системы под действием возмущающего момента sin (vQoi + l v) с заданной частотой vQo [28]. Последнее предполагает наличие в системе идеального источника энергии с бесконечно большим запасом свободной мощности по сравнению с мощностью осцилля-циониых сопротивлений. Такой результат вполне закономерен, поскольку выражения (9.44) отвечают условию (9.37), т. е. применимы только при анализе колебаний сравнительно невысокого уровня. Максимальный уровень колебаний в системе с малой диссипацией имеет место при Qo гг/v. При этом параметры я и характеризуются следующими значениями йр и [c.154]

Нахождение комплексных корней характеристического уравнения и модальных векторов неконсервативной системы представляет собой весьма трудоемкую операцию. Линеаризованные, реконсер-вативные модели механических крутильных систем приводов машин являются обычно определенно-диссипативными системами с малым трением [81], расчет свободных колебаний которых может быть упрощен. Рассмотрим нормальные координаты 8у (у = 1, 2,. . ., п) [c.163]

Выбранные указанным способом координаты называются нормальными или главными. В соответствии с (3.28) свободные колебания, отвечающие одной нормальной координате т) , являются моногармоническими с частотой При этом очевидно, что для исследования вынужденных, колебаний могут быть использованы все прие-мы, изложенные выше для одномассовых мо- —I— iy=x-Yq делей. m L-J [c.87]

Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей Теории упругости твердых тел Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д. [c.278]

Свободные колебания двух связанныхрсцилля-торов две одинаковые массы, подвешенные на двух идентичных пружинах и соединенные третьей пружиной. Нормальные координаты и нормальные частоты. Биения. Парциальные частоты. Связанность. Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней стой Теорема взаимности и успокоители колебаний. [c.114]

В некоторых случаях, именно, когда два или несколько свободных периодов системы равны между собой, нормальные координаты остаются до известной степени неопределенными, т. е. они могут быть выбраны бесконечно большим числом пo oiбoв. Сложение соответствующих колебаний с произвольными амплитудами и фазами дает малое колебание, при котором движение каждой частицы есть результирующее простых гармонических колебаний различного направления и есть, следовательно, вообще эллиптичесчое колебание с тем же периодом. Примером этого является сферический маятник важный пример из нашей рассматриваемой здесь области представляют прогрессивные волны в глубокой воде (IX гл.). [c.316]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Полная независимость нормальных координат поиводит к интересной теореме, касающейся связи последующего движения с начальным возмущением. Действительно, если силы, действующие на систему, имеют такой характер, что они не совершают работы при перемещении, обозначенном через 8ср , то = 0. Силы такого характера, как бы долго они ни действовали, не могут оказать никакого влияния на движение ср . Если это движение существует, то они не могут уничтожить его если же оно не существует, то они не могут его создать. Наиболее важное применение эта теорема находит в том случае, когда силы, приложенные к системе, действуют в узле нормальной компоненты срр т. е. в точке, которую рассматриваемая компонента колебания не стремится привести в движение. Можно отметить особо два крайних случая таких сил 1) когда сила имеет импульсивный характер и выводит систему из состояния покоя, 2) когда сила действовала настолько долго, что система снова оказывается в покое под ее воздействием, в возмущенном положении. Как только действие си1Ы прекращается, возникают свободные колебания, которые в отсутствии трения продолжались бы неопределенно долго. Мы заключаем отсюда, что, каков бы ни был в других огношениях характер силы, она не содержит никакой компоненты типа <р . Это заключение ограничивается теми случаями, где Т, Г VL V допускают одновременное приведение, включая, конечно, и случай отсутствия трения. [c.155]

Когда периоды действующих сил очень велики по сравнению с периодами свободных колебаний системы, иногда оказывается пригодной статическая теория, но в подобных случаях решение вообще легче найти без применения нормальных координат, Сюда относится, например, теория приливов Бернулли, которая исходит из предположения, что периоды свободных колебаний масс воды, находящихся на земном шаре, малы по сравнению с периодами действующих сил, благодаря чему инерцию воды можно не принимать во внимание, В действительности же это предположение является очень грубым и приложимо лишь частично. В силу этого нам все еще неизвестны многие важные моменты, касающиеся приливов. Основные силы имеют полусуточный период, который недостаточно велик в сравнении с соот-ветсгвующими собственными периодами, чтобы можно было пренебречь инерцией воды. Но если бы вращение Земли было много медленнее, статическая теория притивов могла бы быть вполне достаточной. [c.156]

Приведенное выше решение служит примером применения нормальных координат в проблеме вынужденных колебаний. Несомненно, что они в особенности применимы к свободным колебаниям и что вообш,е ими можно пользоваться с удобством всюду, где система после воздействия различных сил остается в конце концов предоставленной самой себе. С примерами этого мы уже встречались. [c.216]

Каждое ур-ие представляет простое гармонич. колебание в зависимости от одной из главных координат наложение их друг на друга характеризует колебания системы с числом п степеней свободы. Колебание с самым длинным периодом называется основным (также низким). Реигенио задачи сводится почти всегда к нахождению периода или частоты основного колебания. Вырагкения для нормальных координа-по Релею выбирают в виде тригонометрич. строк с таким расчетом, чтобы были удовлетворены пограничные условия, чаще в виде суммы или произведения 81П-ов и соз-ов. При Ф = Фа=. .. = О колебания свободные, при Ф Ф О, Ф. фO,. ..—вынуягденные. Общее решение ур-ий [c.219]

Случай пластинки, свободно опертой по всем краям, был рассмот С. П. Тимошенко, который, исходя из представления формы колебаний в де (9.45), нашел решение задачи методом нормальных координат [85], I Некоторое представление о расположении узловых линий на пластин свободно опертой по краям, можно получить, рассматривая отдельные сД гаемые ряда (9.45) и затем линейно налагая соответствующие им фор0( Так, первый член ряда (9.45) [c.356]

Нормальные формь колебаний. Для концевых условий, отличных от свободного опирания, иногда более удобно помещать начало координат в середине пролета балки (рис. 2.13). Это упро-щает исследования балок с симметричными, т. е. с одинаковыми, концевыми условиями при сим-i, метричном нагружении (в этом [c.92]

Распространение этого метода на общий случай производится очевидным образом, однако уместно привести формальный перечень результатов. В любой консервативной системе с т степенями свободы существует, вообще говоря, т независимых нормальных свободных колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Частоты этих колебаний находятся из уравнения т-го порядка относительно п , содержащего симметричный детерминант аналогично уравнению (3), и, таким образом, зависят только от свойств самой системы. В каждом из этих нормальных колебаний система колеблется так, как если бы она обладала только одной степенью свободы, так что амплитуды колебаний для координат д , находятся в постоянном отно- [c.65]

Вопрос несколько упрющается, когда коэфициенты вязкости оказываются малыми, так как в этом случае нормальные колебания происходят почти в точности в том виде, как и при отсутствии трения. Так, например, из уравнений (15) получается, что существует свободное колебание такого типа, при котором изменяется главным образом одна координата, скажем тогда г-ое уравнение приводится к виду [c.711]

Струна длинои Z и с массой е г/см подвешена за один конец так, что на неё действует только одна сила тяжести. Показать, что если принять свободный конец струны за начало координат, то нормальные моды колебания будут выражаться следующим образом [c.171]

Рассматривая, как и выше, любую систему с двуу1я степенями свободы, мы всегда будем получать подобное частотное уравнение, квадратичное относительно р , которое обычно будет иметь два различных действительных положительных корня. Для каждого из згнх двух корней получится определенное отношение амплитуд двух соответствующих координат. Эти отношения амплитуд определяют две нормальные формы свободных колебаний системы, подобные представленным на рис. 136. Сложение в надлежащих пропорциях этих нормальных форм представит общий случай свободных колебаний, [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...