Уравнения движения материальной точки по поверхности

Проектируя векторы, входящие в последнее равенство, на оси системы координат Охуг, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р в таком виде [c.424]

Естественные дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности [c.425]

Составим другим способом дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р (рис. 190). Пусть аа — отрезок траектории точки М, т — единичный вектор касательной к траектории в точке Л]. Проведем через точку М элемент геодезической кривой ЬЬ поверхности Р, касающейся орта т. Здесь мы воспользуемся известным из дифференциальной геометрии определением геодезических кривых поверхности, согласно которому главные нормали к геодезическим линиям во всех ее точках совпадают с нормалями к поверхности ). Это свойство соответствует определению геодезических кривых, приведенному выше, в 210 [c.425]

Поставив эти значения в уравнения (8), получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности (4) с учетом трения в следующем виде [c.481]

Уравнения движения материальной точки по поверхности [c.296]

Проектируя обе части векторного уравнения (25) на оси координат, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности (22) в следующем виде [c.297]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ЗАДАННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ [c.65]

В систему четырех уравнений (1 .203) и (а) входят четыре неизвестные функции координаты точки х, у, г и скалярный множитель >1. Таким образом, задача о движении материальной точки по поверхности — определенная. [c.424]

Спроектировав обе части этого векторного уравнения на неподвижные оси декартовых координат, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по идеально гладкой поверхности (4) в следующем виде [c.480]

Для изучения движения материальной точки по поверхности используем уравнение (5.3). [c.127]

Движение материальной точки по поверхности по инерции. Если материальная точка движется по некоторой поверхности /(х, у, г ) —о без действия сил, то дифференциальные уравнения движения будут [c.374]

Простейшим примером движения системы, подчиненной связям, может служить движение материальной точки по поверхности. Уравнение поверхности будем считать заданным в виде (П. 2.7,1) [c.295]

Пример 7.2. Составление дифференциальных уравнений движения материальной точки по заданной поверхности в проекциях на касательную к траектории, нормаль к поверхности и перпендикуляр к ним. [c.97]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной негладкой неподвижной поверхности, уравнение которой / (х, у, г) = 0. [c.67]

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систему наложены связи, силы реакций которых заранее не известны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой [c.283]

Если, уравнение поверхности, на которой помещается участок нити, есть fix, у, z) = О, то, как известно из теории движения материальной точки но поверхности (п. 1.1 гл. XVI формулы (16.2), (16.3), (16.5)), проекции нормальной реакции поверхности N, которую по-прежнему следует прибавить в левой части уравнения (25.2), выражаются так [c.438]

Функция поверхности непрерывна вместе с производными до второго порядка включительно по своим аргументам. Связь может создавать реакцию в направлении градиента функции и с помощью неопределённого множителя Л представляется произведением ЛУ/ (V/ 0). Уравнения движения материальной точки в декартовых координатах принимают вид [c.79]

Движение по развертывающейся поверхности. Рассмотрим еще случай движения материальной точки по развертывающейся поверхности. Длина дуги и геодезическая кривизна траектории, будучи инвариантами изгибания поверхности, сохраняют свою величину при развертывании поверхности на плоскость. Геодезическая кривизна становится кривизной плоской траектории точки. Поэтому уравнения движения по развертывающейся поверхности записываются в форме уравнений движения точки по плоскости под действием активной силы, равной составляющей, приложенной к точке силы в касательной плоскости к поверхности. [c.303]

Перейдем к задаче о движении точки по кривой. Теоретически, для подсчета числа неизвестных функций и числа уравнений, кривую удобно рассматривать как пересечение двух поверхностей, которые можно выбирать различными способами. В этом случае будут два уравнения связи и соответственно два множителя, Ях и Нормальная реакция связи будет равна геометрической сумме двух векторов, Ящ и Яп2, ортогональных к поверхностям, пересечение которых образует заданную кривую. Однако при решении задач о движении материальной точки по заданной кривой удобнее воспользоваться естественными координатами, поскольку геометрия кривой известна. Предполагая, что кривая абсолютно гладкая, запишем уравнение (2.54) в проекциях на естественные оси [c.92]

При движении материальной точки по гладкой поверхности, заданной уравнением/(г, г) = О, реакция связи К= Х-У /совпадает с нормалью к поверхности. Используя принцип освобождаемости [c.66]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной негладкой неподвижной поверхности, уравнение которой / х, у, г) = 0. В этом случае реакция связи Я имеет две составляющие нормальную реакцию и силу трения Р с модулем Р = /Л, направленную противоположно скорости точки (рис. 57). [c.324]

При движении несвободной материальной точки по заданной поверхности целесообразно применять дифференциальные уравнения [c.537]

Положение материальной точки на поверхности определяется двумя параметрами. Для нахождения зависимости этих параметров от времени необходимо иметь по крайней мере два дифференциальных уравнения движения. Одной теоремы живых сил теперь уже оказывается недостаточно. Уравнения движения в декартовых координатах часто оказываются очень сложными, поэтому приходится искать другие пути решения задачи о движении. [c.271]

Общая формула статики (принцип виртуальных скоростей) трактуется Лапласом как следствие уравнений равновесия материальной системы, известных в геометрической статике. Рассуждение на эту тему содержится в первой книге Небесной механики Лапласа, называющейся Об общих законах равновесия и движения . Кратко рассуждения Лапласа можно передать так. Если материальная точка механической системы остается на некоторой поверхности или линии, то ее можно рассматривать как свободную, добавив к действующим на нее силам еще силы реакции поверхности (линии). Условие равновесия всех сил в данной точке, мысленно изолированной от других точек системы, записывается в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на данную координатную ось (на основе принципа сложения и разложения сил геометрической статики). Так получены три уравнения равновесия сходящихся в каждой точке системы сил, известные со времени опубликования трактата Вариньона Новая механика (1725). Лаплас умножает каждое такое уравнение на соответствующую проекцию возможного перемещения точки по поверхности (линии) вдоль линии силы и суммирует все такие уравнения по всем строкам и для всех точек, мысленно выделенных из системы. [c.102]

Пример. Рассмотрим движение материальной точки под действием тяи<ести по поверхности вертикального круглого цилиндра. Положим, что мы имеем некоторый вертикальный круглый цилиндр, радиус основания которого есть а (фиг. 266). Отнесем цилиндр к прямоугольным осям координат, из которых ось Ог направлена вертикально вниз по оси цилиндра. Уравнение поверхности относительно этих осей есть [c.362]

Предположим, что идеальные связи допускают движение материальной точки (г, т) только по осесимметричной непрерывной поверхности, определяемой уравнением [c.263]

Уравнения Гамильтона в избыточных координатах. Уравнения (35) в случае вполне интегрируемых связей являются уравнениями Гамильтона голономной системы, записанными в избыточных координатах. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки (m, г) в евклидовом пространстве по гладкой регулярной поверхности 2, заданной уравнением f(r)=0. Пусть на точку действует потенциальная сила с потенциалом U(r). Положим (согласно (33)) [c.49]

Рассмотрим движение материальной точки М по поверхности, уравнение которой имеет вид [c.90]

Материальная точка А иод действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна поверхность задана уравнением г =а аф + i коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ = [c.233]

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Векторы А1 и Аз направлены по нормалям к соответствующим поверхностям, когда время I рассматривается как фиксированный параметр. Действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных при В1 = Вз = 0. Для геометрических связей это означает, что левая часть их уравнений не зависит явно от времени. Имеем тогда две неподвижные поверхности в пространстве, пересечение которых дает траекторию материальной точки, и требуется определить лишь закон ее движения вдоль траектории. [c.208]

Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции А = АЕ, А = onst, Е = в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в [18, 89] (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле V = V(7) динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей (М,7) = О эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере S . Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами е(п), она подробно обсуждается в [31]. [c.325]

В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не к (4.112). Специально мы остановимся на движении материальных точек на поверхности Земли. Если на частицу массы m действует силл / , то уравнение движения частицы имеет вид [c.115]

Дальнейшие теоретические исследования движения влаги по рабочим лопаткам позволили получить систему дифферепци-альных уравнений для расчета траекторий движения элемента пленки (материальной точки) по поверхности произвольного профиля цилиндрической рабочей лопатки [рис. 3-35,а]. [c.77]

Теорема живых сил для несвободной материальной точки. Для несвободной материальной точки приращение жипой силы равно приращению силовой функции. Эту теорему мы докажем для случая движения материальной точки по линии. Случай же движения по поверхности получим, положив в уравнениях движения по линии Л/1 = 0. [c.360]

Назовем череа и сплы давления, которое оказывает материальная точка на поверхности, дающие своим пересечением линию. Так как линия может быть определена двумя поверхностями, находящим ся в различных положениях относительно лруг друга, то допустим, что эти по-верхнос1и выбраны так, что в рассматриваемой точке М (фиг. 272) они взаимно перпендикулярны. Проведем нормаль к первой поверхЕюсти и назовем углы ее с осями координат через а , проведем также нормаль 2 ко второй поверхности и пусть углы ее с осями будут Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки ло линии в следующей форме [c.372]

При стационарных (т, е. не изменяю-П1ИХСЯ с течением времени) связях без трения силы реакции таких связей в уравнение кинетической энергии не войдут, так как работа этих сил равна нулю (например, при движении материальной точки по гладкой, неподвижной поверхности работа нормальной реакции этой поверхности равна нулю, так как эта реакция перпендикулярна к направлению скорости точки). В тех случаях, когда трением пренебречь нельзя, в правую часть уравнения кинетической энергии войдёт работа сил трения. [c.382]

Закономерности движения частицы, идеализируемой в виде материальной точки, по вибрирующей шероховатой поверхности представляют самостоятельный интерес для теории вибротранспортирования и вибросеиарации отдельных тел малых размеров. Эти закономерности интересны также и для теории многих более сложных процессов (см гл. IX т. 2 справочника), например вибрационного разделения сыпучих смесей, вибротранспортирования и сепарации тв дых или упругих тел конечных размеров, а также слоя сыпучего материала, вибрационного погружения свай, движения вибрационных экипажей и т. п. Дифференциальные уравнения движения частицы по вибрирующей шероховатой поверхности играют в теории указанных процессов почти столь же фундаментальную роль, что и уравнение движения маятника в общей теории колебаний. [c.13]

При движении несвободной материальной точки по заданной поверхности целесообразно применять дифференциальные уравнения движения в проекциях на орты цилиндрических, сферических или иных криволиней-libix координат. [c.542]

Можно предложить следуюгцую геометрическую интерпретацию приведенных алгоритмов. Без ограничения обгцности можно считать, что все = 1, поскольку этого легко добиться заменой координат дк = л/Щ Як Тогда система (1)-(3) фактически описывает движение материальной точки единичной массы по задаваемой уравнениями (3) ЗЖ-М-мерной поверхности Е в пространстве. При этом вектор [c.26]

Материальная точка вынуждена двигаться по внутренней гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями л = рсозф, у = р sin 2=0 sino-, p = a-[-o osO (ось Z направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, характеризующиеся постоянством угла O, и исследовать их устойчивость. [c.434]

Влияние вращения Земли на движение тел вдоль земной поверхности. Рассмотрим материальную точку, движущуюся на поверхности Земли по совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Для учета того, как влияет на рассматриваемое движение вращение Земли, составим уравнение относительного движения (5) в осях Oxyz (см. рис. 378). Принимая во внимание, что сила по-прежнему входит в силу тяжести Р, получим [c.447]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...