Плоская и сферическая геометрии

ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИИ [c.25]

В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, но для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра. [c.67]

Описанные выше методы для плоской и сферической геометрий можно распространить на случай произвольной геометрии. Основные детали такого обобщения приводятся ниже. Более подробные сведения можно получить в работе [23]. [c.185]

Нижеследующая сводка формул для оценки распределения температуры Т п термоупругих напряжений о в элементах реактора получена при решении частных стационарных задач теории теплопроводности и упругости для плоской, цилиндрической и сферической геометрии. Обозначения даны на рисунках. [c.129]

Особенность плоского и сферического резонаторов состоит в том, что они слабо устойчивы, т. е. любое небольшое отклонение их геометрии от идеальной сразу же делает их неустойчивыми. [c.497]

Основным понятием, которым мы оперировали на протяжении всего курса, служила плоская (или сферическая) волна. В данной главе выяснилось, что применительно к оптическим квантовым генераторам более адекватным физическим образом является совокупность когерентных между собою волн, удовлетворяющая требованиям принципа цикличности. Такая совокупность, характеризующаяся определенными частотой, поляризацией и стационарной геометрической конфигурацией, носит название типа колебаний резонатора ). В резонаторе, образованном плоскими зеркалами, типом колебаний служит стоячая волна (229.8), в случае резонатора со сферическими зеркалами, — стоячая волна, состоящая из двух гауссовых пучков, распространяющихся навстречу друг другу, волновые фронты которых совпадают с поверхностями зеркал. В других случаях конфигурация поля будет иной, характерной для каждой конкретной геометрии резонатора. [c.809]

Вылет ядер отдачи. Приводимые ниже формулы для скорости выхода ядер отдачи с единицы поверхности твердой стенки в плоской [8] и сферической [9] геометриях получены в предположении, что скорость образования ядер отдачи постоянна по объему стенки и вылет ядер изотропен. [c.130]

Сферическая геометрия. В этом случае все величины зависят от расстояния от начала координат г, а интенсивность — еще и от угла О между лучом и радиальным направлением. В отличие от случая плоской геометрии, при которой вектор направления, а значит, и угол 9 вдоль луча постоянны, при сферической геометрии радиальное направление изменяет свой угол с направлением луча, если только сам луч не радиальный- Очевидно, что вдоль луча 3 — г os в, а произведение г sin = Го постоянно, т. е. является интегралом уравнения переноса. Выразим производную по s через производные по г и Для этого свяжем новые переменные с з [c.17]

Во встречающихся на практике многогрупповых задачах рассеяние, как правило, анизотропно, поэтому необходимо изучить влияние такого рассеяния на решение уравнения переноса. Как и прежде, рассмотрим плоскую геометрию, хотя во многих отношениях сферическая геометрия также проста. [c.79]

В сферической геометрии условия в начале координат должны быть введены вместо одного из граничных условий для плоской геометрии. Для сферической геометрии требуемые условия можно вывести из уравнения (3.40), интегрируя его по л от О до гц2. Таким методом получается соотношение, содержаш,ее только фо и фх. Его можно написать в виде уравнения (3.41), полагая фи-г — О и Лй /2 = 0. [c.113]

Из уравнения (2.57) следует, что как в плоской, так и в сферической геометрии Рх-приближение эквивалентно предположению, что [c.114]

В криволинейных геометриях суш,ествуют выделенные направления, вдоль которых угловые переменные не меняются при перемеш,е-ниях нейтронов. Для сферической геометрии эти направления имеют место при х= —1 и х= +1, в зависимости оттого, как направлено движение нейтронов— по прямой к центру или от центра соответственно. Для этих значений х коэффициент (1 — х )/л перед Ф/ х в уравнении (5.15) равен нулю,и для известных значений источника д уравнение можно решить точно, как в плоской геометрии [в начале координат нейтрон может скачкообразно изменить направление своего движения от ц = —1 до х = 1, однако это можно интерпретировать с помощью условия симметрии (см. разд. 5.3.4)]. В криволинейной геометрии решения в этих выделенных направлениях можно применять в качестве граничных условий на угловую зависимость потока нейтронов, однако они обычно не используются при оценке интегралов для определения членов источника. На практике в сферической геометрии обычно рассчитывают Ф (л1,—1) с учетом граничных условий на внешнем радиусе, интегрируя уравнение (5.15) численно в предположении, что источник д (г, х) известен. [c.179]

Критические размеры голых сфер рассчитывались также методом дискретных ординат с направлениями и весовыми множителями, определенными двумя различными квадратурными формулами Гаусса для интервалов —1 < О и О х < 1 [22]. Метод, эквивалентный двойному Рл/-приближению, который дает столь хорошие результаты в плоской геометрии (см. табл. 5.2), обеспечивает небольшое, если вообще какое-нибудь, улучшение результатов, полученных с использованием единственной квадратурной формулы на всем интервале — 1 1. Это происходит, по-видимому, из-з ( того, что в сферической геометрии поток непрерывен при х = О, как отмечалось в разд. 3.5.1. [c.185]

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью наше положение определяется положением Земли, и мы еш,е не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве [c.27]

Рис. 9.61. Геометрия контакта двух тел а) сферического и полупространства с плоской поверхностью б) сферического тела с бесконечным телом со сферической полостью.

Под телами сложной геометрии здесь понимаются упругие тела, имеющие угловые линии или точки пространственный клин (двугранный угол), плоский клин, конус, сферическая линза (образованная пересечением двух сфер) и т.п. [c.181]

Чтобы получить в явном виде уравнения световых лучей в сферически симметричной среде, вспомним из элементарной геометрии, что если г, 9) — полярные координаты, то угол ср между радиусом-вектором точки Р иа плоской кривой и касательной в этой точке дается соотношением (см., например, (261) [c.128]

Для сферической области граничные условия свободной поверхности можно обеспечить, как и в плоской геометрии, вводя (1/2)(Л/ 1) условий для Рл/-приближения. Недостающие условия должны быть определены в начале координат, т. е. в центре сферы. Требуется, чтобы поток нейтронов в начале координат был ограничен, следовательно, коэффициенты ф (0) должны быть ограниченными для п = О, 1, 2,. .., N в Рл/-приближении. Можно показать, что это требование обеспечивает дополнительные N + 1)/2 условия [91. [c.112]

Рассмотренные до спх пор плоская и сферическая геометрии являются уникальными в том смысле, что в них всегда имеется некоторое выделенное направление в пространстве, т. е. х или г, и поток нейтронов не зависит от вращений вокруг этого направления. Другими словами, распределение потока нейтронов обладает азимутальной симметрией. Таким образом, для этих двух геометрий угловая зависимость (й) потока нейтронов может быть определена только одной переменной .1. В любой другой геометрии угловое распределение нейтронов не будет обладать азимутальной симметрией, и поэтому для представления угловой зависимости необходилю иметь дополнительную переменную. Примеры выбора переменных для различных геометрий даны в приложении к гл. 1. Однако всегда существует возможность разложить поток нейтронов в ряд по сферическим гармоникам. [c.113]

Хотя разностные уравнения были выведены здесь для диффузионного приближения, аналогичные уравнения можно легко получить н для Р1-прибли-ження. Когда диффузионное или Р -приближение оказывается недостаточным для представления угловой зависимости потока нейтронов, то можно использовать более общие разложения в методе сферических гармоник. Их применение к плоской и сферической геометриям уже было рассмотрено, а для цилиндрической геометрии описано в разд. 3.6.2. Для более сложных геометрий методы сферических гармоник оказываются настолько сложными, что обычно используются другие, особенно метод дискретных ординат (см. гл. 5) и метод А1онте-Карло. [c.123]

Superfinishing — Суперфиниширование. Процесс абразивной обработки, использующий прикрепленный изогнутый камень для хонингования цилиндрических заготовок или чашеобразный шлифовальный круг для плоских и сферических заготовок. Между заготовкой и абразивом большая площадь контакта, около 30 %. На стадии суперфиниширования должны быть удалены мелкие частицы и исправлены такие отклонения в геометрии, как следы от шлифовального круга и следы вибрации. Также известно как Mi rohoning — Микрохонингование. [c.1057]

Этот результат справедлив для плоской п сферической геометрий, и можгю доказать, проводя разложение в ряд по сферическим гармоникам, что он представляет собой Рх-приближение для потока нейтронов независимо ог геометрии. [c.114]

Эвклид создавал свои труды в Александрии в начале III в. до н. э. В своем первом математическом трактате он подвел итог предшествующему развитию древнегреческой математики. Создатель геометрической системы (евклидовой геометрии), на которой зэтем основывалась вся классическая физика. В трактатах Эвклида Оптика и Катоптрика изложены результаты его оптических исследований. Его геометрические построения теней и изображений в плоских зеркалах указывают на понимание прямолинейности световых лучей и равенства углов падения и отражения. Он исследовал отражение светового луча системой нескольких плоских зеркал. В своих трудах рассмотрел отражения света от плоских и сферических зеркал, привел теорему о равенстве углов издания и ртряжения, о симметричности предмета и изображения в плоском зеркале, о положении изо-бражения на одной прямой с предметом в сферических зеркалах и т. п. Все это дает основание считать Эвклида основоположником геометрической оптики. [c.13]

Общим для рассмотренных слутаев регистрации голограмм сфокусированных изображений является использование опорных волн от точечного источника - плоских или сферических. Однако для таких голограмм возможно применение более широкого класса опорных волн. В работе [25] Л. Роузен соо цил об осуществлении восстановления изо ажений с помощью сфокусированных голограмм, зарегистрированных с использованием протяженного опорного источника. Оказалось, что для таких голограмм отпадает необходимость в компенсации протяженности источника путем точного воспроизведения геометрии схемы регистрации [36—37J или использования других приемов [38]. Поэтому в качестве восстанавливающего пучка может быть использовано излучение 1фотяженного монохроматического источника. Эта возможность была продемонстрирована путем регистрации голограмм сфокусированных изобр ений диффузно отражающих объектов с помощью опорного пучка, рассеянного диффузором, и последующего восстановления изображений лазерным пучком при произвольной конфигурации схемы. [c.10]

ТРИГОНОМЕТРИЯ (греч. trigonon — треугольник, metreo — измеряю). Раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Различают плоскую или прямолинейную тригонометрию, изучающую плоские прямолинейные треугольники, и сферическую тригонометрию, изучающую сферические треугольники. [c.128]

Конечно-разностные уравнення можно вывести для сферической геометрии в основном теми же методами, что и для плоской. Расскют-рнм, например, уравнение (3.39). Тот факт, что это уравнение имеет дивергентный вид, оказывается здесь более важным, чем в плоской геометрии, как отмечалось в конце разд. 3.2.4. Если уравнение (3.39) умножнть на 4лл и проинтегрировать по г от л /2 до / /4+1/2, то в результате получим [c.113]

Для односкоростной задачи в предположении, что а/ = О для / > 2, уравнения двойного Рл/-приближения могут быть получены в таком же виде, как и малогрупповые диффузионные уравнения (см. разд. 4.3.2), и решены таким же способом [23]. Другой метод решения очень похожих уравнений приводится в разд. 5.2.4. В некоторых примерах, приведенных в гл. 5, показано, что для плоской геометрии двойное Pi-приближение дает очень хорошие результаты, по крайней мере не худшие, чем Рд-приближение, и значительно лучшие, чем простое Pi-приближение. Установлено, что двойное Рл/-приближение оказывается очень полезным при изучении решеток, которые часто рассматриваются в плоской геометрии. Двойное Рл/-приближение используется также и в сферической геометрии [24], однако здесь оно не имеет особых преимуществ (см. разд. 5.3.2). [c.126]

В рамках метода дискретных ординат в сферической геометрии можно пользоваться любыми квадратурньши формулами и весовыми миолсителями, упомянутыми в связи с решениями задач в плоской геометрии, например гауссовыми квадратурами. Из результатов, представленных в табл. 5.3 [22] для критического радиуса голой сферы, выраженного в единицах средних длин свободного пробега, нетрудно получить некоторые сведения относительно точности, которую можно достичь в таких расчетах, используя квадратурную формулу и граничные условия Марка. Как и в табл. 5.2, пространственная сетка состояла из AN равных интервалов, где N — число дискретных направлений. В первоначальном 5д -методе N представляло собой число отрезков (см. разд. 5.3.1), однако в описанном здесь модифицированном методе — число направлений. [c.184]

В этой главе будет дано обоснование и уточнение законов геометрической опт ики. Будут рассматриваться лучевые поля, т. е, решения волнового ура В н ния, обладающие асимптотическими )азложения-ми специального вида — лучевыми разложениями. 1ер.вый член лучевого разложения представляет собой геометро-оптическое решение, а последующие — поправки к этому решению. После анализа лучевых разложений -в общем случае будет раюсмогрен, их вид для частных и наиболее употребительных типов волн плоской, цилиндрической и сферической, а также для тороидальной волны — аналога цилиндрической волны для осесимметричных задач. Затем эти результаты используются для уточнения второй группы законов ГО и решения простейших граничных задач, в которых не образуются дифракционные поля краевые волны и волны соскальзывания. [c.31]

Экспериментальное исследование естественной конвекции и факторов, ее определяющих, было проведено Н. Крауссольдом [113]. Им обобщены имевшиеся экспериментальные данные о естественной конвекции в ограниченном пространстве и получено, что начало конвекции (8>1) происходит при числах Яа>10 (рис. 3.1). Позднее М. А. Михеев [46] получил уравнение для расчета коэффициента конвекции в различных диапазонах чисел Ка. Согласно исследованиям Крауссольда — Михеева число Ка не зависит ни от геометрии слоя (плоский, цилиндрический, сферический), ни от его расположения (вертикальное или горизонтальное). [c.99]

Для определения коэффициента теплопроводности широко используются три метода, которые подразделяются в зависимости от геометрии создаваемого поля температур [79]. Тепловой поток тиожет быть направлен вдоль оси симметрии (плоские изотермы), по радиусу цилиндра (цилиндрические изотермы), по радиусу сферы (сферические изотермы) отсюда название установок, в которых эти методы реализуются, — плоские, цилиндрические и шаровые, Следует заметить, что применение шаровых приборов вносит трудности, связанные с расположением термопар по изотермически. поверхностям значительной кривизны. Описан [39] прибор, в котором шарообразный образец заменен образцом в виде вытянутого эллипсоида вращения. В этом случае значительно уменьшается кривизна изотермической поверхности. [c.124]

Геометрия рабочих элементов по фиг. 24, е рекомендуется главным образом для полирования сферических и плоских блоков диаметром менее 250 мм с обычным расположением деталей. Для изготовления шлифовальников всех размеров и болыннх полировальников реко мендуется шашечная геометрия рабочих элементов по фиг. 24, е. [c.752]

В однородной изотропной бесконечно протяжённой твёрдой среде могут распространяться У. в. только двух типов — продольные и сдвиговые. В продольных У. в. движение частиц параллельно направлению распространения волны, а деформаций представляет собой комбинацию всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига, В сдвиговых eo. iiiax движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, а деформация является чистым сдвигом. В безграничной среде распространяются продольные и сдвиговые волны трёх типов—плоские, сферические и цилиндрические. Их особенность—независимость фазовой и групповой скоростей от амплитуды и геометрии волны. Фазовая скорость продольных волн [c.233]

Затем решается система уравнений (3.79), из которой находятся функции распределения компонент поля типов колебаний, их потери энергии за один полный проход резонатора, равные А = 1 —1Лр, и дополнрггельный к геометрическому фазовый набег за полный обход резонатора, равный arg Л. Основные выводы, полученные по анализу расчетов волноводных резонаторов с различными геометриями сферических зеркал (вогнутые, выпуклые, плоские), следующие. [c.167]

В гл. 7 будет показано, что если в качестве опорной используется одна и та же плоская волна как для записи голограммы, так и для восстановления голографического изображения, то воспроизводится точный исходный волновой фронт и изображение оказывается свободным от каких-либо аберраций. Однако если при восстановлении изображения намеренно (например, для обеспечения увеличения) или ненамеренно изменяют либо длину волны, либо геометрию опорного пучка, то возникнут аберрации. Формулы для вычисления увеличения были получены в параксиальном приближении. При этом, за исключением искажения трехмерного изображения, обусловленного различием в значениях продольного и поперечного увеличений, в восстановленном изображении не должно возникать каких-либо иных аберраций. Однако, используя более точные формулы, можно показать, что аберрации возникают всякий раз, когда восстанавливающий пучок отличается от опорного, применявшегося при регистрации голограммы. Эти аберрации можно классифицировать по тем же признакам, что и в обычных системах формирования изображения, а именно сферическая аберрация, кома, кривизна поля, астигматизм и дисторсия [10, 9, 4, 6, 1]. [c.72]

Они обладают тем иреимуш,еством, что выходное излучение такого резонатора в геометро-оптическом приближении имеет плоский фазовый фронт и, следовательно, минимальную расходимость. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим сферическую волпу радиуса К, которая в геометро-оптическом приближении описывает моду неустойчивого резонатора ( 2.3). После обхода резонатора, согласно правилу AB D , радиус кривизны фазового фронта, без учета дей- [c.245]

Соотношение (3) всегда справедливо для изэнтропического движения. Кроме того, оно может быть вьпюлнено в силу специальной геометрии движения газа, когда поверхности уровня плотности и энтропии или давления совпадают (например, в одномерных движениях с плоски.ми, цилиндрическими или сферическими волнами). [c.102]

До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, мол<но использовать сферические координаты. Ниже показаь о, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Рх-приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...