О градиентном векторном поле

См. приложение IV, О градиенте скалярной функции и градиентном векторном поле . (Ред) [c.322]

Учение о консервативном силовом поле (VII, рубр. 26— 29) представляет собой по существу, частный случай в теории градиентного векторного поля вообще силовое поле в геометрическом представлении есть частный случай векторного поля. Эту геометрическую сторону дела нам кажется полезным здесь выяснить несколько подробнее. [c.381]

Мы определяем градиентное векторное поле VF следующим образом [c.50]

Лемма 1.6.1. На гладком римановом многообразии М любое градиентное векторное поле ортогонально к линиям уровня функции. [c.50]

Теорема. Для любого ростка f вещественно аналитической функции на R", имеющей в нуле изолированную (в комплексном смысле) особую точку, индекс градиентного векторного поля по модулю не превосходит числа спектральных пар ростка /, равных (л/2—1, п—1). [c.125]

В п. 2.4.12 мы приводили оценку индекса особой точки градиентного векторного поля. Приведем теперь аналогичный результат для произвольного полиномиального поля. [c.172]

Если это имеет место, то векторное поле, как сказано, будет градиентным, а вектор Р называется градиентом функция и. [c.383]

Таким образом силовое поле, о котором идет речь в рубр. 26—29 текста, является консервативным, если представляющее его геометрически векторное поле градиентное. Сила поля в этом случае есть градиент потенциальной функции. [c.383]

Эту формулу легко вывести, заметив, что направленный вниз единичный вектор, касательный к сфере в точке (ж, у, г), имеет вид (хг, уг, -(ж° -Ь г/ ))/ /ж + у . Абсолютная величина его координаты г, равная д/ж + у , есть в точности норма градиентного вектора, который, следовательно, имеет вид (1.6.1). Единственными нулями этого векторного поля являются два полюса, и, таким образом, они являются неподвижными точками потока. Почти очевидно, что каждая точка, кроме северного полюса, асимптотически приближается к южному полюсу при устремлении времени к -Ьоо. На самом деле эта сходимость экспоненциальна. Аналогично каждая точка, кроме южного полюса, экспоненциально быстро приближается к северному полюсу при устремлении времени к —оо. [c.50]

Существуют различные варианты нелинейных моделей оболочек, и литература по данному вопросу обширна. К достаточно часто используемым в практических расчетах относятся нелинейные модели оболочек вращения, предложенные в [182, 193], и геометрически нелинейные модели оболочек и пластин, содержащие квадратичную нелинейность [35]. Детально проработаны вопросы нелинейной теории упругих оболочек с обобщенными гипотезами Кирхгофа [190, 191]. Нелинейные модели оболочек типа Тимошенко рассмотрены, например, в [40, 195], модели оболочек обобщены в [196] с точки зрения построения двумерных моделей градиентного типа, когда в качестве мер деформаций используются компоненты тензоров градиентов полей линейных и угловых перемещений. При этом векторные уравнения движения оболочки аналогичны приведенным в (2.6.8). [c.50]

Существуют, однако, обстоятельства, специфические именно для векторной задачи. Как известно, в закрытых резонаторах, применяя обычный fe-метод, надо к этим рядам добавлять еще градиентные члены, источником которых является дивергенция токов. Ряды, получающиеся в других вариантах обобщенного метода, не требуют включения этих членов — они уже содержатся в выделенном слагаемом (поле тех же источников в отсутствие тела или в присутствии другого тела). Разумеется, это справедливо и для рядов, описывающих поле в открытом резонаторе. [c.72]

Любое соленоидальное поле можно представить с помощью векторного потенциала В, который определяется с точностью до градиентной функции. [c.107]

Прежде чем производить дальнейшие вычисления, сделаем одно замечание. Как известно из электродинамики, правильная теория должна обладать свойством градиентной инвариантности. В статическом случае это сводится к инвариантности уравнений относительно преобразования Л— -Л + Тф, где ф—любая скалярная функция. Связано это с тем, что физический смысл имеет только магнитное поле Я = rot Л. Если же фурье-компонента векторного потенциала явно входит в уравнения, то допустимой является лишь комбинация [c.310]

Зависимость энергии от разности фаз может быть понята следующим образом. Пусть приложено магнитное поле, параллельное плоскости контакта, которое описывается векторным потенциалом А. Из условия градиентной инвариантности вытекает, что [c.457]

Если р х) — градиентное векторное поле с гармоническим потенциалом р, для которого X = о — вырожденная критическая точка, два первых гиага первого метода Ляпунова могут быть выполнены следующим образом. Пусть разложение Маклорена функции ( х) начинается с членов порядка ш + 1, ш 2, ( х) = —. .. Тогда укороченная однородная система имеет вид [c.94]

Индекс градиентного векторного поля. Функц. анализ н его прил.,. 1984, 18, № 1, 7—12 [c.239]

В 1969 г. Р. Том [224] анонсировал классификацию бифур-щий фазовых портретов в типичных 4-параметрических се-ействах градиентных векторных полей в пространствах лю-)го числа измерений ( теорема Тома о 7 элементарных ка-1строфах ). [c.123]

Рассмотрим индекс Пуанкаре градиентного векторного поля вещественнозначной гладкой функции от 2т переменных в критической точке. Этот индекс мажорируется средним числом Ходжа смешанной структуры Ходжа, ассоциированной с единичным собственным значением оператора монодромии [34], [c.36]

Основная относящаяся сюда теорема заклк чается в том, что криволинейный интеграл ( ) не зависит от пути интегрирования, т. е. векторное поле является градиентным в том и только в том случае, если диференциальный трехчлен Xdx- - У dy- -Zdz есть полный диференциал некоторой функции и, т. е. если имеет место тождество [c.382]

Если векторное поле У соленоидально, т. е. уУ = О, то для этого поля можно ввести векторный потенциал А, такой, что У = [у 1, при этом А определён с точностью до градиента произвольной ф-цин (градиентная инвариантность). В общем случае любое векторное поле представляется суммой потенциального и соле-ноидального полей. [c.89]

В этом последнем рассуждении мы не случайно использовали выражение для спектра колебаний только модуля параметра порядка, но не его фазы. Дело в том, что при взаимодействии скалярного поля с градиентно-инвариантным векторным полем (это означает физическую неразличимость полей А и Л + УФ, где Ф — некоторая функция) частица Голдстоуна становится нефизической и может быть устранена градиентным преобразованием. В самом деле, выбирая функцию Ф равной /е, можно после подстановки (15) полностью исключить фазу в параметра порядка из лагранжиана (18) ). [c.188]

Теорема (Б. А. Хесин [88], [89]). Типичное трехпарамет-рическое семейство градиентных систем векторных полей на плоскости, имеющее при нулевом значении параметра особую гочку 04, локально эквивалентно семейству градиентов функций одного из семейств [c.129]

Ряд М. к. э. наблюдается в сверхпроводящих металлах. Поскольку электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, в одном квантовом состоянии не может находиться больше одного электрона. Однако при переходе в сверхпроводящее состояние в металле образуются пары из двух электронов с противополож-ныаш импульсами и спинами — т. н. куперовские пары. Эти дары, являющиеся бозонами, ниже точки перехода находятся в состоянии бозе-конденсации и характеризуются макроскопич. волновой ф-цией фо = = ф 1ехр(гос). Для описания М. к. э. в свмхпровод-никах существенно поведение фо при калибровочных (градиентных) преобразованиях векторного А и скалярного ф потенциалов эл.-магн. поля. Волновая ф-ция пары ведёт себя при этих преобразованиях как волновая ф-ция частицы с зарядом 2е (е — заряд электрона). Соответственно никакие имеющие прямой физ. смысл величины не должны меняться при след, преобразовании А, Ц) и фазы волновой ф-ции а [c.30]

Свободная энергия должна зависеть только от магнитного поля она не должна меняться, если к векторному потенциалу добавить градиент некоторой функции координат (поскольку ротор от него обращается в нуль). Это просто означает, что свободная энергия должна быть градиентно инвариантной. Градиентная инвариантность обычного уравнения Шредингера достигается тем, что к градиенту добавляется величина 1еА1Ьс, где е — абсолютная величина заряда электрона. Гинзбург и Ландау нменно так и поступили, хотя теперь ясно, что градиентная инвариантность не нарушится, если даже вместо коэффициента е1Ис взять другую величину Это можно сделать, заменив заряд электрона —е на эффективный заряд д. Теперь установлено, что д = —2е, где множитель 2 появляется вследствие условия спаривания, следующего из микроскопической теории. Мы, однако, сохраним общую форму с д. Таким образом, плотность сво(5одной энергии [c.590]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...