Движение неустойчивое по Ляпунову

Таким образом, основное отличие многомерных динамических систем от двумерных состоит в появлении у них нового типа установившихся движений, движений очень сложных, неустойчивых по Ляпунову и имеющих стохастический характер. Можно, не вдаваясь в тонкую структуру этих движений, говорить об их возникновении, переходе друг в друга и в другие более простые установившиеся движения так же, как об этом говорилось ранее. При этом их области притяжения трансформируются непрерывно при мягких переходах и скачком при жестких. Сложным установившимся движениям можно дать при достаточно грубом подходе приближенные стохастические описания в виде некоторых марковских процессов. [c.377]

Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия = 2 = О оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустойчивым, причем при а < 7з степень неустойчивости четная, а при < а 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что при < а 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову. [c.542]

Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а < 1 и а > % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < < 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542]

Выяснение характера, а также областей существования различных устойчивых установившихся режимов движения частицы является одной из основных задач теории. При этом целесообразно ограничиться исследованием устойчивости движения не относительно координат частицы и ее скоростей, а относительно упомянутых выше моментов перехода t, соответствующее определение устойчивости (см. [6]) вполне аналогично определению устойчивости по Ляпунову (см. т. 1 и 2 справочника), хотя и является менее жестким - возможны режимы, неустойчивые по Ляпунову, но устойчивые по моментам перехода (см. стр 21). [c.16]

Невозмущенное движение И( называют неустойчивым по Ляпунову, если существуют некоторые 8>0 и /о такие, что длн любого 5>0 существует хотя бы одно возмущенное движение и(/) И такой момент времени что выпол- [c.458]

Доказать же теоретически экспоненциальную неустойчивость по Ляпунову движений в облаке не удалось и пришлось ограничиться численными результатами о непериодическом или периодическом, но ц очень большим периодом, характере движений. Отметим, что в 1974 г. был построен аналогичный [c.24]

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

На основании теории гироскопических систем следует, что движение электрона устойчиво по отношению к >>1, 1, 2 но неустойчиво по Ляпунову (по у ,2х,22,У, 2х, 2 ) [c.104]

Если скорость скольжения колес по рельсам получит малые приращения в результате случайных малых возмущающих воздействий, то такое движение называется возмущенным. Если приращение скорости, скольжения колес при возмущенном движении несущественно, то движение называется устойчивым. Если же при сколь угодно малом возмущении величина скорости скольжения колес все время отклоняется от значений при невозмущенном движении, то невозмущенное движение называется неустойчивым по Ляпунову. В эксплуатации такое возмущенное движение называют разносным боксова-нием. [c.196]

Ввиду очевидной и несущественной неустойчивости по Ляпунову решения (3.1), связанной с зависимостью угловой скорости и> во) от широты во, естественны другие определения устойчивости (см., например, [7, 9, 13]). Скажем, что стационарное решение (3.1) устойчиво по Раусу, если устойчиво семейство равновесий Г уравнения относительного движения (3.3). [c.358]

В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, полученные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых систем. Определение формальной устойчивости было приведено в 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (по конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.90]

Замечание. Наличие формальной устойчивости позволяет утверждать, что неустойчивость по Ляпунову не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка. А если и существуют траектории, по которым тело Р далеко уходит от вершины равностороннего треугольника, то движение по ним происходит крайне медленно. [c.142]

На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам ]С1%1 + 2 2 = N третьего и четвертого порядков ( 11 + 2 ( = = 3 или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые числа кг и 2 имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при учете в разложении функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения если же на таких кривых не выполняются другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых резонансов третьего порядка с одинаковыми знаками чисел и 2 точки либрации оказались неустойчивыми по Ляпунову. На аналогичных кривых, соответствующих резонансам четвертого порядка, точки либрации либо неустойчивы по Ляпунову, либо устойчивы при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка включительно. Интервалы устойчивости и неустойчивости при резонансах четвертого порядка приведены в табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствующих пересечению кривых резонансов третьего и четвертого порядков) не исследовалась. [c.170]

Ясно, что по отношению к возмуш ениям координат и импульсов, соответствуюш их периодическим движениям, эти движения будут неустойчивы по Ляпунову, так как их период зависит от начальных условий (величина е в выражении для периода (2.4) зависит от начальных условий). Однако представляет интерес задача об орбитальной устойчивости. [c.209]

Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай, когда материальная точка во все время движения не выходит из плоскости экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841 показано, что в области I существуют кривые, на которых частоты W2 удовлетворяют резонансным соотношениям третьего и четвертого порядков = 2ш2 и = 3(02- Эти кривые представлены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185], показали, что для значений параметров еа, e , лежащих на кривой со = 2(x)z и на части кривой tOi = 3(02, где выполняется неравенство —0,0634 < e —0,0629, точки либрации неустойчивы по Ляпунову. В остальной части области / точки либрации устойчивы по Ляпунову (кроме, быть может, двух точек кривой = Зюг, в которых e = —0,0634 или —0,t)629 эти две точки разделяют на кривой o)i = 3(02 интервалы устойчивости и неустойчивости, в них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что для исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах [184, 185], как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть в разложении гамильтониана члены до шестого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.303]

Нетрудно видеть, что, вообще говоря, движение в консервативной системе неустойчиво по Ляпунову, ибо в общем случае период обращения представляющей точки по различным интегральным кривым различный. Вследствие этого светлая и черная точки, несмотря на малое начальное расстояние, будут все больше и больше расходиться. [c.150]

С ним мы столкнемся только при рассмотрении неконсервативных систем. Хотя, как мы только что видели, периодические движения в консервативных системах, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову, однако они все же обладают некоторым видом устойчивости. Именно — достаточно близкая траектория всегда лежит целиком в непосредственном соседстве с рассматриваемой. Такой вид устойчивости носит название орбитной устойчивости эта устойчивость играет существенную роль в общей теории поведения интегральных кривых. [c.151]

В случае постоянно действующих возмущений возможно дальнейшее обобщение определения устойчивости по Ляпунову невозмущенный процесс движения при постоянно действующих во времени возмущениях является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если для всякого е>0 можно найти такое 6(g)>0, что как только мера возмущений <6, мера fначальный момент времени to- Математическое условие, при котором впервые нарушается определение устойчивости, носит название критерия неустойчивости. [c.320]

Нам представляется ошибочным утверждение, которое встречается в некоторых учебниках по механике, что определения устойчивости движения по А. М. Ляпунову и Н. Е. Жуковскому — несовместны, т. е. движение, устойчивое по определению Н. Е. Жуковского, неустойчиво в смысле А. М. Ляпунова. [c.327]

Если начальные условия таковы, что выражение в квадратных скобках отрицательно, то движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, неустойчиво по теореме III 118. Имеет место лишь условная устойчивость (теорема II 118). Если выражение в квадратных скобках положительно, то теоремы первого метода А. М. Ляпунова не позволяют сказать что-либо определенное об устойчивости движения. Мы не исследуем этот вопрос подробно, ограничившись лишь замечанием, что движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, устойчиво, когда выражение в квадратных скобках будет положительно. [c.434]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Для сред типа (10.1) даже при фиксированных внешних нагрузках идет процесс деформирования и вопрос об устойчивости состояния (в противоположность упругости и пластичности) прямого смысла не имеет. Может быть поставлен вопрос лишь об устойчивости процесса. И если при этом исходить из определения устойчивости по Ляпунову, то выделить в данном невозмущенном процессе участок устойчивости или неустойчивости нельзя либо весь процесс надо признать неустойчивым, либо весь — устойчивым. Дело в том, что определение устойчивости процесса (движения) по Ляпунову, естественным образом обобщающее определение устойчивости состояния, требует включения в рассмотрение бесконечно удаленного момента времени, и заключение об устойчивости или неустойчивости можно сделать только на основании особенности поведения возмущенного движения в бесконечно удаленной точке. Поэтому, даже если до некоторого момента левая часть (10.9) оказывалась отрицательной, признать процесс [c.25]

Конкретизируем это утверждение. Поскольку положение равновесия ц-системы в данном случае устойчиво по Ляпунову, то положение равновесия исходной системы устойчиво не только по у ,2 ,22, но и по> 1. Кроме того, устойчивость по возможна лишь в случае неустойчивости и по 2ь и по 22. Таким образом, в рассматриваемом случае движение электрона устойчиво по у ,ух,2 ,22 и неустойчиво по каждой из переменных 21, 22. [c.104]

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости прямолинейного и кругового движений диска по горизонтальной плоскости. Путем простых рассуждений легко убедиться в том, что в смысле Ляпунова эти движения являются неустойчивыми. Действительно, прямолинейное движение диска можно сколь угодно малым возмущением превратить в круговое движение, хотя и с очень большим радиусом. При этом, конечно, спустя достаточно большой промежуток времени положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях разойдутся на любое большое расстояние. Аналогично при сколь угодно малом возмущении кругового движения, в частности, при таком, когда движение остается круговым, но с другим значением угловой скорости ф, спустя значительное время положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях могут разойтись на расстояние порядка радиуса описанной диском окружности. Наряду с этим движение диска оказывается устойчивым по отношению к изменению угла 0 его наклона к горизонтальной плоскости. Именно, этим свойством, устойчивостью по отношению к углу наклона, и объясняется удивительная способность диска катиться по плоскости, не падая. [c.61]

Теории критических случаев по Ляпунову посвящена обширная литература, непрерывно пополняемая до настоящего времени. При этом основным методом исследования критических случаев оказался второй метод Ляпунова — Четаева. Первой после Ляпунова работой в этой области была, по-видимому, работа И. Г. Малкина (1933), в которой доказана неустойчивость невозмущенного движения для системы второго порядка вида [c.55]

Заметим еще, что может случиться (и это будет наиболее общий случай), что функции Х (1 ха) даны только для значений заключенных в некотором промежутке (/о, ), за пределами которого рассматривать задачу по каким-либо причинам не имеет смысла. Тогда приведенные определения устойчивости и неустойчивости в смысле А. М. Ляпунова могут быть сохранены с заменой слов ...для всех значений о на следующие ... для всех значений 1 в промежутке (/о, ).. При этом, если невозмущенное движение оказывается неустойчивым, то это означает, что величина т, играющая роль в определении неустойчивости, такова, что т Таким образом, невозмущенное движение неустойчиво, если последующие возмущения не способны оставаться численно меньшими назначенного предела в течение всего того промежутка времени, когда имеет смысл рассматривать данное движение. [c.59]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

В случае неустойчивых по Лагранжу движений на прямой априори ничего нельзя сказать относительно их устойчивости или неустойчивости по Ляпунову. Так, в примере 5.6 движения устойчивы Л, в то время как в примере 6.6 из формулы (2.6) Ьытекает, что если уо>0. Уо =- о. >0, а у=г(1ч-уо)б —1, то [c.94]

Теорема Ляпунова о п(-усто (чивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной веи ествен-ной частью, то невоамущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.103]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости <a href="/info/8834">положения равновесия</a> системы па <a href="/info/537875">примере системы</a> с одной степенью сво боды при использовании <a href="/info/4060">фазового пространства</a>. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область <a href="/info/413946">начальных возмущений</a> (<a href="/info/413946">начальное возмущение</a> —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область <a href="/info/3114">отклонений системы</a> от проверяемого на <a href="/info/8836">устойчивость положения равновесия</a> при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от <a href="/info/44453">момента начального</a> возмущения I — <a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движеиия, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из <a href="/info/243032">положения устойчивого</a> ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — <a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движения, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из положения неустойчивого ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движения, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из положения <a href="/info/41779">асимптотически устойчивого</a> ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a>, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Рассмотрим эти условия по Ляпунову. Из механики известно, что движение системы можно рассчитать, если заданы силы, действующие на систему и начальные условия (начальная скорость и координаты). В технических расчетах движения поезда, видимо, нельзя принимать силу тяги, равную по величине предельной силе сцепления движущих колес с рельсами, соответствующей физическому коэффициенту сцепления 1130, иначе движение будет неустойчивым. Дело в том, что в процессе движения возникают возмущающие воздействия — силы, которые невозможно учесть в расчетах вследствие случайности их возникновения и малости по сравнению с основными силами. Характер воздействий мйжет быть различным либо они внезапно увеличивают вращающий момент на движущих колесах так, что сила тяги становится боль-ще силы сцепления сц- либо резко уменьшают силу сцепления вследствие снижения коэффициента сцепления (грязь и смазка на рельсах) и разгрузки колес при колебательных движениях надрессорного строения локомотива. Но в том и другом случае может возникнуть боксование. [c.196]

Следует подчеркнуть, что неустойчивость течений идеальной жидкости понимается здесь иначе, чем в пункте К речь идет об экспоненциальной неустойчивости движения жидкости, а не его поля скоростей. Возможны случаи, когда стационарное течение является устойчивым по Ляпунову решением уравнения Эйлера, и тем не менее соответствующее движение жидкости экспоненциально неустойчиво. Дело в том, что малое изменение поля скоростей жидкости может вызывать экспоненциально растущее изменение движения жидкости. В таком случае (устойчивости решения уравнения Эйлера и отрицательности кривизны группы) можно 1фогнозировать поле скоростей, но невозможно прогнозировать без очень большой потери точности движение масс жидкости. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...