Теория Морса

Важной сферой применения теории гомологий является вариационное исчисление в целом (этот раздел Т. называют теорией Морса). Удаётся выводить существование решений вариационных задач на многообразии из информации о его гомологиях. Обобщение теории Морса на многозначные функционалы найдено в [10] (см. также [3]). [c.147]

Пусть k — количество критических точек функции h индекса к. Из теории Морса известны следующие соотношения (см., например, [54, гл. II]) [c.229]

Согласно теории Морса, в [c.239]

Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем /, ДАН СССР, -1986, т, 287, 5, 1071-107.5. [c.423]

Так, например, рассмотрим тор с некоторой римановой метрикой. Среди всех замкнутых кривых на Г , делающих т оборотов но параллели и п по меридиану, существует кривая кратчайшей длины (рис. 191). Эта кривая — замкнутая геодезическая (доказательство см. в книгах по вариационному исчислению в целом или теории Морса ). [c.218]

Гладкая функция на п-мерном торе имеет не менее 2" критических точек, считая кратности, в том числе не менее п -Ь 1 геометрически различных (см., например, М и л н о р. Теория Морса.— М. Мир, 1965). [c.389]

Критические точки функций, теория Морса и динамика [c.342]

Изучение критических точек функций в конечно- или бесконечномерном пространстве имеет два аспекта 1) локальный — описание типов и устойчивости изолированных критических точек 2) глобальный, называемый иногда теорией Морса, — описание взаимосвязей между глобальными топологическими свойствами пространства и структурой критических точек функций, заданных на этом пространстве. [c.342]

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИЙ, ТЕОРИЯ МОРСА И ДИНАМИКА 343 [c.343]

Среди других фундаментальных результатов конечномерной теории Морса следует упомянуть следствие 8.6.7, а также утверждение о том, что любая гладкая функция на любом компактном многообразии, отличном от сферы, имеет по крайней мере три критических точки. [c.344]

Эта теорема представляет собой первый пример того, как вариационные методы позволяют найти бесконечно много периодических орбит. Ранее мы встречались с ситуациями, когда бесконечное множество периодических орбит удавалось найти, используя гиперболичность (следствие 6.4.19) или определенные сведения из топологии (следствие 8.6.11, следствие 8.6.12, теорема 8.7,1). Позднее мы сможем использовать вариационные методы для получения бесконечного множества орбит в других ситуациях, а именно для геодезических потоков, когда будет найдено бесконечно много замкнутых геодезических (теорема 9.5.10), а также большие множества минимальных геодезических (теорема 9.6.7). Доказательство теоремы 9.3.7 интересно также тем, что, оказывается, нахождение критических точек с помощью вариационных методов представляет собой не вполне тривиальную задачу и использует некоторые топологические соображения. В то время как построение первой периодической орбиты использует достаточно грубый (хотя и нетривиальный) поиск минимума некоторого функционала действия, построение второй базируется на сочетании вариационных методов с дифференциальной топологией в форме простой теории Морса или соображений [c.362]

Первая глава книги [205] представляет собой превосходное изложение конечномерной теории Морса. [c.730]

Хорошо известно, что критические точки гладких функций тоже могут быть вырожденными или невырожденными. Важность этих понятий особенно хорошо видна в теории Морса 116]. [c.67]

Теория Морса исследует перестройки множества уровня / (х) вещественной функции f на многообразии при [c.52]

Если зафиксировать малую окружность вокруг критического значения, каждой точке окружности соответствует неособое многообразие уровня функции. Множество всех таких уровней образует расслоение над окружностью. Обход вдоль окружности определяет отображение гомологий слоя этого расслоения в себя. Это отображение называется монодромией, соответствующей критическому значению особенности. Оно н является аналогом перестройки в теории Морса. [c.52]

Простейшим примером является теория Морса, связывающая критические точки функций на многообразии с топологией этого многообразия. Лагранжевы и лежандровы многообразия в некотором смысле являются обобщениями функций (а именно многозначных функций). Таким образом, лагранжева и лежандрова топология является, в некотором смысле, обобщением теории Морса на многозначные функции. В этой главе мы опишем лагранжевы и лежандровы кобордизмы (проявляющиеся в геометрической оптике как соотношения между волновым полем в области и его следом на границе этой области). Инвариантами этих кобордизмов являются лагранжевы и лежандровы характеристические числа, определённые соответствующими характеристическими классами когомологий. [c.113]

Наш обзор, естественно, является неполным. Мы не включили в него, сравнительно немногочисленные, работы о локальных бифуркациях в трехпараметрических семействах и о нелокальных бифуркациях в двупараметрических семействах некоторые ссылки даны в списке литературы. В описании нелокальных бифуркаций мы ограничились только теми, которые происходят на границе множества систем Морса—Смейла. Теория таких бифуркаций в значительной части завершена, хотя и недостаточно широко известна посвященные ей работы математиков Горьковской школы зачастую публиковались в труднодоступных источниках. Не исследована та часть границы множества систем Морса—Смейла, на которой возникает счетное множество неблуждающих траекторий этой проблеме посвящен 7 гла-чы 3. Для сохранения единства стиля мы формулируем известные результаты зачастую не в том виде, как в первоисточниках. [c.11]

Милнор Дж. Теория Морса. — М. Мир, 1965. [c.295]

Л1,..., Лп-1 тос1 2тг , то она имеет по меньшей мере п различных критических точек правда, они могут оказаться вырожденными. В типичной ситуации все критические точки к невырождены. Из теории Морса известно, что в этом случае число различных критических точек не меньше При п = 2 это максимум и [c.227]

В этом добавлении определяется риманова кривизна и кратко обсуждаются свойства геодезических на многообразиях отрицательной кривизны. Дальнейшие сведения о римановой кривизн можно найти в книге М и л н о р Дж. Теория Морса.— М. Мир, 1965, а о геодезических на многообразиях отрицательной кривизны — в книге А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стек-лова.— М., 1967. [c.266]

Индекс Морса отрезка геодезической, равный числу сопряженных началу точек, играет важную роль в вариационном исчислении. А именно, рассмотрим второй дифференциал действия как квадратичную форму на пространстве вариаций изучаемой геодезической (с закрепленными концами). Тогда отрицательный индекс инерции этой квадратичной формы равен индексу Морса (см., например, Милнор Дж. Теория Морса.—М. Мир, 1965). [c.411]

Книга посвящена математическим аспектам теории динамических систем биллиардного типа. Начиная с работ Дж. Биркгофа, биллиарды являются популярной темой исследования, где естественным образом переплетаются различные сюжеты из эргоди-ческой теории, теории Морса, КАМ-теории и т. д. С другой стороны, биллиардные системы замечательны еще и тем, что естественно возникают в ряде важных задач механики и физики (виброударные системы, дифракция коротких волн и др.). [c.4]

Д. Милнор. Теория Морса. M. Мир, 1965. [c.104]

Было бы очень интересным комплексифицировать теорию гомологий, а также подход с помощью параметрической теории Морса к обобщённым группам Уайтхеда, основанный на стратификации пространства вещественных функций. [c.133]

Казарян М. Э. Относительная теория Морса однородных расслоений и циклические гомологии. Функцион. анализ и его прил. 1996 (в печати). [c.330]

А. III. 3.2. Замечание. В предложении А. III. 2.2 мы предполагали, что проекция я имеет ранг 1, и потому мы обязаны исключить из рассмотрения критические значения, которые может иметь сама проекция я. Эти критические значения обладают тем свойством, что вещественные слон Yt, определенные по разные стороны от них, имеют различные гомотопические типы (теория Морса [25]). Поэтому неудивительно, еслн эти критические значения окажутся непреодолимыми с точки зрения почти вещественных интегралов, т. е. если вещественные слон, определенные по разные стороны, не будут связаны никаким комплексным обходом (рнс. 46). Чтобы уточнить эту мысль, рассмотрим невырожденную квадратичную критическую точку индекса k. Забывая о наличии подмногообразий S., можно поставить задачу о том, чтобы связать классы гомологий ht Hn(Yt), определенные вещественными слоями по разные стороны критического значения, с помощью малого комплексного обхода. Эта задача, очевидно, инвариантна по отношению к комплексному сопряжению если такой обход существует, то комплексно сопряженный обход также приведет к целн. Следовательно, классы гомологий ht [c.134]

О теории критических точек. См., например, Милнор Дж. Теория Морса. М. Мир, 1965. [c.142]

Имя Джона Милнора хорошо известно нескольким поколениям математиков, имеющих отношение к геометрии и топологии. Его перу принадлежат несколько монографий, по которым вот уже три десятилетия в университетах всего мира изучаются теория Морса, характеристические классы, /i-кобордизмы, особые точки комплексных гиперповерхностей и другие разделы современной математики. [c.7]

Разработка общей топологической теории гладких динамических систем. Основные приш],ипиально важные результаты здесь получены С. Смейлом и его последователями [6—9, 39—40, 175, 295, 330—332, 653]. В этих работах был выделен класс динамических систем типа Морса — Смейла, которые являются прямым многомерным аналогом грубых систем в смысле Андронова — Понтрягина [20]. Единственными их установившимися движениями могут быть только состояния равновесия и периоди- [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...