Функции на гладких многообразиях

Приведенный результат — распространение на краевой случай аналогичного результата для простых функций на гладком многообразии [22, п. 2.5.6]. [c.16]

Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла Г[р,д), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т М, аналитической при фиксированных д Е М на кокасательных плоскостях Т М и имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные гю скоростям функции представляют распространенный пример интегралов, аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все критические точки изолированы или критические точки образуют невырожденные критические многообразия. [c.135]

Теорема. Всякий гомологичный тождественному симплектический диффеоморфизм компактного симплектического многообразия имеет по меньшей мере столько неподвижных точек, сколько критических точек имеет гладкая функция на этом многообразии, во всяком случае, если этот диффеоморфизм не слишком далек от тождественного. [c.387]

Предложение 9.1.1. Пусть р — невырожденная критическая точка функции / класса С, г 2, заданной на гладком многообразии М. Тогда существуют такое число к,0 к п, и такая локальная система координат (жц. .., ж ) с центром в р, принадлежащая классу что в этих координатах функция / имеет вид [c.342]

В общем случае бифуркационная диаграмма проектирований состоит из трех гиперповерхностей одна — проекция ребра возврата дискриминанта (соответствует вырождению критической точки функции и на гладком многообразии Ух), другая — проекция множества самопересечения (совпадение критических значений функции и на гладком Ух), третья множество критических значений проектирования регулярной части 2 (многообразие особо). [c.59]

Определение. Функция минимума семейства f гладких функций на компактном многообразии М определяется как [c.137]

Пример 1. Рассмотрим контактное многообразие J M, R) 1-струй функций на римановом многообразии (без края) М, снабжённом гладкой гиперповерхностью дМ (мы можем считать М евклидовым пространством подходит даже случай евклидовой плоскости). [c.243]

Натуральная механическая система — тройка (М, йз, У), где М — гладкое п-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы = ds/dt) /2), У — гладкая функция на М (потенциал поля сил). Движения натуральной системы — это отображения т А М (Д — интервал в К), удовлетворяющие в локальных координатах на М уравнениям Лагранжа с лагранжианом = 5 + У. Так как форма [c.130]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

А. Формулировка теоремы. Пусть М — гладкое многообразие, Ь. — гладкая числовая функция на его касательном [c.81]

Дифференциал df функции / на многообразии М есть гладкое отображение касательного расслоения ТМ ъ прямую [c.153]

Проекция нового многообразия на пространство с координатами X, Р (параллельно Р-направлению), вообще говоря, не является гладким многообразием, но имеет особенности. Эта проекция называется преобразованием Лежандра графика функции ф. [c.332]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340]

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообразия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно если <Й1,. . ., (о — базис исходной алгебры Ли, то [c.423]

Мы будем считать, что фазовое пространство является гладким многообразием размерности тп, и будем обычно обозначать его через М. Таким образом, эволюция системы определяется гладкой функцией Р х, 4) = (р (х), хеМ, teR, которая удовлетворяет групповому (композиционному) закону (р о(р = (р - и может быть, а может и не быть определенной для всех хи t. Рассмотрим сначала локальный аспект этой ситуации. Если зафиксировать а М и менять t, мы получим параметризованную гладкую кривую на М. Пусть (х) — вектор, касательный к этой кривой при t =0, г. е. в точке х. Точнее говоря, вектор (х) принадлежит касательному пространству Т М, которое является т-мерным линейным пространством, прикрепленным к М в точке X. Отображение х1- (х) определяет сечение касательного [c.24]

Обобщим эту конструкцию, рассмотрев риманову метрику на компактном гладком многообразии М и вещественнозначную функцию Г на М. В каждой точке ж 6 М, не являющейся критической для Р, можно определить единственное направление быстрейшего роста F, т. е. такой единичный касательный вектор С(ж)бТ М,что т у С Р/ г] , тп,е С Р означает [c.50]

Лемма 1.6.1. На гладком римановом многообразии М любое градиентное векторное поле ортогонально к линиям уровня функции. [c.50]

Определение 5.1.1. Мера п на дифференцируемом многообразии называется абсолютно непрерывной, если в любой гладкой локальной карте она получается интегрированием плотности. Такая мера называется положительной, если плотность почти всюду положительна в любой карте. Она называется гладкой положительной, если плотность — гладкая положительная функция. [c.193]

Следствие 7.2.8. Пусть 2 < г оо, и пусть М — гладкое многообразие. Тогда множество функций Морса (см. определение 7.2.3) является плотным в С -топологии и открытым в -топологии подмножеством пространства С -функций на М. [c.300]

Среди других фундаментальных результатов конечномерной теории Морса следует упомянуть следствие 8.6.7, а также утверждение о том, что любая гладкая функция на любом компактном многообразии, отличном от сферы, имеет по крайней мере три критических точки. [c.344]

Пример 1. Натуральная механическая система — тройка M,T,V), где М — гладкое многообразие положений, Т — риманова метрика на М (кинетическая энергия системы), V — гладкая функция на М (потенциал силового поля). Риманова метрика — гладкая функция на касательном расслоении, которая в каждой касательной плоскости является положительно определенной квадратичной формой. Функция Лагранжа 1 = [c.20]

Пример 9. Пусть N — гладкое многообразие и О — группа Ли, действующая на N. Продолжим действие С на до симплектического действия О на Т М как указано в примере 8. Построенное действие пуассоновское. Это вытекает из линейности функции р-Ух и следующей формулы p Vx, р-иу = [c.98]

Теорема ([7]). Простые ростки функций на краю вещественного многообразия с гладким краем исчерпывается, с точностью до диффеоморфизмов прообраза, переводящих край в себя, следующим списком ростков функций (х,у) в точке у=0 рая д =0 [c.11]

Рассмотрим комплексную ситуацию. Перейдем от многообразия С с краем х—0 к его двулистному накрытию, разветвленному вдоль края, положив J =z , у у. На накрытии имеется естественная инволюция z,y)>- —г, у). Ростку функции f x,y) на многообразии с краем отвечает росток /(z y), инвариантный относительно инволюции. Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие между функциями на многообразии с гладким краем и функциями, инвариантными. относительно инволюции пространства С", сохраняющей под- [c.11]

Многообразие с краем — это гладкое (вещественное или комплексное) многообразие. с фиксированной гиперповерхностью. Две функции на многообразии с краем считаются эквивалентными, если одна переходит в другую при диффеоморфизме многообразия, переводящем край в себя. Классификация функций на многообразии с краем тесно связана с группами Ли Bh, ft, 4, Gz, и группами Кокстера Яз, h p), диаграммы Дынкина которых имеют кратные ребра [112]. а связь аналогична связи, наблюдающейся между группами Л , >л, Ек и особенностями функций на гладких многообразиях без рая [22, 2.5]. [c.10]

Неособое локальное многообразие уровня функции на гладком многообразии гомотопически эквивалентно букету сфер средней размерности. Аналогом этого факта в рассматриваемом случае служит [c.16]

Росток пространства дополнения к дискриминантному многообразию в базе версальной деформации простой функции на гладком многообразии является пространством й(я, 1) (см. [22, п. 2.5.6]). Обобщением этого факта служит принадлежащая К. Сайто [c.29]

Простейшим примером глобального утверждения является утверждение о том, что гладкая функция на компактном многообразии имеет по крайней мере две критических точки один глобальный максимум и один глобальный минимум. Полезный вариант этого утверждения таков пусть / — такая гладкая функция на (необязательно компактном) многообразии, что для некоторого Ь множество /" ((-оо, i]) компактно и непусто. Товд у / есть по крайней мере одна критическая точка, а именно глобальный минимум. Доказательство существования первой биркгофовой периодической орбиты типа р, д) в теореме 9.3.7 будет основано на этом утверждении. [c.343]

Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии М задается одной единственной функцией L TMxA- -R, где Д —интервал оси времени R = i - Точку еЛ будем называть положением системы, а касательный вектор v TqM — скоростью В положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие М принято называть пространством положений, касательное расслоение ТМ — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, а dim М — числом степеней свободы. [c.20]

В [37], [38], [ 105] получена топологическая клаосиф.икащия в следующей ситуации. Рассмотрим семейство гладких функций / на замкнутом многообразии, зависящих от п-мерного параметра у, и образуем функцию максимума Р у) =maxf x, у). [c.194]

Здесь (ж1,...,ж ) = X — локальные координаты на гладком многообразии М", rottt — невырожденная матрица ротора ковекторного поля и х), h — гладкая функция на М". В силу предположения невырожденности rot и, п будет обязательно четным. По теореме Дарбу, заменой переменных х систему (1.13) локально всегда можно привести к каноническому виду уравнений Гамильтона. Однако это приведение лишь в исключительных случаях удается осуществить в явном виде. [c.187]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

А = A-te -Ь 2 2 + Лдвд (компоненты Ai — гладкие функции на многообразии М). Соответствующая 1-форма й)л разлагается по базису dxi, а соответствующая 2-форма (ол — по базису dxi Д dxj. [c.157]

Более общее определение включает 2п-мерное замкнутое гладкое многообразие М, замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму П на Т М, т. е. такую форму, что ( Г2=ОиГ2" 0 (где йО, — внешняя производная формы Г2, а — ее п-кратное внешнее произведение), а также гладкую функцию Н М Ш. Тогда по определению гамильтоново векторное поле — это такое поле Уц, что [c.49]

Если обсуждаемое многообразие ориентируемо, то эти классы мер могут быть определены с помощью дифференциальных тг-форм. В частности, любая гладкая положительная мера получается интегрированием гладкой невырожденной п-формы, и наоборот. На неориентируемом многообразии М нет никаких невырожденных гг-форм. Имеется два способа использовать язык бесконечно малых в этом случае. Во-первых, можно рассмотреть ориентируемое двулистное накрытие тг Мд—>М с инволюцией I, которая коммутирует с тг, и такие невырожденные п-формы w на Mg, что = —w. В качестве альтернативы можно ввести понятие нечетной гг-формы, которая представляет собой такую функцию на п-й степени касательного расслоения ТМ, что линейная замена координат с матрицей А умножает значение формы на I det Л . (Более детальные определения см. в упражнениях 5.1.1-5.1,3.) Нечетная п-форма называется невырожденной, если она отлична от нуля на базисе. [c.193]

Определение 5.1.7. Пусть М — гладкое многообразие с формой объема и / М М — сюръективное дифференцируемое отображение. Оператором Перрона — Фробениуса, соответствующим отображению /, называется оператор, заданный на неотрицательных измеримых функциях и определяемый следующим образом [c.195]

Следствие 8.4.9. Пусть f — вещественнозначная гладкая функция на многообразии up— невырожденная критическая точка. Тогда индекс точки р равен sign det(Id — ехр Я), а это выражение равно —1, если гессиан Н функции f в точке р имеет нечетное число положительных собственных значений, и 1 в противном случае. [c.330]

Предложение 20.2.6. Пусть М риманово многообразие, множество и с М открыто, / U М — гладкое вложение и A U — гиперболическое множество. Тогда каждая гёльдерова функция на А содержится в С А). [c.627]

Пространство R является гладким многообразием с тождественным отображением в качестве карты, равно как и открытые подмножества этого пространства. Интересный пример получается при рассмотрении линейного пространства (п х п)-матриц как R". Условие det А О тогда определяет открытое подмножество, следовательно, многообразие, которое известно как общая линейная группа GL(n, R) обратимых (п х п)-матриц. Простые гладкие кривые н поверхности в R являются многообразиями любая локальная параметризация задает отображение, обратное к карте. В частности, стандартная сфера является многообразием (в качестве карт можно взять шесть параллельных проекций полусфер на координатные плоскости или стереографические проекции сферы за вычетом полюсов). Вложенный тор (бублик) является многообразием (с очевидной параметризацией в качестве карт). (Заметим, что даже негладкие кривые могут рассматриваться как гладкие многообразия, например, простая кривая с углом (типа - ) гомеоморфна R, так что эта единственная глобальная карта задает дифференцируемую структуру. Конечно, эта структура несовместима со структурой пространства, в которое данная кривая вложена, так что эта кривая не может рассматриваться как гладкое подмногообразие R .) Многообразия, определенные уравнениями, а именно множества уровней дифференцируемых функций со значениями в R нли R", соответствующие регулярным значениям, представляют собой интересный обшлй класс многообразий. Существование карт в этом случае обеспечивается теоремой о неявной функции. В качестве примера можно рассмотреть сферу в R" н специальную линейную группу SL(n, R) п х п)-матриц с определителем единица. Если рассматривать пространство (п х п)-матрнц как R", можно получить SL(n, R) как многообразие, определенное уравнением det Л = 1. Легко проверить, что единица является регулярным значением определителя. Таким образом, это многообразие, определенное одним уравнением. Примеры многообразий, определенных несколькими )фавнениями, — симплектн- [c.702]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

Естественная стратификация пространства ростков гладких (функций порождает большое кол нчеот.во инвариантов гладких многообразий. Действительно, зафиксируем какой-нибудь страт (или набор стратов) S и рассмотрим пространство гладких функций на многообразии М с критическими точками проще S (ростки которых ни в одной точке не принадлежат S и его замыканию). Гомотопические инварианты пространств [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...