Уравнения теплопроводности для стержней

Сокращая, получим частный случай дифференциального уравнения теплопроводности для стержня [c.151]

Проиллюстрируем описанную методику построения разностной схемы на примере стационарного уравнения теплопроводности для стержня с боковым теплообменом [c.88]

УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ [c.321]

Уравнения теплопроводности для стержней [c.61]

Приведем еще вывод уравнений теплопроводности для стержней, обладающих цилиндрической анизотропией. Рассмотрим цилиндр радиусом R, через поверхности г = R, z — . Ь которого осуществляется теплообмен с внешней средой температур t , if соответственно. [c.63]

Разложив в (3.54) операторы в ряды, перейдем к пределу при О, сохраняя при этом постоянными Л , С, W, В результате приходим к следующему уравнению теплопроводности для стержней, обладающих цилиндрической анизотропией [c.64]

Заменой переменных йу Уд(г) йг уравнению (3) можно придать форму уравнения теплопроводности для стержня с переменными значениями теплоемкости и теплопроводности, но постоянной температуропроводностью, равной единице. Такой стержень будем называть эквивалентным стержнем [4а]. [c.459]

Покажем порядок расчета для сварки меди, когда детали 1 vl 2 на рис. 50, а стальные. Определив потоки F h Ф , можно найти зависимость температуры источника тепла Т от величины q. Как видно на рис. 50, й, для определения потока F применимо уравнение теплопроводности для стержня [c.123]

Это уравнение возникает при решении методом Фурье уравнения нестационарной теплопроводности для стержня, один конец которого теплоизолирован, а на другом имеет место теплообмен с окружающей средой. Графическое изображение функций yi = = tg д, и 2 = Bi/p, (рис. 2,3) показывает, что это уравнение имеет [c.75]

Для доказательства этого положения напишем дифференциальное уравнение теплопроводности для двухмерного поля неограниченного Прямоугольного стержня [c.113]

Рассмотрим, например, одномерное уравнение теплопроводности для изолированного тонкого стержня длиной L [c.86]

Рассмотрим уравнение теплопроводности (для простоты — одномерную задачу, т. е. распределение температур в полуограниченном стержне) [c.211]

Уравнение теплопроводности для ортотропного стержня, записанное в виде (3.47), может быть использовано при определении температурных полей в стержнях произвольного поперечного сечения. Если коэффициенты теплоотдачи с боковых поверхностей стержня квадратного поперечного сечения (Л = б) равны между собой, = = = а, то в уравнении (3.47) следует положить А — А = А = 4ha, F = W, Л2 = Sha. В случае изотропных стержней в полученных выше уравнениях и граничных условиях следует положить [c.63]

Рещение поставленной задачи сводится к решению уравнения теплопроводности для тонкого стержня длиной 2L [c.315]

Формула (74) представляет собой решение уравнения теплопроводности для конкретного случая — внезапно вспыхнувшей, не-изменяющейся в дальнейшем температуры Г на конце бесконечно протяженного стержня. В практике контактной сварки этот случай может быть отнесен, например, к нагреву стержня разрядом конденсатора. [c.50]

Для задачи теплопередачи в стержне, описываемой одномерным уравнением теплопроводности, запишите систему разностных уравнений при разделении стержня на п участков. [c.220]

Было показано (см. (4.80)), что функция G х, t, ) удовлетворяет уравнению теплопроводности. Следовательно, эта функция определяет распределение температуры вдоль бесконечного стержня, порожденное некими начальными условиями. Каковы эти начальные условия, каков физический смысл функции G х, t, ) Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай, когда в начальный момент температура w на бесконечном стержне была равна нулю всюду вне интервала (х — е, j q + е) и была постоянной и отличной от нуля на этом интервале, т. е. [c.144]

Проведенные рассуждения вместе с заключительной формулой (4.88) показывают, что функция G (х, t, х ) определяет распределение температуры вдоль бесконечного стержня в моменты времени > О, возникшее от мгновенного точечного источника тепла мощностью Q -= ф, помещенного в начальный момент t = О в точку А, стержня. По этой причине функцию О (х, t, ) называют функцией источника (ее называют, также, фундаментальным решением уравнения теплопроводности). Распределение температуры, определяемое функцией источника, показано на рис. 4.2 для различных моментов времени /. Заметим, что если функция источника каким-либо способом, не связанным с решением задачи [c.145]

Рассмотрим теплопроводность стержня конечной длины. Дифференциальное уравнение (13.62), описывающее температурное поле в стержне, сохраняет свою силу и для стержня конечной длины. Отличие будет лишь в граничном условии на свободном конце стержня. Пренебрежем теплоотдачей на торце стержня. При этом допущении граничное условие на свободном торце стержня при х=1 примет вид —X (d /dx)x=i—0. Общее ре-щение, как и ранее, имеет вид (13.65). Тогда для х=1 имеем — 2e —0. Для указанного ранее гранич- [c.312]

Если I—>-оо, то 2=0, ак как в этом случае теплопроводностью вдоль стержня можно пренебречь. Тепло отводится от стержня только излучением, и первое слагаемое для этого стержня из уравнения исключается тогда для К получается зависимость [c.202]

Цилиндр. Для бесконечно длинного цилиндра (стержня) с радиусом R дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид [c.212]

Теплопроводность круглого стержня. Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом Гд (рис. 1-16), коэффициент теплопроводности к которого постоянен. Внутри этого стер ня имеются равномерно распределенные источники теплоты q . Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду. Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня радиуса г и длиной I имеет вид [c.29]

Поскольку из приведенных рисунков понятна основная идея метода, нет смысла останавливаться на подробностях ее практической реализации. Заметим, что для решения инженерных задач, описываемых уравнением Лапласа, успешно использовалась мембранная аналогия. Таким способом решались задачи о кручении стержней и задачи теплопроводности для систем, не выделяюш,их тепло. [c.98]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Иная трактовка той же самой задачи была развита в Берлинском физическом институте. Ряд экспериментов, придуманных и проведенных там, доказал пригодность этого метода определения А. Рассмотрением изменения во времени температуры в двух точках стержня и устранялась необходимость в предположении о внезапном принятии концом х = 0 температуры нагревающей жидкости. Затем было показано, что можно получить решение уравнения теплопроводности, которое даст наблюдаемые температуры в этих двух точках Это решение пригодно Для определения коэфициента теплопроводности. Действительными условиями на конце х = 0 пользовались только для того, чтобы получить решение в удобной математической форме. В трактовке этой задачи здесь шли по двум различным направлениям. Б одном, приближенное решение выводится из условия, что при а = 0 v=i, затем это решение изменяется так, чтобы можно было пользоваться наблюденными температурами. В дру-. гом способе приблизительное решение выводилось из условия [c.54]

В неограниченной среде, не содержащей расщепленных материалов, источник нейтронов 1п равен нулю. Тогда уравнение диффузии нейтронов для одномерной задачи будет аналогичным дифференциальному уравнению теплопроводности при охлаждении стержня с теплоотдачей по боковой поверхности его. [c.65]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Система основных уравнений в безразмерной форме. Исследование удара вязкопластического стержня о жесткую преграду свелось, таким образом, к задаче с подвижной границей для уравнения теплопроводности, не приводящейся к традиционным краевым задачам математической физики. [c.510]

Операторным методом и методом предельного перехода получены точные и приближенные уравнения обобщенной теплопроводности для анизотропных и изотропных пластинок и стержней, изотропных оболочек с внутренними источниками тепла. Выведены уравнения связанной и несвязанной термоупругости анизотропных и изотропных пластинок [19—21], несвязанной термоупругости изотропных стержней и оболочек. Для изотропных пластинок с криволинейным краем сформулированы условия теплообмена на подкрепленном крае и условия неидеального теплового контакта. Сформулированы термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней, пластинок и стержневых включений, пластинок и круговых включений. Граничные условия дают, в частности, возможность изучать динамические температурные напряжения в окрестности металлических неоднородностей стеклянных элементов конструкций электроннолучевых приборов. [c.56]

Уравнения теплопроводности для многоступенчатых пластин и стержней с теплоотдачей и уравнения термоупругости осесимметрично деформированной круглой многоступенчатой пластины приведены в главе девятой. Здесь изучены температурные напряжения в круглых и кольцевых пластинках, нагреваемь1х источниками тепла или внешней- средой. [c.9]

Выводы дифференциального уравнения теплопроводности для случая линейного потока. Рассмотрим изолированный элементарный объем стержня сечением /, длиной <1х при нагреве его конца. За промежуток сИ через стенку, расположенную на расстоянии г, войдет количество (поток) тепла про-шорциональное коэффициенту теплопроводности X, разности температур и площади поперечного сечения (закон Фурье) [c.106]

Уравнение ( 111.3.28) является асимптотическим и справедливо только на оси звукового пучка. При отсутствии нелинейного члена UdUldx оно представляло бы собой обычное уравнение теплопроводности для полубесконеч-ного стержня с неравномерно распределенными источниками тепла, на боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой. [c.214]

Для решения численными методами уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений. Для этого рассматриваемое тело разбивается на несколько объемов ДК конечных размеров и каждому объему присваивается номер. В пределах объема ЛК обычно в его центре выбирается узловая точка или узел. Теплоемкость всего вещества, находящегося в объеме AV ( = pAV), считается сосредоточенной в узловой точке. Узловые точки соединяются друг с другом теплопроводящими стержнями с термическим сопротивлением теплопроводности стенки толщиной, равной расстоянию между узлами, и площадью, равной площади контакта объемов. Крайние узлы в зависи- [c.115]

В основу одного из методов кладется математическое решение дифференциального уравнения теплопроводности применительно к двум шолуограниченньш телам. Если два тела выполнить в форме полуограниченных стержщей и равномерно нагреть каждый до своей температуры, а потом привести в соприкосновение своими концами, то изменение температуры со временем в каждом из стержней подчиняется определенным математическим зависимостям. Эти зависимости содержат в себе температуру и физические параметры, характеризующие материал стержней, и поэтому могут быть использованы для опытного определения этих параметров. Тогда, если измерить температуру поверхности соприкосновения и температуру стержней па некотором -расстоянии от ее, то можно вычислить коэффициент температуропроводности обоих стержней если знать еще теплоемкость одного из стержней, то можно определить теплоемкость другого стержня и, кроме того, найти коэффициент теплопроводности для обоих стержней. [c.112]

При решении дифференциального уравнения теплопроводности пр инимается, что потери тепла с боковой поверхности стыкующихся образцов отсутствуют распределение температуры по их объему в начальный момент времени равномерное, а по поперечному сечению сохраняется равномерным для любого момента времени после стыка торцов длина стержней велика по сравнению с их поперечныМ И размерами, вследствие чего можно принять, что температура стержней при х—>оо не изменяется со временем ib 1месте стыка стержней их поверхности плотно соприкасаются между собой, и тепловое сопротивление контакта между ими отсутствует. [c.113]

Рассмотрение результатов машинного решения убеждает нас в том, что термический режим контакта не зависит от длины стержня, начиная с длин порядка 10 мм, поэтому для аналитического определения термического режима контакта может быть использована модель по-лубесконечного стержня. Необходимо отметить, что уже раньше делались попытки расчета контактов, соприкасающихся с дугой, однако они проводились только для модели полубесконеч-ного контакта. При этом если рассматривался нагрев полубесконечного стержня, в торец которого поступал постоянный поток тепла, то тепловые потери и нагрев контактов вследствие выделения тепла вообще не учитывались Если же тепловые потери с боковой поверхности стержня и нагрев токоведущего стержня вследствие выделения джоулева тепла учитывались по закону Ньютона, то делалось физически мало обоснованное допущение о постоянстве тепла на соприкасающейся с дугой поверхности контакта. Тем не менее, получение относительно простой расчетной формулы возможно при решении уравнения теплопроводности, учитывающего на- [c.461]

При определении теплопроводности металлов и других электропроводящих материалов может быть использован метод Егера и Диссельхорста [II, 33], основанный на решении одномерного уравнения теплопроводности с внутренними источниками теплоты для стержня, нагреваемого электрическим током. [c.420]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

В настоящей главе изучаются квазистатические температурные напряжения в кусочно-однородных телах. Здесь рассматривается квазистатическая задача термоупругости для составной полосы-пластинки, нагреваемой путем конвективного теплообмена с внешней средой, температура которой является функцией времени, С использованием интегрального преобразования Лапласа нестационарная задача теплопроводности для рассматриваемой системы приведена к решению обыкновенного частично вырожденного дифференциального уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами, построенного методом И. Ф Образцова— -Г Г. Онанова [117]. Затем в замкнутом виде находятся выражения соответствующих найденному температурному полю температурных напряжений, исследуется влияние теплоотдачи, способов закрепления краев на характер распределения температурных напряжений в стеклянной полосе-пластинке с подкрепленным коваровым стержнем краем. [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...