Формализм Эйлера и Лагранжа

Формализм Гамильтона. В механике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых силовая функция зависит не только от положения частиц, но и от времени. Для подобных систем закон сохранения энергии не выполняется и принцип Эйлера — Лагранжа не применим, однако применим принцип Гамильтона. [c.17]

Это уравнение называется уравнением Лагранжа или уравнением Эйлера — Лагранжа. Причина введения Лагранжем этого формализма состоит в том, что использование закона < f = та , как мы это делали выше, в таких случаях, как, скажем, системы со связями, может потребовать больших усилий. Например, трехмерный математический маятник состоит из массы, жестко прикрепленной к неподвижной точке, что, таким образом, вынуждает нашу точечную массу оставаться на сфере (см. упражнение 5.2.3). Чтобы изучать задачи такого рода, необходимо ввести понятие связей — сил, которые присутствуют постоянно и единственная задача которых — обеспечить некоторые ограничения на движение частицы. Подход Лагранжа существенно упрощает проблему. Ограничения часто имеют такой характер, что конфигурационное пространство системы становится некоторым многообразием М с Ж". Система тогда может быть адекватно описана путем приписывания каждой точке М потенциальной энергии и каждому касательному вектору — кинетической энергии, задаваемой положительно определенной [c.209]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

Смысл этого замечания состоит в том, чтобы еще раз подчеркнуть, что, производя вычисления в локальных координатах, мы тем не менее получаем результаты, не зависящие от их выбора. Это главное достоинство лагранжева формализма. В частности, требование обращения в нуль величины S F Tfi — R эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа, которое, таким образом, является необходимым условием минимизации L на кривой с. [c.373]

Традиционные обозначения при использовании координатного формализма таковы точка локальной карты обозначается через q, касательный вектор — через д. Поэтому уравнение Эйлера — Лагранжа в контексте классической механики выглядит следующим образом [c.373]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Возникновение аналитической механики неголономных систем отно-сится к концу прошлого века, когда аналитическая механика голономных систем была уже построена, а неголономные системы были чем-то удивительным, почему-то не охватываемым, казалось бы, всеобъемлюпщм аналитическим формализмом Эйлера — Лагранжа — Гамильтона — Якоби, Инерция была настолько велика, а неожиданно возникающие препятствия столь непривычны, что не обошлось без ошибок и просмотров (К, Нейман, [c.171]

Формализм Эйлера и Лагранжа. Для того чтобы понять, как это происходит, рассмотрим частицу, находящуюс> в точке Pi в момент времени Предположим, что нам известна ее скорость в этот момент. Пусть нам также известно, что через некоторый заданный промежуток времени частица окажется в некоторой точке Ро . Хотя траектория частицы нам неизвестна, ее можно найти чисто математическим путем при условии, что кинетическая п потенциальная энергии частицы заданы как функции возможных скоростей и возможных положений частицы. [c.16]

Зарождение динамики неголономных систем, по-видимому, следует отнести к тому времени, когда всеобъемлющий и блестящий аналитический формализм, созданный трудами Эйлера и Лагранжа, оказался, к всеобщему удивлению, неприменимым к очень простым механическим задачам о качении без проскальзывания твердого тела по плоскости. Ошибка Е. Линделёфа, обнаруженная С. А. Чаплыгиным, получила известность, и системы с качением привлекли к себе внимание многих выдающихся ученых своего времени (С. А. Чаплыгин, В. Вольтерра, Г. Герц, Г. Маджи, П. В. Воронец, П. Аппель, Г. Гамель, И. Ценов, Д. К. Бобылев, Н. Е. Жуковский и др.). Более ранние работы Н. Феррерса, Д. Кортевега, К. Неймана были замечены не сразу. Интерес, возникший к разработке вопросов аналитической механики неголономных систем, сохранился в каком-то виде и до нашего времени, что видно из библиографии, приведенной в конце книги ). [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...