Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Идею правила Рунге можно применять также для получения оценок погрешностей решений дифференциальных уравнений. В частности, на ее основе выводится приведенная в главе 1 формула (1.60) для полной погрешности численного решения обыкновенного дифференциального уравнения, в которой используются два численных решения, полученные на сетках разной густоты. При решении многих сложных задач такой путь оценки погрешности численного решения — единственно возможный. [c.63]

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений [c.268]

Численное интегрирование. В небесной механике необходимо рассмотреть численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В наиболее распространенном случав, которому посвящена следующая глава, интегрируется система трех дифференциальных уравнений второго порядка, чтобы определить прямоугольные координаты планеты или кометы в функции времени. Этот раздел посвящен рассмотрению двух более простых примеров. [c.134]

В области, где решение имеет колеблющийся характер, применяют пошаговое интегрирование, а там, где решение имеет вид экспоненциальной функции, производят численное решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка конечно-разностными методами. В оболочке используют аналитический вид решения для составляющих полей. Дисперсионное уравнение получают из согласования решений в [c.27]

Система уравнений (1.5.9) -(1.5.11) вместе с граничными условиями (1.5.3)-(1.5.5) с учетом соотношения (1.5.7) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта, [c.37]

Система уравнений (2.6.13), (2.6.18), (2.6.19) вместе с граничными условиями (2.6.8) представляет собой замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта. Для вычисления диссипативных слагаемых входящих в правые части уравнений (2.6.13), (2.6.18) представим решение и(х, у) и с х, у) в виде [c.80]

Многие задачи тепло- и массообмена сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Примером таких задач являются рассмотренные в данном пособии задачи о течении Куэтта (в том числе многокомпонентной среды), о расчете пограничного слоя в автомодельном случае и др. При построении численного алгоритма решения уравнений в частных производных параболического типа (алгоритм рассмотрен ниже) задача также по существу сводится к последовательному решению на каждом шаге вдоль обтекаемой поверхности обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. [c.96]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

Выбор шага интегрирования и оценка погрешности численного решения. Обычно при реализации на ЭВМ большинства численных схем решения обыкновенных дифференциальных уравнений предусматривается автоматический выбор величины шага Ат для обеспечения определенной погрешности расчета. Этот выбор основан на оценке локальной погрешности численного решения на шаге, т. е. погрешности численного решения в точке Ty+j, оцениваемой в предположении, что в начале шага в момент времени xj значение искомой функции было известно точно. [c.36]

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М., 1979. [c.205]

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. М. Мир, 1979. [c.229]

Учтены изменения, вытекающие из ПТР (издания 1969 г.), в которых предусмотрено производство тяговых расчетов на электронных цифровых вычислительных машинах (ЭЦВМ). В главах 6 и 12 изложены некоторые численные методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются языком алгоритмов, наиболее приспособленных к тяговым расчетам на электронной машине рассмотрены примеры решения тяговых задач при помощи ЭЦВМ дано понятие о работе системы автоматического управления движения поезда (САУ — автомашиниста ) и моделирующей машины для тяговых расчетов. [c.4]

За последние годы на железных дорогах СССР широко стали применяться электронные машины. В результате появилась возможность решать на них тяговые задачи. Опыт применения электронных машин показал, что языком алгоритмов, наиболее приспособленных к тяговым расчетам на электронной машине, является язык приближенных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому в главе 6 излагаются некоторые численные методы, и они используются при изложении материала других разделов учебника. [c.209]

Замечание 3. Не следует забывать, что для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений на ограниченном интервале времени можно применять метод численного интегрирования. В частности, проводя численное интегрирование с различными начальными данными (iq, Ро <1о)> можно получить приближенное представление о поведении решений в некоторой области расширенного фазового пространства [c.341]

Мы изложим здесь графические методы решения задач газодинамики, имея в виду, что эти методы позволяют во многих случаях дать качественный анализ решения задач газодинамики, иногда помогают написанию аналитического решения. Графические методы характеристик играют важную роль в сверхзвуковой газодинамике, почти такую же, какую играют качественные методы для исследования решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Графические и численные решения задач потенциального течения сводятся к выполнению элементарных операций. [c.310]

Численное решение задачи Коши. Задачей Коши называется задача об определении решения обыкновенного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. [c.13]

Точное или приближенное (в том числе численное) решение нелинейных дифференциальных уравнений значительно упрощается, если преобразовать его в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. Эффективность некоторых таких преобразований была показана при рассмотрении вопроса о линеаризации нелинейного уравнения. Остановимся теперь на этом более подробно. [c.446]

Наиболее известным случаем приближенного решения уравнений Навье — Стокса являются решения уравнений пограничного слоя (Шлихтинг [1968]). Это могут быть аналитические решения, автомодельные решения, полученные численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, и, наконец, неавтомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим, что разница в рассмотрении уравнений пограничного слоя и полных уравнений Навье — Стокса состоит не только в пренебрежении диффузионными членами в направлении основного потока, но и в постановке граничных условий на внешней границе. [c.488]

В последнее время широкое распространение получили численные методы решения задач в газовой динамике. Фактически такой подход означает применение рационального приближения к рассматриваемой модели путем введения возмущения с малым параметром. В подтверждение сказанного рассмотрим решение обыкновенного дифференциального уравнения для скалярной функции. Пусть в области X > О имеем задачу отыскания решения "м" уравнения [c.22]

Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным образом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики функций F, G, —Н. Предельное значение функции Н при zi- oo равно —0,886 другими словами, скорость потока жидкости, текущего из бесконечности к диску, равна [c.112]

Вначале рассмотрены основные методы численного анализа интерполирование, численное интегрирование и дифференцирование. решение линейных и нелинейных уравнений и систем, решение начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти сведения позволят изучать материал последующих глав, не обращаясь к дополнительной литературе. [c.3]

Метод интегральных соотношений. Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений, предложенный в 1951 г. А. А. Дородницыным. С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.182]

Этот метод первоначально использовали для решения задач строительной механики затем он развился в общий численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Применительно к задачам газовой динамики его можно использовать для расчета течений несжимаемой и сжимаемой жидкости в дозвуковой и трансзвуковой областях. [c.196]

I.S. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.27]

Таким образом, запись какой-либо схемы для системы обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает дополнительных затруднений. Сложности могут возникнуть при ее численной реализации. Они обусловлены двумя обстоятельствами. Первое связано с необходимостью при применении неявных схем решения на каждом шаге систем алгебраических уравнений. Этот вопрос рассматривается в 1.6 на примере неявной схемы Эйлера для системы уравнений теплового баланса. [c.39]

Вторая особенность численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений связана с достаточно широким распространением в практических задачах особого класса систем, называемых жесткими. [c.39]

Основная идея метода прямых состоит в сведении решения краевой задачи для уравнения с частными производными к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В газовой динамике существует два численных метода, являющихся обобщением метода прямых метод интегральных соотношений Дородницына и метод Теленина, Эти методы используют в основном для решения внешних задач газовой динамики. [c.180]

Приближенные методы решения для установившихся потоков. Вообще проблемы пограничного слоя не могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Математически изящный метод решения уравнений двухмерного пограничного слоя в частных производных, предложенный впервые Блазиусом и развитый впоследствии К. Хейменцом и Л. Говардом, выражает распределение скорости степенным рядом по длине дуги вдоль границы с коэффициентами, представляющими универсальные функции ортогональных координат. Этот метод обладает тем преимуществом, что, раз затабулиро-вав универсальные функции, можно решать любые двухмерные проблемы с помощью только арифметических выкладок. Недостатком этого метода, однако, является то, что в случае медленной сходимости для получения точного решения требуется большее число универсальных функций, чем затабулировано. Тем не менее этот метод очень ценен для проверки точности других более простых методов с меньшим приближением и используется на практике для расчета первого участка ламинарного пограничного слоя, тогда как следующие по течению участки рассчитывают при помощи одного из имеющихся численных приемов получения последовательных изменений профиля пограничного слоя. Хотя эти методы являются действенными средствами решения проблем ламинарного пограничного слоя, ограниченность объема настоящей работы не позволяет изложить их здесь. Вместо этого рассмотрим метод решения, предложенный Вейгард-том, считающийся лучшим из известных методов. В этом методе дифференциальное уравнение- в частных производных также заменяется приблизительной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.312]

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качестве фазовых переменных фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, температуры, расходы и т. д. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимодействии между собой и внешней средой в электронных схемах или механических конструкциях. [c.146]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешенная относительно производных, т. е. F(v, v, /)=0. где v — вектор фазовых переменных t — время, независимая переменная F — вектор-функция v = dvldt. Подобную систему уравнений в общем случае можно решить только с помощью численных методов интегрирования, поскольку эта система высокого порядка и нелинейна. Результат решения ММ системы (ММС) — зависимости фазовых переменных от времени. [c.114]

Функции Шй (д ,) находятся из условия стационарности функционала J Iw), (j i)1, уравнениями Эйлера при этом будет система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно этих неизвестных функций. Решая эти уравнения точно или численно, что вполне доступно современным вычислительным средствам, получим приближенное решение рассматриваемой вариащ10нной задачи. [c.111]

НИИ точных или приближенных решений этих уравнений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения стрюится расчетная модель или расчетная схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной системе, может быть решена, если выбрана подходящая специальная система координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но в качестве разделов математики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.26]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]