ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжева динамическая система из "Математические методы классической механики " Задача. Докажите, что вектор зависит не от кривой р, но лишь от вектора V. [c.77] Задача. Докажите, что отображение ТМ - линейное. [c.77] Задача. Докажите, что — дифференцируемое отображение. [c.77] В этом параграфе определяется лагранжева динамическая система на многообразии. Система с голономными связями является частным случаем. [c.77] Пример. Пусть М — область в координатном пространстве с координатами д = (5 ,. . ., д ). Функция Лагранжа ТМ К заппсывается в виде функции 2п координат Ь (д, д). Как доказано в 12, изменение координат движущейся точки со временем удовлетворяет уравнениям Лагранжа. [c.77] Особенно часто встречается следующий частный случай. [c.78] Определение. Лагранжева система на римановом многообразии называется натуральной, если функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергий, Ь = Т — и. [c.78] Система с голономными связями. Б 17 ш определили систему материальных точек, стесненных голономными связями. Покажем, что эта система является натуральной. [c.78] Тогда соответствующая вложенному риманову многообразию М и потенциальной энергии V натуральная система совпадает с системой, определенной в 17 или с предельным случаем системы с потенциалом С/ iVg 2, N сх , быстро растущим вне М. [c.78] Рецепт решения задач со связями. 1. Найти конфигурационное многообразие и ввести в нем координаты. . ., (в окрестности каждой точки, вообще говоря, свои). [c.78] Функция Лагранжа Ь= Т. Ъ обеих системах координат ф — циклическая координата. Соответствующий импульс сохраняется = г ф — не что иное, как 2-компонента момента количества движения. Так как система имеет две степени свободы, знания циклической координаты ф достаточно, чтобы проинтегрировать задачу до конца (см. следствие 3 15, стр. 64). [c.79] Ясное представление о виде орбит проще получить, рассуждая немного по-другому. Обозначим через а угол орбиты с мерпдпапом. Имеем гф = = I г) I sin а, где 1 г — величина вектора скорости (рис. 66). [c.79] Это соотношение показывает, что движение происходит в области sin а 1, т. е. г Го sin о. Кроме того, наклон орбиты к меридиану увеличивается при уменьшении радиуса г. Достигнув наименьшего возможного г = гд sin 01 орбита отражается и возвращается в область с большим г (рис. 67). [c.79] Задача. Доказать, что все геодезические на нарисованной поверхности вращения делятся на три класса меридианы, замкнутые кривые, и геодезические, всюду плотные в кольце г с. [c.79] Задача. Исследовать поведение геодезических на поверхности тора ((г-Л) + 22 = р2). [c.79] Пример. Движение бусинки по вертикальной окруншости радиуса г (рис. 68), вращающейся с угловой скоростью to вокруг вертикальной оси, проходящей через центр О окружности. Многообразие М — окружность. [c.80] Обозначим через q угловую координату на окружности, отсчитываемую от верхней точки. [c.80] Вид фазового портрета зависит от соотношения между А ш В. При 2В . А (т. е. при таком медленном вращении окружности, что со г g) нижнее положение бусинки (д — п) устойчиво и характер движения в общем такой же. как в случае математического маятника (ш = 0). [c.80] Вернуться к основной статье