Группа Кокстера

Ее граф Кокстера получается из графа л) отбрасыванием одной вершины. Этот случай отличается от общего тем, что все линейно независимые векторы из Д удовлетворяют условию (4.7). Если все коэффициенты V отличны от нуля, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.10) не имеют дополнительного интеграла, степень которого не превышает шести число 6 выбрано не случайно — это ранг группы Кокстера, порожденной отражениями относительно векторов из спектра Д. Отметим, что в остальных интегрируемых системах с двумя степенями свободы степень дополнительного полиномиального интеграла равна именно рангу соответствующей группы Кокстера. [c.394]

Теорема 1. Пусть 7+—фундаментальная область конечной группы Кокстера. [c.27]

Кояечность группы Кокстера эквивалентна предположению, что все двугранные углы кьмеры У +являются целыми частями л, т. е. равны п т, т=1, 2,. .. (см. [461). [c.27]

При п = 2 теорема 1 допускает уточнение. В атом случае группа Кокстера является диэдральной группой порядка 2т, где т = я/ б , б — угол между прямыми Г1 и Гг- Оказывается, [c.28]

Доказательство основано на простом соображении в этом случае группа Кокстера коммутативна, причем отражения s относительно Г/ коммутируют с преобразованиями [c.30]

Простые и клейновы особенности. Имеется замечательная связь между классификацией простых особенностей, классификацией правильных многогранников в трехмерном пространстве и классификацией групп Кокстера А , D , Е . Хотя совпадение этих классификгщий получается только при сравнений независимо доказанных классификационных теорем, оно несомненно имеет намного более глубокую природу, чем простое совпадение списков. [c.27]

Имеется ряд конструкций, позволяющих сопоставлять объекты этих классификаций. В следующей главе будет показано, что группа монодромни простой особенности совпадает с соответствующей группой Кокстера, а бифуркационная диаграмма нулей изоморфна многообразию нерегулярных орбит группы Кокстера. В настоящем пункте описывается, как простые особенности возникают из групп правильных многогранников в R [247], [333]. [c.27]

Заметим, что эти графы — в точности диаграммы Дынкина соответствующих групп Кокстера (см. 2.5). [c.29]

Для случая простой особенности, главное отображение периодов отождествляет базу версальной деформации с вложенной в нее бифуркационной диаграммой 2 с пространством орбит соответствующей группы Кокстера и вложенной в него гиперповерхностью нерегулярных орбит (п. 5.6). [c.107]

Рассмотрим конечную неприводимую группу W, порожденную отражениями в К (такие группы мы будем называть группами Кокстера). Каждое отражение 546 определяет зеркало Ни множество всех зеркал разбивает Я на области, которые называются камерами группы Зафиксируем одну из камера С и для каждого зеркала выберем то из полупространств, на которые зеркало разбивает Я , которое содержит камеру С. Пусть Ни. .., Як — минимальный набор зеркал такой,, что пересечение соответствующих им полупространств совпадает с С. Тогда зеркала Ни.., ,Нк называются стенками камеры С. [c.126]

Сворачивание инвариантов группы Кокстера. Пусть — группа Кокстера, действующая на комплексификации О евклидова пространства Скалярное произведение < , > на , инвариантное относительно определяет изоморфизм [c.132]

Явный вид сворачивания инвариантов групп Кокстера получен в работах [3], [141], [69]. [c.133]

Точно так же, как полная алгебра полей, сохраняющих 2(1 ), описывается сворачиванием инвариантов группы Кокстера, конечномерная алгебра линейных векторных полей выражается через операцию линеаризованного сворачивания инвариантов Фо Т хТ - Т [c.134]

Замечание. Всякая группа Вейля является группой Кокстера, но не наоборот. [c.135]

Оказывается, операция линеаризованного сворачивания инвариантов группы Кокстера просто выражается через операцию умножения в локальной градуированной алгебре Qf соответствующей особенности. [c.138]

Многообразие с краем — это гладкое (вещественное или комплексное) многообразие. с фиксированной гиперповерхностью. Две функции на многообразии с краем считаются эквивалентными, если одна переходит в другую при диффеоморфизме многообразия, переводящем край в себя. Классификация функций на многообразии с краем тесно связана с группами Ли Bh, ft, 4, Gz, и группами Кокстера Яз, h p), диаграммы Дынкина которых имеют кратные ребра [112]. а связь аналогична связи, наблюдающейся между группами Л , >л, Ек и особенностями функций на гладких многообразиях без рая [22, 2.5]. [c.10]

Оба модуля — свободные. Для простых функций указанный базис, вообще говоря, отличен от получающегося через сворачивание инвариантов групп Кокстера [22, п. 2.5.7], [c.88]

Отметим, что лагранжева теория дает самый хороший из известных списков простых особенностей. Ои возникает в задаче о классификации ростков устойчивых лагранжевых отображений (особых) многообразий, локально диффеоморфных прямым произведениям (особых) кривых. Оказывается, простые особенности в этом случае находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с неприводимыми группами Кокстера ([22, п. 2.5.1] график многозначной производящей функции такого ростка диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы (см. статью А. Б. Гивенталя в (86]). [c.101]

Техника, на которую опирается изучение особенностей систем лучей, каустик, волновых фронтов и других объектов, связанных с геометрической оптикой и вариационным исчислением, идёт из симплек-тйческой и контактной геометрии. Симплектический анализ работы О.П.Щербака привёл А.Б.Гивенталя [8] к открытию задачи классификации волновых фронтов, решения которой юаимно однозначно соответствуют конечным группам Кокстера, порождённым евклидовыми отражениями. [c.4]

Этот результат справедлив также и для некристаллографических групп Кокстера (дискриминантами которых являются бифуркационные диаграммы соответствующих задач геометрии лучей и фронтов об этом будет сказано ниже, в главе 7). [c.134]

Задача. Найти обобщение кристаллографических групп Кокстера для этой конструкции с башнями (ответ, по-видимому, будет включать список башен, соответствующих простым проектированиям кривых). [c.181]

Группа Кокстера Н4 не является кристаллографической она не сохраняет никакую решётку в евклидовом 4-пространстве. Тем не менее, она связана с решёткой Е , из которой может быть сконструирована следующим образом. [c.250]

Замечание. Другие некристаллографические группы Кокстера могут быть определены подобной конструкцией сворачивания других диаграмм Дынкина, показанной на рис. 110 А4 —> Н2, б —> [c.251]

Дискриминанты неприводимых кристаллографических групп Кокстера являются фронтами соответствующих лежандровых особенностей (см. 3.2). Эта связь была расширена на некристаллографические группы Гивенталем [8]. Начнём со следующего обобщения теории Ляшко-Лойенги. [c.254]

Рассмотрим голоморфное векторное поле на пространстве орбит неприводимой группы Кокстера. Дискриминант является особой гиперповерхностью в этом пространстве. Его касательная плоскость в нуле определена уравнением dt = О, где — базисный инвариант наивысшей степени Л. Эта степень к называется числом Кокстера. [c.254]

Теорема 4 (О.В.Ляшко [159], А.Б.Гивенталь [8]). Высшие группы го-мотопий дополнения бифуркационной диаграммы функций неприводимой группы Кокстера тривиальны, тогда как фундаментальная группа является подгруппой конечного индекса в группе кос из к нитей. Индекс этой подгруппы равен [c.254]

Теорема 5 (А.Б.Гивенталь). Лагранжева проекция лагранжева мно-гообразил, соответствующего группе Кокстера, проста. Соответствующее лагранжево многообразие диффеоморфно произведению кривой р = д на гладкое многообразие, г определяется из следующей таблицы [c.255]

И обратно, любая простая лагранжева проекция лагранжева мно-гообразия, диффеоморфного произведению плоских кривых, локально эквивалентна проекции, порождённой группой Кокстера или её тривиальной надстройке). [c.255]

Гамильтоново векторное поле 151 Гипотеза Ньютона 12 Гироскопическая сила 33 Граф Кокстера 114 Группа диэдральная 28 [c.167]

Это вложение будем называть минимальным, имея в виду, что число мультиплетов при других способах вложения Л] в всегда больше ранга . (Имеются и другие названия для него, как-то главное, максимальное и т. п. в зависимости от тех или иных его характеристик, принятых за основу. Нам представляется предпочтительным термин минимальное .) Отметим, что спектр значений I углового момента для минимального вложения совпадает с показателями собственных значений ехр 2яЯу/с преобразования (О = (01. .. (Ог группы Вейля где с — порядок элемента ю (число Кокстера). [c.44]

Геометрия камеры группы полностью определяется графом Кокстера, вершины которого соответствуют стенкам камеры. Две вершины соединены ребром кратности к, если угол между соответствующими стенками равен я/ . Группы с одинаковыми графами Кокстера изоморфны. [c.127]

Граф Кокстера этой группы состоит из двух вершин, соединенных ребром кратности р (рис. 37). [c.127]

Кокстера этой группы имеет вид [c.128]

Теорема. — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, в том и только том случае, когда ее граф Кокстера изоморфен одному из следующих графов [c.128]

Произведение Ь=31-32... набора отражений в стенках одной из камер группы №" называется преобразованием Кокстера. [c.128]

Пример. Для группы W типа преобразование Кокстера Н является произведением отражений 54, соответствующих транспозициям (1,14-1) в группе перестановок. Произведение 51 ... 5 определяется циклической подстановкой. [c.128]

Теорема. (1) Все преобразования Кокстера сопряжены в группе , [c.129]

Число й1 называется числом Кокстера группы Ш, числа [c.129]

Теорема ( [13]). Пусть f — одна из простых особенностей типа Afi, D Е . Тогда множество исчезающих циклов в гомологиях неосо бого слоя Я -1 (V., R) является системой корней R того же типа, группа монодромии Г совпадает с группой Вейля W(R). Оператор классической монодромии h я вляется преобразованием Кокстера в группе W, его собственные значения exp(2nimj/ A ) определяются показателями ТП) группы Вейля W R). [c.137]

Теорема (Делань). >На>бор элементов Аь.. .,Дц системы корней R является отмеченным базисом исчезающих циклов соответствующей простой особенности в том и только том случае, когда произведение соответствующих им отражений Si ..Sn в группе Вейля W R) является элементом Кокстера h оператора классической монодромии. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...