Граница эллиптичности

Аналогичная стабилизация особенностей границы эллиптичности типичных /-параметрических семейств многочленов происходит и при увеличении числа переменных, когда степень фиксирована. Увеличивая затем степень, приходим к тому же списку бистабильных особенностей, что в предыдущей теореме. [c.137]

Границы эллиптичности и функции минимума. Сформулированные выше теоремы основаны на следующей связи между функциями минимума и границей эллиптичности. [c.137]

Таким образом, стабильные особенности границы эллиптичности— такие же, как у множества уровня функции минимума. Другое (эквивалентное) описание этих особенностей доставляют графики функций минимума. [c.137]

Особенности границы эллиптичности в маломерных пространствах. [c.137]

При полностью свободной границе эллиптичность нарушается, так как решение единственно только с точностью до линейной функции а- -Ьх- -су. Если дифференциальную задачу заменить задачей A u- -qu = f, соответствующей пластине с постоянным вращением <7 = > О, она снОва станет эллиптической. [c.91]

Все более широкое применение для исследования строения межфазной границы твердое тело — среда находят оптические методы. В последние годы быстрое развитие получила эллипсометрия [34]. Изменение эллиптичности отраженного луча весьма чувствительно [c.31]

Рис. 3-7. Границы устойчивости течения эллиптической струи при различных значениях коэффициента эллиптичности е.

Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно получить и для квазиконформных отображений, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем вида (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие сильную эллиптичность системы. Они получаются значительно сложнее, чем в случае конформных отображений, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя. [c.108]

Хотя система (1) имеет особенность на оси вращения г = О, на нее, тем не менее, можно распространить теорему Римана о существовании и единственности отображений. В основу доказательства можно положить вариационные принципы, которые, как отмечалось в гл. П1, справедливы и для квазиконформных отображений. (Заметим, что в рассматриваемых нами задачах варьировать границу надо лишь для значений г [г ,г [, где Го > О, Г1 < ОС, а для таких г система (1) сильно эллиптична.) [c.207]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Указанные граничные условия определяют для уравнения Чаплыгина задачу Франкля, обобщенную в том смысле, что на части границы в области эллиптичности задано условие косой производной . Обобщенная задача Трикоми изучалась впервые Ф.И. Франклем, доказавшим теорему единственности обтекания конечного клина с отошедшей ударной волной [104 [c.293]

Теорема. Особенности границы области эллиптичности типичных семейств многочленов стабилизируются при росте четной степени й (перестают зависеть от й, с точностью до диффеоморфизма, если ( о(/,/тг)). [c.136]

Теорема. Стабильные особенности границы области эллиптичности типичных /-параметрических семейств многочленов от т переменных стабилизируются с ростом числа переменных т (перестают зависеть от т, с точностью до диффеоморфизмов, если т т )). [c.136]

Теорема. Граница области эллиптичности типичного /-параметрического семейства многочленов в окрестности стабильной особенности диффеоморфна графику функции минимума типичного /—1-параметрического семейства функций. [c.137]

Теорема. При / 7 стабильные особенности границы области эллиптичности /-параметрического семейства многочленов диффеоморфны особенностям графиков функций минимума типичных семейств многочленов от одной переменной. [c.137]

Таким образом гиперболичность функции I эквивалентна эллиптичности функции ф, что и объясняет совпадение особенностей границ гиперболичности и эллиптичности. [c.141]

Трудности решения этой системы уравнений связаны с тем, что при маршевом методе расчета возможно распространение возмущений вверх по потоку через дозвуковую область. Если ударный слой тонкий, то эллиптичность исходной задачи проявляется слабо. Основное отличие системы уравнений (2.107) от уравнений пограничного слоя заключается в том, что появляется дополнительное уравнение для нормальной составляющей количества движения и граничные условия ставятся не на внешней границе пограничного слоя, а на ударной волне, если она выделяется явно. [c.120]

Длина волны стенки равна 2л/1,8 3,5,, так что группа волн фактически включает семь гребней — по три с каждой стороны от центрального максимума. Максимальный наклон мал, однако, обращаясь к рис. 1, видим, что область в пространстве волновых чисел, занятая начальными данными для этого значения 5, изображается линией ЕР, а конец Р этой линии, соответствующий максимальной амплитуде стенки, близок к границе области эллиптичности. Это обстоятельство, по-видимому, свидетельствует о том, что стенка умеренной амплитуды может генерировать очень большие волны оно является следствием предположения о больших значениях чисел Фруда. [c.211]

Пример. Особенностн границы эллиптичности типичного двупараметрического семейства однородных многочленов (степени 4 или выше от любого числа переменных) —это обычные угловые точки. При трех параметрах встречаются также дву-транные и трехгранные углы и еще ограниченная оборванным ласточкиным хвостом область многочленов без [c.138]

Теорема. (А. Д. Вайнштейн, Б. 3. Шапиро) Бистабйльные особенности границы гиперболичности совпадают, с точностью до диффеоморфизма, с бистабильными особенностями границы эллиптичности. [c.139]

Таким образом, в решении могут встретиться области гиперболичности, параболичности и эллиптичности, причем заранее граница перехода не известна. Это очень затрудняет решение многих задач по сравнению с решениями соответствующих задач в случае плоской деформации. [c.216]

При ф=7 0 линии равных значений г на плоскости и, б претерпевают резкие изменения. Довольно плавная волнообразная поверхность г(и, б), имеющая место в случае ф = О, уже при малых ф нарушается крайне узкими разрезами с г = О (за счет того, что вблизи резонанса j В,, = О или Д = пп). С увеличением ф эти разрезы постепенно расширяются. Следовательно, при ф=7 0 рельеф функции г (и, б) будет иметь ячеистый характер. Границами ячеек являются кривые Во(> , б) = О, Д (и, 6) = пя и X = (1 + з1пф ) . Для примера на рис. 143 приведена конфигурация линий, весьма близкая к таковой на рис. 138, отличаясь от нее наличием разрезов. Заметим также, что линии максимальной эллиптичности поля в пределах каждой ячейки смещены относительно соседних. [c.206]

Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедтом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения. [c.48]

Последовательность решений фн равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при /г < /го в каждой подобласти Сьо последнее следует из интегрального представления фь с помощью функции Грина в Сьо- Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность фн при /г О сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой С, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в С, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения всюду, кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность ф в точках непрерывности ф дс на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помощью барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений трикомиевского типа вырождения (1.32)). [c.92]

Будем называть асимптотикой дозвукового течения в сопле Лаваля с прямой звуковой линией точное решение уравнения Чаплыгина (или Трикоми), определенное и ограниченное в полуплоскости эллиптичности и обладающее свойством, что линии уровня ф образуют узел в точке звуковой линии, в которой задан разрыв первого рода граничного условия обобщенной задачи Дирихле, и что значения решения на границе области определения этой задачи отличаются от граничного условия последней на непрерывную функцию (в достаточно малой окрестности точки разрыва). В силу единственности решения обобщенной задачи Дирихле в каждой фиксированной области определения асимптотика единственна. [c.95]

В связи с тем, что в (1.32) ш = 1, 6(0) = О, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница которой содержит конечный отрезок линии вырождения, корректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока ф описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие [c.223]

В качестве составных задач, на основе которых компонуется описание течения в М-области, можно, например, рассматривать задачу Дирихле в области эллиптичности и задачу Коши-Гурса в области гиперболичности (как краевые условия в ней задаются значения искомой функции ф на звуковой линии и на характеристике). Тогда построение решения в М-области будет состоять в подборе распределения искомой функции ф на звуковой линии, исходя из условия непрерывности ее нормальной производной. Отсюда следует, что произвольное граничное условие нельзя задавать на всей границе М-области — от него должна быть освобождена одна из двух характеристик, ограничивающих каждый характеристический треугольник, примыкающий к звуковой линии. [c.224]

Чуть более длинные вычисления (по-прежнему несложные, поскольку все кривые, относительно которых мы осуществляем отражение, являются либо отрезками, либо дугами окружностей см. упражнение 9.2.7) показывают, что орбита 7, соответствует случаю гиперболической седловой орбиты индекса -1, а орбита 73, вопреки ожиданиям, не эллиптична, но соответствует случаю обратного седла (пятая строка таблицы из 8.4), индекс которого равен единице. Тогда сумма индексов по-прежнему равна нулю, как и в случае изолированной орбиты периода два в эллипсе, хотя структура второй орбиты в этом случае другая. Этот факт следующим образом согласуется с формулой Лефшеца (теорема 8.6.2). В окрестности границы, которую не посещает ни одна периодическая орбита данного периода, можно возмутить биллиардное отображение таким образом, чтобы получилось тождественное отображение. Затем, отождествляя компоненты границы получившегося кольца, мы получим тор, на котором биллиардное отображение порождает некоторое отображение, гомотопное линейному преобразованию [c.354]

Сообщаемые ниже теоремы об особенностях границ областей эллиптичности в пространствах параметров типичных семейств однородных многочленов доказаны В. И. Матовым [74], [76], [78]. Особенностн оказываются такими же, как у графиков и у поверхностей уровня функций минимума типичных семейств функций. [c.135]

Область эллиптичности /-параметрического семейства многочленов степени <1 от т переменных является прообразом (при естественном отображении пространства параметров в пространство многочленов) области всех эллиптических многочленов степени й от т переменных. Граница последней (выпуклой) области естественно стратифицирована. Исследование особенностей границы области эллиптичности для типичных семейств есть, в сущности, исследование стратов этой стратификации (коразмерности не выше / в пространстве многочленов, если семейство /-параметрическое), [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...