Определяющие уравнения и граничные условия

Многие задачи вязкоупругости при помощи преобразования Лапласа (или Фурье) определяющих уравнений и граничных условий по истинному или приведенному времени становятся математически эквивалентными аналогичным задачам для упругих тел. Такая аналогия называется принципом соответствия и дает возможность использовать методы теории упругости для получения решений (в изображениях) задач вязкоупругости. Впервые этот принцип был установлен Био [11] для анизотропной среды. [c.140]

Определяющие уравнения и граничные условия для задачи [c.147]

Докажите также, что определяющее уравнение и граничные условия имеют вид, 1 d / d w I dw If., (0) 1, , 2 [c.254]

Теперь выведем определяющее уравнение и граничные условия задачи о взбалтывании жидкости, в которой бак подвергается вертикальному и горизонтальному ускорению а и соответственно [291 [c.435]

Определяющие уравнения и граничные условия [c.132]

Определяющие уравнения и граничные условия. Рассмотрим поведение капли жидкости в пульсирующем потоке другой жидкости, несмешивающейся с первой. Размер капли предполагается малым по сравнению с масштабом неоднородности потока. Задача рассматривается в невязком приближении. Система отсчета связана с центром инерции капли. Малость капли позволяет применить следующую методику. Пусть U — скорость пульсационного потока в начале координат в отсутствие капли. Поскольку среды предполагаются невязкими, этот поток можно считать потенциальным. Для невозмущенного течения потенциал скорости на расстояниях, малых по сравнению с масштабом неоднородностей потока, но больших по сравнению с размерами капли, можно найти, разлагая его в ряд Тейлора по координатам, отсчитанным от центра инерции капли [c.185]

Выберем следующие единицы измерения расстояния - d скорости -V = T x/d температуры - 0 концентрации - ( 3/у)0 давления р" - PoV v/i/. Поскольку в исходном уравнении состояния (1.2) по существу отброшены все члены порядка О(е ), будем пренебрегать слагаемыми порядка 0(е ) во всех уравнениях. Тогда определяющие уравнения и граничные условия принимают вид [c.71]

Сравнивая (9.448), (9.449) с (9.451) и (9.452), получаем, что функция ф, определяющая потенциал обтекания при движении несущей поверхности в сжимаемой среде, и функция Фдр потенциала скоростей преобразованного крыла в несжимаемой среде удовлетворяют одним и гем же дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Поэтому значения этих потенциалов в точках потока, связанных условиями преобразования координат (9.447), равны, т. е. [c.355]

Тху,. . . удовлетворяют всем уравнениям и граничным условиям, определяющим напряжения, вызванные усилиями X + X, . .., Х- -Х, . .. Этот факт является примером применения принципа суперпозиции. Его легко распространить на другие виды граничных условий, например на заданные перемещения. [c.253]

С помощью этого значения а каждая из величин I и Ц, определяющих изгиб, может быть вычислена из соответствующих дифференциальных уравнений и граничных условий. Далее, из уравнения (5) можно найти [c.357]

Рассмотрим трещину, развивающуюся в упругом Твердом теле с переменной скоростью (t). Как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, описывающие окрестность вершины трещины, развивающейся в произвольном режиме [4], совпадают с уравнениями и граничными условиями задачи, определяющей установившийся рост трещины с постоянной скоростью С. Пусть координатные оси X и У фиксированной декартовой системы координат лежат в плоскости тела, а ось Z сориентирована по толщине тела, в результате У = 0 определяет плоскость развивающейся трещины. Предположим, что поля перемещений и напряжений не зависят от Z. Теперь введем подвижную координатную систему х, у п z, которая остается фиксированной относительно движущейся вершины трещины, в результате чего х = Х — а (рис. 1). Теперь появляется возможность свести краевую задачу теории упругости к задаче на комплексные переменные. Получаем следующие выражения, определяющие напряжения и перемещения [5, 6] [c.269]

Сопоставляя уравнения (7.16), (7.22), (7.23) и (7.26), получим дифференциальные уравнения и граничные условия, описывающие растяжение балки. С другой стороны, комбинация уравнений (7.17), (7.24), (7.25) и (7.27) приводит к дифференциальному уравнению и граничным условиям, определяющим изгиб балки. Таким образом, в рамках теории малых перемещений балки, [c.187]

Звуковая плоская волна не может оставаться прежней, когда в пространство, где она распространяется, внесено тело, свойства которого отличны от свойств среды. На поверхности тела возникают отражение и преломление плоской волны. В объеме тела появляется колебательное или волновое движение, а во внешнем пространстве — дополнительное поле за счет отраженных волн. В результате волновое плоское поле изменится. (Степень искажения волнового поля инородными предметами играет большую роль в технике измерений, так как прибор, который выполняет ту или иную функцию измерений, сам искажает первичное поле.) Волновое поле в присутствии инородного тела должно удовлетворять волновому уравнению, граничным условиям и условиям излучения. Действительно, плоская волна, хотя и подчиняется волновому уравнению, не может быть единственной в пространстве, как это было до внесения инородного тела, поскольку не выполняются граничные условия. Функция, удовлетворяющая волновому уравнению и граничным условиям, в этом случае состоит из функции, выражаюш,ей плоскую волну, и некоторой функции, определяющей рассеянную волну. [c.285]

Выпишем полученную в результате осреднения систему уравнений и граничных условий, определяющих среднее течение и положение границы раздела сред [c.195]

Из приведенной общей постановки задачи следует, что различным задачам оптимизации траектории, некоторые из которых были разобраны выше, соответствует одна и та же система основных уравнений (2.56), но разные системы граничных условий в зависимости от конкретного выбора величин Разумеется, из семи неизвестных функций, определяющих оптимальную траекторию, одну или несколько можно полагать заданными, и тогда соответствующие уравнения и граничные условия просто выпадут из систем (2.56) и (2.57). Так, например, в задаче, рассмотренной в 2.2, функции М (1) и с ( ) были заданы и поэтому третье из уравнений (2.56) и второе из уравнений (2.57) не использовались. Величиной 1 о служила некоторая заданная функция от Г1 и VI (например, дальность полета или высота орбиты). В настоящем параграфе изучена задача, где функция М (г) не задана, а в качестве о в одном случае [c.59]

Это и есть нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности. Для его интегрирования необходимо задать начальные условия, определяющие температурное поле в рассматриваемом теле в начальный момент времени т = 0, и граничные условия, определяющие температуру или законы переноса теплоты на границе тела. [c.112]

Свойства решений. Вспомним, что необходимыми условиями экстремума при непрерывном решении задачи 1 являются уравнения (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), определяющие функции а(у), Цу), 2 у), As(y), ij> y), и граничные условия (2.12), (2.18), (2.24), (2.34). После проведенного интегрирования необходимые условия экстремума сводятся к уравнениям (2.30), (2.35)-(2.37), (2.43) и граничным условиям (2.12), (2.18). [c.84]

Итак, при условии 1р ф) > Ро ф) необходимыми условиями экстремума X являются уравнения (3.39), (3.44), (3.45), (3.54), определяющие функции у, а, <6, (р, и граничные условия (3.57), (3.58), (3.30). Величины Л2, Лз определяются условиями (3.25), (3.26). [c.106]

Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствуют вполне определенные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на границах во время движения. Следовательно, не только уравнения процесса, но также безразмерные формы начальных и граничных [c.121]

Совокупность параметров, определяющих какой-либо гидродинамический процесс, можно рассматривать как конкретное решение дифференциальных уравнений этого процесса. Ему соответствуют вполне определенные начальные и граничные условия. Они представляют собой зависимости или константы, определяющие физические параметры в начальный момент и на гра-130 [c.130]

Уравнения (7.1) —(7.5), условия в бесконечности и граничные условия показывают, что система определяющих параметров представится таблицей [c.70]

Безразмерные критерии подобия получаются из дифференциальных уравнений рассматриваемого явления посредством преобразования этих уравнений к безразмерному виду. Исходя из начальных и граничных условий выбирают некоторый характерный линейный размер (например, размер границы области тел и их взаимодействия). Характерных линейных размеров может быть как один, так и два или три. В частности в построениях теории термодинамического подобия наряду с размером /о, определяемым областью явления, употребляется молекулярный размер связанный с природой [c.402]

Мы получили уравнение (9.4), пользуясь соотношением (9.2), определением индивидуального объема, дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями, определяющими напряжения на границе. [c.390]

Для того чтобы определить из уравнений (3.3), (3.4) величины у (io, х) я у (io, х), необходимо задать конкретные способы нагружения стержня и условия закрепления его концов, определяющие изгибающий момент М (i, х) и граничные условия. [c.260]

Имея полностью определенную деформацию, нетрудно вычислить сопровождающее ее поле напряжений. Заметим, чтО компонента Охх = Т напряжения не связана с деформацией каким-либо определяющим уравнением. Поскольку эта компонента напряжения не совершает работы на любой кинематически допустимой деформации, она является реакцией связи, обеспечивающей нерастяжимость волокон. Подобным образом компонента Оуу — —Р является реакцией связи, обуславливающей-неизменность расстояния между любыми двумя волокнами. Какие бы значения ни принимали эти две реакции, они обязательно должны существовать для того, чтобы имели место соответствующие ограничения. Значения реакций определяются из уравнений равновесия и граничных условий в напряжениях. [c.294]

Уравнение (1) интегрируется при начальных и граничных условиях, определяющихся режимом работы и конструкцией насоса и форсунки. [c.241]

Здесь G (х, х ) —функция Грина уравнения Лапласа, определяемая как функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению AG (х, х ) = —б (х— х>) и граничному условию G (х, х ) js = 0 х и х — радиусы-векторы двух каких-либо точек области V с границей S. После преобразования при заданных на границе S перемещениях U s (<х) получаем [c.9]

Из последнего определения физического подобия следует, что для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации рг змер-ных величин) имеют одинаковые числовые значения. Справедливо и обратное зшточ пш если безразмерные характеристики одинаковы, то явления подобны. Для подобных явлений вид уравнений и граничных условий не будет зависеть от выбора единиц, если величины, определяющие физическое явление, выразить в безразмерной форме, т. е. отнести данную величину к характерному масштабу. [c.188]

Как было выяснено в гл. I, 2, для того чтобы физические явлекия были подобны одно другому, необходимо, чтобы были подобны отображающие их уравнения и граничные и начальные условия. А для этого необходимо, чтобы были подобны коэффициенты уравнений и граничных условий, преобразованных к новым переменным в согласии с геометрическим подобием форм потоков. Преобразованные таким образом коэффициенты носят (название определяющих параметров. Но не все определяющие параметры оказываются независимыми. Между некоторыми из иих существуют связи, и поэтому выбор независимых параметров несколько произволен. Вопрос о том, какие из параметров следует считать нез ависимыми, решается устан0 влен1ием наилучшего соответствия между полученными решениями и наблюдаемыми явлениями. Выбранные независимые параметры называются критериями. [c.162]

Согласно уравнениям и граничным условиям при заданных Н и Сдг определяемыми параметрами задачи являются q, /3, Л(0) и См-Решение не зависит от безразмерного комплекса 7 в сплу принятого способа масштабирования и от величины ро (для несжимаемой смазки) - из-за присутствия в уравненпп (1.1) для р только производной р. Тем не менее, прп расчетах приходится задавать какое-то значение РОу например, ро = 0. Каждому же из оставшихся четырех параметров отвечает одно из условий, которые должны быть удовлетворены при решении ИЗ. Выбор используется для получения заданного Сдг. За счет подбора q обеспечивается периодичность давления. Величина Ло = Л(0+) берется такой, чтобы удовлетворилось условие (2.5). Используемые при этом уравнения в согласии с результатами и. 1 и 2 имеют вид [c.577]

Вязкий стоксовский слой возникает при вибрациях не только вблизи твердых поверхностей, но и около свободной поверхности жидкости и поверхности раздела несмешивающихся жидкостей. Генерация средних течений вблизи свободной поверхности изучалась Лонге— Хиггинсом [4], а вблизи поверхности раздела сред — Дором [5]. Ими рассматривались малоамплитудные волны на свободной поверхности жидкости (или соответственно на поверхности раздела жидкостей), при этом анализ течений в стоксовских слоях показал, что и в этом случае они являются местом генерации средних течений вихревого характера, распространяющихся за пределы скин-слоев. Авторами работ [4, 5] получены уравнения и граничные условия, определяющие указанные средние течения. Выяснено, что генерация средних течений вблизи свободной поверхности или поверхности раздела сред имеет некоторые особенности по сравнению с рассмотренной Шлихтингом в [1] генерацией среднего течения вблизи поверхности вибрирующего твердого тела. Осреднение пульсационных движений в стоксовском слое вблизи твердой поверхности приводит к граничному условию, определяющему касательную к поверхности тела компоненту скорости среднего течения. В ситуациях, рассмотренных Лонге-Хиггинсом и Дором, генерация среднего течения проявляется в эффективном дисбалансе касательных напряжений. Механизм Шлихтинга в этих [c.192]

Эти граничные условия идентичны граничным условиям Марка для метода сферических гармоник (см. разд. 2.5.1). Следовательно видно, что метод дискретных ординат с выбранными таким образом квадратурными формулами эквивалентен методу сферических гapмoJШк с граничными условиями Марка. В частности, приближенные интегралы фп, определяемые уравнением (5.4), удовлетворяют тем же самым уравнениям и граничным условиям, что и в методе сферических гармоник. С помощью обоих методов получаются одинаковые потоки нейтронов и собственные значения. Кроме того, если угловая зависимость потока Ф х, х) для х Ф .1г дается обычным разложением по сферическим гармоникам [c.172]

Рассмотрим уравнение (2.11.20) и соответствующие граничные условия при отсутствии массовых сил и напряжения на поверхности для материала с тензорным коэффициентом упругости, определяемым соотношениями (2.12.5) и (2.12.4). Обозначения см. на рис. 2.14.2. Для движений, которые зависят только от координат хи Х2 и времени, полевое уравнение и граничное условие для (поперечной) компоненты перемещения 3 = Пг отщепляется от уравнений для двух других компонент щ и 2. Плоскость х, х2) назывзется сагиттальной плоскостью Рз, здесь х — направление распространения волны и, следовательно, ненулевое упругое перемещение поляризовано параллельно Рз. Мы должны решить следующую краевую задачу [c.145]

Видно, что здесь Re ф = О при х < О, Im ф = О при х > 0. Состояние упругого тела, определяемое выражением (2.23) для функции ф, характерно тем, что хотя напряжения при удалении от края трещины стремятся к нулю, суммарное их действие отлично от нуля. Другие подобные решения ф = onstп = О, 1, 2,.. ., удовлетворяющие однородным уравнениям и граничным условиям на берегах трещины, при п < О противоречат условию непрерывности перемещения берега трещины, а при п > 1 соответствуют неограниченному росту напряжений при удалении от ее края. [c.41]

Чтобы использовать интегральное выражение закона количества движения, рассмотрим обпще соотношения и граничные условия, определяемые уравнениями (8.30)—(8.37). В соответствии с уравнением (8.32) условия в набегающем потоке определяются следующим образом [c.349]

После определения искомой точки h и построения характеристики hb выделяется характеристика первого семейства ah. Течение в области ahb определяется решением задачи IVp a для уравнений (1.20) и граничных условий на характеристиках ah и hb. Искомый контур ab представляет собой линию тока dV> = 0, проходящую через точку а и определяемую при помощи равенства (1.10). [c.81]

В задачах конвективного теплообмена Nu есть определяемая величина, безразмерный искомый коэффициент теплоотдачи - число Нус-сельта. В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле [уравнение (2.40) при w = О и граничных условиях (2.42)] аналогичный по форме комплекс а/Д является определяющим критерием Био Bi = otl/X. В отличие от числа Nu в критерии Био X — теплопроводность твердого тела, а значение а входит в условия однозначности. Критерий Био характеризует отношение термического сопротивления стенки 1/к к термическому сопротивлению теплоотдачи на поверхности (1/а), причем оба сопротивления заданы по условию задачи. [c.126]

Для вывода уравнений движения локальные перемещения, определяемые равенством (28), подставляются в соотношения упругости для волокон и связующего. Плотность энергии деформации в каждом элементе интегрируется по локальным координатам (при фиксированном х) и для того, чтобы получить плотность энергии деформации V (и, Ф) в точке х, делится на объем элемента. Аналогично получается плотность кинетической эхтергии Т (и, Ф) в точке X. Уравнения движения и граничные условия записываются с помощью принципа Гамильтона в виде [c.294]

Рассмотрим сначала принцип соответствия для термореологически простых материалов. В качестве четырех независимых переменных вместо t н Xi возьмем и Xi. Применяя преобразование Лапласа по приведенному времени (формула (42)) к уравнениям равновесия, граничным условиям и соотношениям между деформациями и перемещениями, получаем систему идентичную уравнениям (102) — (105), но теперь над всеми членами вместо черты (например, дц) будет стоять крышечка (например, t,j). Преобразование Лапласа определяющих уравнений (64) дает [c.143]

Если принять за критерий параметрической надежности вероятность ве-выброса за некоторый уровень изучаемой функцш работоспособности, то для определения надежности достаточно проинтегрировать уравнение (2) при соответствупщх начальных и граничных условиях (определяемых существом физической задачи), а найденное решение подставить в (I). Важная задача теории надежности - определение закона распределения времени пребывания случайной функции работоопособности в заданной области - сводится в этом случае я определению производной от функции V(t). [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...