Формализм Лагранжа

Формализм Лагранжа, 540 Формула [c.712]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Наша цель — приблизить к формализму Лагранжа механические модели с непотенциальными силами. Введем в рассмотрение [c.106]

Формализм Лагранжа и Гамильтона [c.205]

В предыдущих главах формализм Лагранжа применялся к системам, состоящим из точечных частиц, и к твердым телам формализм же Гамильтона использовался только для точечных частиц. В качестве одного из достоинств формализма Гамильтона было указано, что он открывает нам сравнительно простую возможность перехода к квантовой механике. Все системы, о которых шла речь до сих пор, описывались конечным числом переменных. Однако существует немало физических систем, которые должны описываться бесконечным числом переменных. Это обычно получается тогда, когда вместо переменных qk, где А=1, 2,. .., s, мы имеем одну (или более одной) совокупность переменных Q(x) эти переменные Q (дг) являются функциями непрерывной переменной х, точно так же как величины следовало считать функциями дискретной переменной к. Такая ситуация возникает в двух существенно различающихся между собой случаях. Во- [c.205]

Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщ,ают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их фурье-коэффи-циенты в качестве обобщенных переменных. [c.206]

Весьма широкая область возможного применения Гп-пре-образования обусловлена прежде всего тем, что для крутильных динамических моделей многозвенных зубчатых передач различных машинных агрегатов выполняются -преобразования общего вида [1]. Кроме того, модель любой несвободной динамической системы, характеризующейся полными голономными связями и наличием обобщенной квазистатической координаты, удовлетворяет условиям (5) Г -преобразования. Действительно, дифференциальные уравнения движения такой системы на основе формализма Лагранжа можно записать в виде [2] [c.47]

Это уравнение движения можно вывести также другим путем (ср. ч. I, разд. 2.51), а именно с помощью общего формализма Лагранжа для полей [В2.28-1]. Пользуясь плотностью лагранжиана [c.122]

Следует отметить, что приведенные соотношения могут быть получены также дедуктивным путем из квантовой электродинамики [2.13-1]. При этом следует исходить из поля Дирака, взаимодействующего с электромагнитным полем. Путем соответствующего преобразования позитронная компонента отделяется, а применение формализма Лагранжа позволяет сформировать функцию Гамильтона с электронной компонентой метод включает последовательное разложение величин по степеням элементарного заряда и обратной скорости света в вакууме. Применение квантования поля для этой [c.181]

Переход от формализма Лагранжа, в котором уже учтено наличие наложенных на систему связей (число степеней свободы равно f), к формализму Гамильтона [c.33]

Пример формализма Лагранжа — Гамильтона (математический маятник) [c.36]

На этом простом примере мы покажем принципиальный ход решения задачи в рамках формализма Лагранжа — Гамильтона. [c.36]

Пример формализма Лагранжа — Гамильтона 87 [c.37]

При этом мы учитывали, что в формализме Лагранжа координаты и скорости рассматриваются как независимые переменные. Дальнейшие преобразования дают [c.89]

В механике под преобразованием симметрии мы понимали преобразование, определяемое бесконечно малой производящей функцией, не зависящей от времени в силу определения (14.7), и гарантирующее инвариантность формы функции Гамильтона. В теории поля на первый план вместо формализма Гамильтона выдвигается формализм Лагранжа, поскольку именно он обеспечивает релятивистскую ковариантность. Поэтому здесь при определении преобразования симметрии исходят из плотности лагранжиана и сообразно этому требуют [c.116]

Поскольку в формализме Лагранжа используются переменные Гс, Га и имеет смысл положить [c.127]

Это — определение преобразования симметрии в формализме Лагранжа, которое следует рассматривать как аналог определения (14.7). [c.129]

В предыдущем параграфе рассмотрены уравнения движения системы чтобы их составить для конкретной задачи, необходимо знать функцию Лагранжа L. Метод получения и анализа уравнений движения, основанный на функции Лагранжа, охватывает не только механические системы, но и квантово-механические системы и электромагнитное поле. Такой метод носит название формализма Лагранжа. [c.202]

Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе. [c.137]

ЭТОМ пути не требуется вводить какие-либо силы инерции — наоборот, лагранжев формализм сам вводит их и устанавливает их обобщенно потенциальный характер. [c.164]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Лагранжев формализм — это последовательность стандартных операций, которые необходимо выполнить, чтобы получить уравнения Лагранжа второго рода. Вот эти операции. [c.540]

Замечание 8.1.2. Уравнения Лагранжа второго рода могут быть справедливыми не только для голономных систем. Например, уравнения Чаплыгина имеют форму уравнений Лагранжа, в которых реакции, введенные в соответствии с принципом освобождения от не-голономных связей, оказываются гироскопическими и имеют специальную форму. Однако техника получения уравнений Чаплыгина не поддается лагранжеву формализму и оказывается более сложной ( 7.3). [c.544]

При расчете электрических цепей, содержащих конденсаторы, индуктивности, резисторы и сторонние ЭДС, весьма удобным является лагранжев формализм. Обобщенными координатами являются параметры < , характеризующие пространственную конфигурацию системы и количество заряда Q , протекающего по участку цепи, заключенному между двумя узлами. Обобщенные ско- [c.91]

Автор сознает, что изложение можно было бы значительно сократить, если начать непосредственно с уравнений движения Лагранжа, а затем перейти к теории Гамильтона. Такая последовательность была бы оправданной, если бы целью книги было первое ознакомление студента с определенным формализмом и методом составления дифференциальных уравнений, отвечающих любой заданной динамической задаче, а также с определенными рецептами , которые могли бы помочь в решении этих уравнений. Но [c.12]

Формализм Гамильтона. В механике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых силовая функция зависит не только от положения частиц, но и от времени. Для подобных систем закон сохранения энергии не выполняется и принцип Эйлера — Лагранжа не применим, однако применим принцип Гамильтона. [c.17]

Еще одно преимущество этого формализма заключается в том, что мы сразу же получаем преобразование вариационной задачи с производными высших порядков к канонической форме, ие прибегая к процессу последовательного исключения производных, описанному на стр. 200. Предположим, например, что задана функция Лагранжа [c.398]

Именно эти высказывания Лагранжа и дали повод буржуаз-И1.1М историкам науки, в том числе Маху, представить трактат [агранжа как демонстрацию принципа экономии мышления в науке , как проявление воображаемого желания Лагранжа вытравить из механики всю ее гатериальную естественнонаучную п техническую основу, 1 ак проявление якобы беспринципного формализма Лагранжа. [c.3]

Пользуясь формализмом Лагранжа, легко удовлетворить требованию релятивистской инвариантности, выбирая действие, т. е. интеграл, от лагранжиана по времени в виде, инвариантном относительно группы Лоренца. Мы не знаем столь же простого пути релятивизации гамильтонова формализма. При создании квантовой теории приходится исходить из гамильтонова формализма. Существуют надежные правила перехода от классической гамильтоновой динамики к квантовой динамике, основанные на зал1ене координат и импульсов линейными операторами. Эти правила в простых случаях приводят к однозначным результатам и хотя в более сложных случаях их нельзя применить без известной неоднозначности, они показали себя вполне пригодными для любой практической цели. [c.705]

В этой главе мы расскажем о том, как можно посту пать с уравнениями движения для непрерывных систем Б точно такой же манере, как мы поступали с системами обсуждавшимися в предшествующих главах. Мы исполь зуем здесь для получения канонических уравнений движе ния, описывающих такие непрерывные системы, метод состоящий во введении и использовании компонент Фу рье от величин Q (л ), описывающих систему. Далее описываются те видопз.ченения, которые необходимо ввести в формализм Лагранжа и Гамильтома, чтобы использовать его и для непрерывных систем. Во втором параграфе этой главы теория, развитая в первом параграфе, применяется к звуковым волнам и электромагнитному полю. [c.205]

Формализм Лагранжа и Гамильтона можно распространить на случай неконсервативных сил, т.е. сил, которые не могут быть получены из скалярной потенциальной функции. Сила Ф = ис1М/(И, где и — абсолютная скорость отбрасываемых частиц, как раз является примером такой силы. Приведем уравнение Лагранжа без соответствующего вывода [c.73]

По поводу вопроса 1.4 Система (1.1) естественным образом связана с гамильтонианом Н п с симплектической формой dp А dx + + dq А dy. Система (1.4) — это характеристическая система дифференциальной формы pdx + qdy — Н dt = f dr + С dO — Н dt. Эти важные замечания объясняются в книге Арнольда [1], где также используется формализм Лагранжа. Роль этих структур в процессе редукции такова сопоставить с действием какой-нибудь хорошей группы симметрии первых интегралов. Так, враш,ение связано с С, перенос по времени — с Н. Почему нам не понадобились эти структуры при редукции Попросту потому, что в задаче о радиальном потенциале мы уже знали первые интегралы Н п С. Закончим эту лекцию, приведя пример редукции с помош,ью плохой группы симметрии, которая также хорошо подходит к процессу редукци. [c.16]

Основываясь на формализме Лагранжа — Гамильтона и связанных с этим формализмом концепциях — на всем том, что для краткости именуется каноническим аппаратом или каноническим формализмом , — автор дает единое изложение механики и теории поля. При каждом удобном случае он указывает выходы механики в теорию поля и демонстрирует органическую связь этих наук (не случайно, например, общая формулировка теоремы Нётер приводится сначала в теории поля и лишь затем применяется к механике). Это делает книгу ценной и интересной для широкого круга читателей, хотя мы не решились бы рекомендовать ее для первоначального ознакомления с предметом. [c.5]

Еытекающее из равенства (5.4). Так как в формализме Лагранжа обобщенные координаты дк и обобщенные скорости дк являются независимыми переменными, дифференцирование последнего соотношения дает [c.31]

В формализме Лагранжа в качестве основной функции используется функция Лагранжа Ь, а в качестве независимых переменных — обобщенные кoopдинatы дк. и обобщенные скорости дк. Время t играет роль параметра. [c.32]

Хотя законы сохранения ньютоновой механики уже обсуждались в плане формализма Гамильтона, поучительно показать, каким образом эти законы можно включить в теорию Нётер, основанную на формализме Лагранжа. [c.126]

Прежде чем устанавливать связи с теорией Нётер, распространим на формализм Лагранжа теорию бесконечно малых канонических преобразований, изложенную в разд. 13 и 14. При этом, как и ранее, будем исходить из бесконечно малого канонического преобразования, описываемого формулами (13.6), которые в векторной записи выглядят так [c.127]

Уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют ряд преимунгеств. Для них разработаны методы нахождения интегралов. Формализм Гамильгона игироко применяется в квантовой и статистической механике. [c.417]

Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами зависят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать дьижения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи. [c.154]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Первоначально лагранжев формализм был разработан, главным образом, для того, чтобы обойти затруднения, связанные с исследованием систем с механическими связями. Позже с развитием физики выяснилось удобство этого формализма в связи с ковари-антной формой уравнений Лагранжа для описания движений и в тех случаях, когда связи отсутствуют. [c.156]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Формализм Эйлера и Лагранжа. Для того чтобы понять, как это происходит, рассмотрим частицу, находящуюс> в точке Pi в момент времени Предположим, что нам известна ее скорость в этот момент. Пусть нам также известно, что через некоторый заданный промежуток времени частица окажется в некоторой точке Ро . Хотя траектория частицы нам неизвестна, ее можно найти чисто математическим путем при условии, что кинетическая п потенциальная энергии частицы заданы как функции возможных скоростей и возможных положений частицы. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...