Правило Рунге

Идею правила Рунге можно применять также для получения оценок погрешностей решений дифференциальных уравнений. В частности, на ее основе выводится приведенная в главе 1 формула (1.60) для полной погрешности численного решения обыкновенного дифференциального уравнения, в которой используются два численных решения, полученные на сетках разной густоты. При решении многих сложных задач такой путь оценки погрешности численного решения — единственно возможный. [c.63]

Для контроля точности счета применяют правило Рунге (правило двойного пересчета). Пусть /д — приближенное значение интеграла /, вычисленное по одной из приведенных формул с шагом h. Пусть I21, — то же с шагом 2ft. [c.122]

Опишем один из простейших подходов — правило Рунге правило двойного пересчета). Пусть значение решения в точке уже найдено. Тогда [c.144]

Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул [c.664]

Теоретические оценки остаточных членов квадратурных формул, приводившиеся выше, требуют составления и анализа производных подынтегральной функции. Применение этих оценок при конкретных вычислениях оказывается возможным лишь в редких случаях. Практически эффективным является следующий прием, носящий название правила Рунге (см. [3], [9]). [c.664]

Система уравнений (1.5.9) -(1.5.11) вместе с граничными условиями (1.5.3)-(1.5.5) с учетом соотношения (1.5.7) представляет замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта, [c.37]

Система уравнений (2.6.13), (2.6.18), (2.6.19) вместе с граничными условиями (2.6.8) представляет собой замкнутую систему уравнений, решение которой при известных правых частях можно получить одним из численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта. Для вычисления диссипативных слагаемых входящих в правые части уравнений (2.6.13), (2.6.18) представим решение и(х, у) и с х, у) в виде [c.80]

Метод Рунге—Кутта устойчив по отношению к ошибкам в начальных условиях и к искажениям в правой части уравнения, так как конечные изменения этих величин приводят к конечным изменениям в результатах вычислений, а не накапливаются при продвижении от шага к шагу. [c.103]

Если правая часть диференциального уравнения не зависит от у, то метод Рунге — Кутта приводится к правилу Симпсона для вычисления определённых интегралов (см. стр. 175). [c.236]

Интегрирование проводится по стандартной программе Рунге—Кутта. Частотные характеристики передаточных функций системы (8-7) по всем выходным координатам определяются в результате решения при единичном действительном возмущении л.г=1+Ю, которое поочередно задается на каждом из входов либо в качестве начального значения для соответствующей координаты Аг(0), б1>2(0), Л (0), А<(0), либо в правой части уравнений для возмущений 8Di и bq. При этом остальные входы—нулевые. [c.107]

Из нашего построения вытекает простой способ графического определения центра тяжести криволинейной трапеции. Для этого интервал Ах делят на три равные части. Правую точку деления т соединяют весовой линией тп с серединой отрезка аЬ, а зятем на высоте г/i - - .y проводят делительный луч Dd. Точка d укажет на положение линии пк, проходящей через центр тяжести криволинейной трапеции. К- Кульман, М. Леви, К- Рунге [31 ] и другие приводят построения для определения центра тяжести криволинейных трапеций, исходя из других, чисто геометрических соображений. Построение указанных авторов несколько сложнее нашего и менее наглядно обосновано с точки зрения самого физического смысла данной задачи. Довольно изящно эту задачу решает профессор Гентского университета П. Массо. [c.55]

В ходе расчетов, выполненных [17—19, 21, 23, 24, 30] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в настоящей монографии неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (7.2.21), (7.2.28) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба — величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [131, 256, 283]). Их устойчивое численное решение классическими явными методами Рунге — Кутта, Адамса и др. [41] возможно лишь при существенном ограничении на шаг интегрирования h [c.203]

В меньшей степени этот недостаток присущ методу Рунге— Кутта. Достаточно высокая точность вычислений, возможность вести интегрирование с переменным шагом являются достоинствами этого метода. Недостатком метода Рунге—Кутта является необходимость на каждом шаге интегрирования вычисления правых частей уравнений в четырех точках, что существенно увеличивает время решения задачи на ЭВМ. [c.158]

Теоретическую основу определения времен распространения волн в произвольно неоднородной среде составляют уравнение эйконала, принципы Гюйгенса и Ферма. Конкретные алгоритмы представлены численными решениями, которые можно сгруппировать в три класса трассирование лучей, интегрирование уравнения эйконала, и конструирование волновых фронтов. Вычислительный аппарат - как правило, метод конечных разностей, реже - методы конечных элементов или Рунге-Кутта. [c.23]

Для численного решения дифференциальных уравнений, описывающих свойства НЛП, удобно использовать специализированные (оптимальные по числу оценок правых частей уравнений) алгоритмы численного интегрирования систем линейных уравнений, хотя могут применяться и универсальные вычислительные схемы типа Адамса, Рунге — Кутта и т. д. [189]. [c.108]

Связь типа [у, j, как мы указывали, в чистом виде встречается лишь для высоких членов серий. Часто встречается промежуточный тип связи, для которого значения g отличаются от значений, соответствуюш,их [L, 5]- и [у, 71-связям. Тогда для каждого частного случая надо провести приближенный расчет. Расстояния между компонентами при этом не являются рациональными дробями от нормального расщепления (нарушается правило Рунге). В качестве общего правила может быть высказано следующее при отступлениях от рессель-саундерсовской схемы моменты и теряют физический смысл моменты ру приобретают смысл лишь в предельном случае [c.350]

Метод Мерсона требует пяти вычислений правой части уравнения (против четырех при использовании формулы (3.18)), но эти затраты окупаются тем, что можно без повторных расчетов сказать, достигнута ли нужная степень точности и, если нет, то при каком шаге она будет достигнута. Кроме того, следует отметить, что требуемый объем памяти вычислительной машины не превышает тот, который необходим для вычисления формул (3.18). Таким образом, по-видимому, метод Мерсона является наиболее эффективным вариантом метода Рунге—Кутта. [c.103]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Обратная матрица D может быть найдена, например, с использованием стандартной подпрограммы MINV (см. 1.3). Формирование матрицы А реализовано в приведенной выше подпрограмме (операторы 26—43). При использовании для решения системы (6.9) стандартной программы R KGS, реализующей метод Рунге — Кутта четвертого порядка (см. 1.5), вычисление правых частей, в том числе расчет РГ согласно (6.10), должно быть реализовано в составленной пользователем подпрограмме. [c.182]

Интегрирование системы дифференциальных уравнений рекомендуется проводить методом Рунге — Кутта четвертого порядка или методом Кутта — Мерсона. Для реализации указанного метода необходимо четырехкратное вычисление вектора f) правых частей системы дифференциальных уравнений на каждом временном шаге. Результат интегрирования — вектор (Z) переменных, определяемых системой дифференциальных уравнений. [c.149]

Система (14) интегрируется по шагам на электронно-цифровой машине. Величины определяются при этом по значениям Л/, предыдущего шага также при помощи машины последовательным переходом от выражений (И) к (12), (13), (14). Еще удобнее обратиться к стандартной программе интегрирования по Рунге — Кутта, а вычисленне величин Lh расположить в блоке определения правых частей. [c.167]

Интегрирование системы уравнений (1) — (9) производилось методом Рунге — Кутта 4-го порядка [3]. Это потребовало блочного представления программы. Центральное место занимает программный модуль NBLOK, в котором осуществляется формирование правых частей уравнений системы. Передача параметров в NBLOR происходит через общую область TSTK. Так, в массиве TS определено решение системы, а в массиве TS1 — правые части уравнений. [c.9]

Коши (5.3), (5.4) суш ествует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть F x,y) удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Численное решение задачи Копш методом Рунге-Кутта 4-го порядка заключается в следуюш,ем. На заданном интервале выбираются [c.268]

Решение системы уравнений проводилось методом Руиге-Кутта четвертого порядка точности. Этот метод устойчив и для получения решения в следующей точке требует значения решения только в одной предыдущей точке. Поэтому шаг интегрирования может быть изменен на любом этапе вычислений. С другой стороны, на каждом шаге метод Рунге-Кутта требует вычисления правых частей уравнений в четырех точках, что является существенным недостатком этого метода. При самостоятельном составлении программы студентам рекомендуется использовать более простой метод Эйлера. [c.118]

При этом для интегрирования систем дифференциальных уравнений движения НИСЗ может быть рекомендован стандартный метод Рунге-Кутты (правило 2/6) с постоянным шагом интегрирования. [c.58]

От класса TOneStep образованы два класса-потомка, реализующих современные одношаговые методы интегрирования семейства Рунге-Кутты. Наиболее простой из них — классический метод Рунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом интегрирования (правило 2/6) представлен классом TRungeKutta26. Ниже, в таблицах 6.7 и 6.8 приведены названия и описания новых или перекрытых по отношению к родительскому полей и методов данного класса. [c.210]

При вычислениях по методу Рунге — Кутта значений искомых функций при каждом последующем значении аргумента требуется вычислять несколько значений правых частей уравнений в некоторых промежуточных точках. Поэтому объем вычислений больше, чем при использовании разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако метод Рунге — Кутта дает, вообще, большую точность, чем разностные методы. Из последних мы рассмотрим методы Адамса, Штермера, Коуэлла, так как они наиболее часто применяются в небесной механике. [c.670]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Описанная процедура численного интегрирования иллюстрирует в несколько упрощенной форме метод Адамса — Штермера. в баллистике наряду с этим методом широко применяются и другие, не столь простые и наглядные, но обладающие своими достоинствами. Это — метод Рунге-Кутта, Милна и некоторые другие. Все эти методы относятся к численному интегрированию обыкнове1Шых дифференциальных уравнений вообще, а ие только уравнений движения. Во многих случаях интегрирование ведется с переменным шагом. Это бывает необходимо для участков наиболее резкого изменения функций в правых частях интегрируемых уравнений, например, при переходе скорости через скорость звука или при быстром изменении секундного расхода. Машина может автоматически выбирать шаг интегрирования в соответствии с разработанным алгоритмом, исходя из потребной точности расчета. [c.307]

Бопьшинство математических задач, возникающих в бал-дистике, связано с интегрированием уравнений движения ракеты. Для интегрирования могут применяться аналитические или численные методы. Как правило, получить точное аналитическое решение уравнений движения оказывается невозможным, поэтому область применения этого метода ограничена. Универсальными методами, с помощью которых можно найти решение уравнений движения ракеты, являются методы численного интегрирования. Наиболее распространенным численным методом является метод Рунге-Кутта. Все методы численного интегрирования довольно громоздки и трудоемки и для их реализадии необходимо применение ЭЦВМ. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...