Первые интегралы уравнений движения полная система

Что касается преобразований, не изменяющих величины Н, то их можно найти, если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно определенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ее должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить путем исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному рещению задачи [c.288]

К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. [c.277]

В конце предыдущего параграфа было показано, как по виду функции Гамильтона можно судить о сохранении полной энергии и обобщенных импульсов механической системы. Рассмотрим теперь более общую проблему отыскания любых первых интегралов уравнений движения (33.4), а именно найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых какая-нибудь функция координат, импульсов и времени Р д, р, t) является первым интегралом уравнений движения. [c.194]

Этот первый интеграл уравнений движения системы материальных точек называется интегралом живых сил. Величина h = =Т — U=T+V представляет собой полную механическую энергию системы. [c.354]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением методов решения уравнений движения, нахождением инвариантных соотношений и постоянных движения. Эта тенденция сложилась потому, что весьма эффективными стали методы получения первых интегралов при известном полном интеграле соответствующим образом составленного уравнения в частных производных, например, уравнения Гамильтона—Якоби. К тому же условия каноничности преобразований, составленные для произвольно выбранного гамильтониана преобразованной системы могут привести к интегрируемым уравнениям относительно производящей функции, с помощью которой определяются в дальнейшем первые интегралы канонических уравнений движения. Усилению этой тенденции способствует, причем весьма действенно, всевозрастающее внедрение ЭВМ в учебный процесс. [c.43]

Уравнения динамики принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы имеют достаточно много независимых первых интегралов (например, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы достаточно знать п интегралов, попарно находящихся в инволюции см. [3, гл. 4]). В соответствии с этим можно выделить интегрируемые биллиардные системы, обладающие полным набором независимых интегралов. Мы укажем основные известные интегрируемые биллиарды, а также некоторые способы их точного интегрирования и исследования качественных особенностей движения. [c.99]

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т=--2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы —и представлена в виде [c.266]

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда т< 2п, центральной является задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд эта задача кажется несложной. Действительно, если взять произвольную функцию т переменных и подставить вместо этих переменных известные нам т первых интегралов, то в результате получится новая функция гамильтоновых переменных, которая также будет сохранять неизменное значение во время движения [c.267]

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными. [c.256]

В предыдущей главе мы обращали внимание на трудности, возникающие при непосредственном при.менении к решению задач динамики системы уравнений Лагранжа первого рода. Основные теоремы динамики системы позволяют в ряде случаев непосредственно, исходя из условий задачи механики, находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Иногда эти интегралы движения позволяют найти полное решение задачи. [c.40]

Два уравнения движения центра масс и уравнение вращения, взятые в одном из указанных выше видов, представляют полную систему дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела. При действии потенциальных сил следует использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении кинетической энергии и представляющее собой один из первых интегралов указанной системы дифференциальных уравнений. [c.262]

Определение действия V по формуле (7.14) предполагает знание закона движения материальной системы. Поэтому нет ничего удивительного, что в формулах (7.15) мы так просто получили то, что предположили известным с самого начала. Чтобы обойти трудности определения действия V по формуле (7.14), Гамильтон нашел то дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого действие V является полным интегралом. [c.219]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений Хг = 1) (г = 1, п). Движение системы задается функциями Х = фг(жо, где Хо = х Ьо). Показать, что нри любом фиксированном функции фг(ж, I, о) задают полный набор функционально независимых первых интегралов динамической системы. [c.214]

Однако, так же как и дифференциальные уравнения движения взаимно притягивающихся материальных точек, уравнения поступательно-вращательного движения неизменяемых тел имеют в общем случае только десять первых интегралов, вытекающих из принципов сохранения движения центра инерции, момента количества движения и полной энергии системы. [c.386]

Общее число s независимых первых интегралов движения свободной механической системы 6п, причем максимальное число интегралов 6п существует у такой системы, для которой возможно полное разделение переменных в дифференциальных уравнениях движения. Действительно, в этом случае общее решение динамической задачи может быть представлено в виде [c.60]

Итак, имеется Зп уравнений движения, которые нужно решить, и поскольку каждое уравнение второго порядка, полное число произвольных постоянных, которые должны появиться в общем решении уравнений, равно 6п. Система уравнений (3) обладает только 10 известными первыми интегралами, которые будут получены в 4.03— 4.06. В случае, когда я = 3, такая задача называется задачей трех тел. [c.66]

Все сделанные нами допущения выполняются для систем, обычно рассматриваемых в физических приложениях статистической механики. Сверх того, полная энергия таких систем совпадает с гамильтоновой функцией отсюда следует, во-первых, что заданием величины Е как функции динамических переменных механическая природа данной системы исчерпывающим образом определяется во-вторых, это позволяет рассматривать проведенное нами в 3 рассуждение, показывающее, что гамильтонова функция служит интегралом системы уравнений движения, как доказательство закона сохранения энергии для тех систем, которые мы будем рассматривать. [c.26]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Таким образом, полное решение вопроса о движении консервативной системы с S степенями свободы ( 191) и без дифференциальных неинтегри-руемых связей требует нахождения лишь 2s,— 3 первых интегралов уравнений движения, отличных от интеграла энергии когда эти интегралы отысканы, дело интегрирования закончится двумя квадратурами. [c.435]

Последнее уравнение является первым интегралом уравнени движения, который называется интегралом живых сил Величина к = Т—и представляет собой полную механиче скую энергию системы. [c.328]

Гамильтоновы уравнения движения имеют четыре первых интеграла сохраняются полная энергия Я и три проекции (Fl, р2, Fз) момента импульса системы (тело -Ь ротор) на оси неподвижной ортогональной системы отсчета. Нетрудно проверить, что FьF2 = Я, F2,Fз = Ри 3, Fl = р2- Следовательно, функции Я, Р], = Р + Р2+Р находятся в инволюции, и для полной интегрируемости уравнений движения нужен еще один независимый интеграл, коммутирующий с функциями Я, Р и Р . Так, если ротор симметричен относительно своей оси вращения, то дополнительным интегралом является проекция момента импульса [c.273]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...