Равновесие материальной точки на поверхности

Задача 3.14.1. Равновесие материальной точки на поверхности Земли. Поскольку при равновесии относительные ускорение и скорость точки отсутствуют, то, учитывая закон всемирного тяготения Ньютона, получим [c.281]

Другими словами, при равновесии материальной точки на поверхности с трением угол между активной силой и ее нормальной составляющей не должен превышать угла трения. [c.361]

Равновесие материальной точки на поверхности Земли. Вес. [c.289]

РАВНОВЕСИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ [c.353]

Если материальная точка находится на идеально гладкой, неосвобождающей, неподвижной поверхности, то для равновесия точки необходимо н достаточно, чтобы сумма проекций активных сил на касательную плоскость к поверхности в данной точке была равна нулю, так как в направлении нормали к поверхности точка двигаться не может вследствие наложенной связи. Для того чтобы проекция вектора на плоскость была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы проекции этого вектора на две пересекающиеся оси, лежащие в этой плоскости, были равны нулю. Таким образом, для равновесия материальной точки на поверхности необходимо выполнение двух условий. [c.302]

Уравнения и условия равновесия материальной точки на поверхности. Применим теперь принцип виртуальных перемещений для вывода уравнений и условий равновесия точки на поверхности. Сначала выведем уравнения равновесия точки на поверхности. Будем предполагать, что наложенная связь идеальная, стационарная и удерживающая. Уравнение поверхности напишем в виде [c.333]

Для того чтобы найти условия равновесия материальной точки на поверхности, мы введем в рассмотрение две независимые координаты 1 и дг, так как точка на поверхности имеет две степени свободы. Выразим декартовы координаты точки в функции независимых координат ди 2 в виде [c.334]

Соотношения (48) являются условиями равновесия материальной точки на поверхности, так как в выражение обобщенных сил реакция связи не входит. Таким образом, для равновесия точки на идеально гладкой поверхности необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силы, отнесенные к координатам дх и дг, были равны нулю. [c.334]

Сначала рассмотрим задачу о равновесии материальной точки на шероховатой поверхности. В этом случае (рис. 4.10.1) нормальная реакция Км поверхности уравновешивает нормальную составляющую Ри МОТ равнодействующей активных сил, а сила трения Г р уравновешивает составляющую (Г т) активных сил в касательной плоскости. Здесь по-прежнему м — нормаль к поверхности, т-единичный век- [c.360]

Пример 31. Рассмотреть условия равновесия материальной точки на шероховатой поверхности. [c.123]

Равновесие материальной точки на линии. Если материаль-рая точка находится на линии, то она стеснена условием, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнениям двух поверхностей, пересечением [c.355]

Найти положения равновесия материальной точки на каждой поверхности и исследовать их устойчивость, если трение в системе отсутствует, а ось О г направлена вверх. [c.150]

Ясно, что положений равновесия материальной точки, находящейся под действием силы на шероховатой поверхности, может оказаться бесконечно много. Они могут заполнять некоторую область. Если в полученном условии сохранить только знак равенства, то это усл > вие вместе с уравнением поверхности выделит кривую, служащую границей положений равновесия. [c.362]

В качестве примера рассмотрим равновесие тяжелой материальной точки на цилиндрической поверхности с горизонтальными образующими. Если направить ось Ох вдоль образующей, то равновесие точки относительно координаты х будет безразличным. [c.219]

Называя угол углом трения, а геометрическое место полупрямых, выходящих из Р и образующих угол 9 с внутренней нормалью, внутренней полостью конуса трения, заключаем, что для равновесия материальной точки, опирающейся на поверхность, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил не лежала вне внутренней полости конуса трения. [c.9]

Одновременное действие многих односторонних связей. Принципы, установленные в предыдущих пунктах, позволяют исследовать условия равновесия материальной точки Р, которая одновременно соприкасается с двумя или большим числом материальных поверхностей (представим себе, например, шарик, лежащий на полу и прислоненный к одной или двум стенам). Каждой точке соприкосновения соответствует одна реакция в действительности речь идет о силах, приложенных к различным геометрическим точкам, но так как Р рассматривается как материальная точка, эти различные точки приложения можно считать совпадающими. [c.11]

Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны р1 и рг. [c.422]

Пример. Материальная точка массой т (рис. 14) движется под действием силы тяжести по внутреннем части поверхности сферы радиусом / вблизи устойчивого положения равновесия. В начальный момент при 1=0 х = Хд, у О, ал = 0, ц,, =у . Ось 02 направлена по вертикали вниз, а OJ и Ор расположены в горизонтальной плоскости. Начало координат находится в центре сферы. Определить движение точки и силу реакции сферы на точку. Эта задача известна каи задача о сферическом маятнике. [c.247]

Рассмотрим еще две материальные точки М и М, связанные нерастяжимой нитью, не имеющей массы и лежащей на неподвижной или движущейся поверхности 5, по которой она может скользить без трения. Пусть Т и Т —-действия, оказываемые нитью наточки А1 и М и, следовательно, —Т и —Т действия, оказываемые на нить этими точками. На нить действуют на концах силы —Т и —Т, а на часть, соприкасающуюся с поверхностью 5, — нормальные силы, вызванные реакцией поверхности. Так как нить должна быть в равновесии, то ее натяжение везде одинаково и она должна расположиться по геодезической линии поверхности (п. 144), в частности и Т Т. Этот род связи встречается среди разобранных выще (и. 163) он приводит к некоторым геометрическим следствиям, которые мы укажем в качестве упражнений в конце главы (упражнения 1 и 2). [c.221]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

Материальная точка т может двигаться по внутренней поверхности гладкой круглой трубы радиуса а, которая в свою очередь может свободно вращаться около вертикального диаметра. При вращении трубы с угловою скоростью ш точка находится в относительном равновесии на угловом расстоянии а от своего [c.302]

Поэтому, принимая во внимание рассуждения предыдущих пунктов и называя внешней полостью конуса трения полость, противоположную относительно вершины внутренней полости, можно утверждать, что реакция И, с которой материальная поверхность о действует на материальную точку Р, находящуюся с ней в соприкосновении, зависит, от равнодействующей F активных сил, действующих на точку Р. Б случае равновесия реакция Л всегда направлена во внешнюю сторону поверхности о и лежит внутри внешней полости конуса трения. Другими словами, ее составляющая по нормали к поверхности а имеет величину N, равную величине нормальной составляющей силы F, а составляющая в касательной плоскости к по величине не может превзойти fN, где f есть коэффициент трения между точкой и поверхностью. [c.11]

Если твердое тело опирается в одной или в нескольких точках на другие тела, то каждая опора Р способна противодействовать обеспечивая равновесие) не только одной силой Ф, содержащейся во (внешней) полости конуса трения, но еще и моментом Г, который, вообще говоря, может иметь какое угодно направление, но по величине не может превзойти некоторого предела, зависящего от внешней силы и от материальной природы двух соприкасающихся поверхностей. [c.135]

Рассмотрим материальную точку Р, находящуюся вблизи от земной поверхности, и предположим, что Р не находится в соприкосновении с другими телами, и на нее не действуют силы, происходящие от каких-либо специальных устройств. Тогда остается одна сила, вес точки Р, которую можно, следовательно, рассматривать, как такую силу, уравновесив которую, мы помешаем точке падать или, иначе, удержим ее в (относительном) равновесии по отношению к Земле. [c.313]

В статике (гл. IX, т. I) мы видели, что когда материальная точка, опирающаяся на какую-нибудь поверхность или кривую, находится в равновесии, трение (касательная реакция, развиваемая опорой) по абсолютной величине не превосходит некоторой части / нормальной реакции. Направление, в котором действует эта касательная сила, зависит от активной силы более точно, так как трение уравновешивает касательную составляющую активной силы, то мы можем сказать, что направление статического трения противоположно направлению проекции силы. [c.52]

Относительный покой на поверхности Земли. Сила тяжести. Рассмотрим материальную точку, лежащую на неподвижной относительно Земли гладкой горизонтальной плоскости (рис. 277). Условие ее равновесия по отношению к Земле, согласно уравнению (52), состоит в том, что F p F p = 0, где / пр — [c.295]

Общая формула статики (принцип виртуальных скоростей) трактуется Лапласом как следствие уравнений равновесия материальной системы, известных в геометрической статике. Рассуждение на эту тему содержится в первой книге Небесной механики Лапласа, называющейся Об общих законах равновесия и движения . Кратко рассуждения Лапласа можно передать так. Если материальная точка механической системы остается на некоторой поверхности или линии, то ее можно рассматривать как свободную, добавив к действующим на нее силам еще силы реакции поверхности (линии). Условие равновесия всех сил в данной точке, мысленно изолированной от других точек системы, записывается в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на данную координатную ось (на основе принципа сложения и разложения сил геометрической статики). Так получены три уравнения равновесия сходящихся в каждой точке системы сил, известные со времени опубликования трактата Вариньона Новая механика (1725). Лаплас умножает каждое такое уравнение на соответствующую проекцию возможного перемещения точки по поверхности (линии) вдоль линии силы и суммирует все такие уравнения по всем строкам и для всех точек, мысленно выделенных из системы. [c.102]

Найти положение равновесия тяжелой материальной точки, расположенной на внутренней поверхности эллиптического цилиндра —1=0 и вынужденной оставаться в плоскости уОг. Ось Ог направлена вертикально вверх. Использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.93]

Тяжелая материальная точка веса тц отталкивается от вертикальной оси силой ткЧ, пропорциональной расстоянию точки от этой оси (здесь к — коэффициент пропорциональности, а т — масса точки). На какой поверхности, предполагая, что она является абсолютно гладкой, точка всюду будет находиться в равновесии [c.20]

Найти положение равновесия тяжелой материальной точки, расположенной на внутренней поверхности эллиптического цилиндра [c.34]

Относительный покой материальной точки на поверхности Земли. Рассмотрим сначала относительное равновесие (покой) материальной точки М массы т, подвештенной на нити вблизи земной поверхности (рис. 300). На эту точку действует сила всемирного тяготения Р, направленная к центру Земли, и сила реакции нити N. Согласно 93 для получения уравнений относительного равновесия точки М к силам Р м N необходимо еще присовокупить переносную силу инерции Ф . Так как угловая скорость суточного вращения Земли ш=сопз1, то сила имеет только нормальную составляющую Ф " (центробежная сила инерции), направленную перпендикулярно к оси вращения, причем по модулю Фв = /по72Т , гдеТ 1— расстояние точки М от земной оси. Уравнение равновесия точки М по отношению к земной поверхности в векторной форме будет иметь следующий вид [c.509]

Эти уравнения с двумя уравнениями поверхностей вполне решают вопрос о равновесии материальной точки на линии. Из них определяются все пять неизвест-положения равновесия и силы сопроти- [c.356]

Пример 2. Материальная точка, на которую действует сила тяжести и которая может двигаться по гладкой поверхности любой формы, будет находиться в равновесии только в той точке, в которой касательная плоскость горизонтальна Если поверхность в непосредственной близости к этой точке расположена целиком выше этой плоскости, то положение равновесия будет устойчивым если же она расположена целиком ниже касательной плоскости, то положение равновесия булет неустойчивым. Если поверхность пересекает касательную плоскость, как в случае поверхности, имеющей вид седла, равновесие будет устойчивым для одних перемещений и неустойчивым для других и, следовательно, в целом будет неустойчивым. [c.81]

Равновесие материальной частицы на шероховатой поверхности. Если частица т находится в покое на щероховатой поверхности, то нормальная реакция N поверхности равна по модулю и прямо проти-418 [c.418]

АБЕРРАЦИЯ — искажение изображений, получаемых в оптических системах при использовании широких пучков света, а также при применении немонохроматического света АБСОРБЦИЯ— объемное поглощение вещества жидкостью или твердым телом АВТОИОНИЗАЦИЯ — процесс ионизации атомов в сильных электрических полях АВТОКОЛЕБАНИЯ— незатухающие колебания в неконсервативной системе, поддерживаемые внешним источником энергии, вид и свойства которых определяются самой системой АДГЕЗИЯ — слипание разнородных твердых или жидких тел, соприкасающихся своими поверхностями, обусловленное межмолекулярным взаимодействием АДСОРБЦИЯ — поглощение веществ из растворов или газов на поверхности твердого тела или жидкости АКСИОМА механических связей — действие связей можно заменить соответствующими силами (реакциями связей), а всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив действие связей их реакциями, и рассматривать его как свободное, находящееся под действием приложенных к нему активных сил и реакций связей АКСИОМЫ [механики (закон инерции) — материальная точка, на которую не действуют никакие силы, имеет постоянную по модулю и направлению скорость статики (система двух взаимно противоположных сил, равных по напряжению и приложенных в одной точке, находятся в равновесии система двух равных по напряжению взаимно противоположных сил, приложенных в двух каких-либо точках абсолютно твердого тела и направленных по прямой, соединяющей их точки приложения, находятся в равновесии всякую систему сил можно, не изменяя оказываемого ею действия, заменить другой системой, ей эквивалентной две системы сил, различающиеся между собой на систему, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой)] [c.224]

Пример, Найти положение равновесия материальной точки под действием силы тяжести на поверхности эллцпсоида, оси ко ( ого [c.353]

Докажем необходимость условия равновесия, содержащегося в формулировке ирии-ципа возможных перемещений. Допустим, в положении В на поверхности материальная точка остается в равновесии под действием данной активной силы Р и возникающей реакции связи (рис. 255), если материальную точку поместить в точку В поверхности без начальной скорости. Но находиться в равновесии в этом пололсе-нии материальная точка смолист только тогда, когда по аксиомам динамики равнодействующая всех сил, прилолсенных к точке, равна нулю [c.333]

Допустим обратное, т. е. что материальная точка, помещенная в данное положение без начальной скорости, подверженная затем действию активной силы Р и возникающей реакции связи не остается в равновесии, а получает некоторое ускорение и, следовательно, смещается по поверхности на некоторый действительный вектор йг. [c.334]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

При движении звеньев и учете сил трения 21 отклоняется на угол р — угол трения в сторону, противополож- ную направлению движения звена 1 Отяосителвно звена 2 (на сх, д, е я ж обозначены Ojp и — соответственно скорости звена ] относительно стойки и звена 2, tOjj — угловая скорость звена 1 относительно звена 2). При этом во вращательной паре Р. касается круга трения 3 (сх. ж). Р. в пространственных м. направлена по нормали к контактирующим поверхностям и отклоняется на угол трения при движении звеньев. РЕАКЦИЯ СВЯЗИ — действие на материальную точку (тело) со стороны связи, препятствующее изменению характера связи. Если точка находится в равновесии и на нее действует сила F, то реакция связи R будет,равйа и противоположно направлена Qifeie F. [c.293]

Прежде всего, надо принять во внимание, что само представление о взаимном тяготении тел имело уже давнюю историю и было достаточно распространенным. В частности, об этом писал Кеплер (см. гл. V). Высказывалось и предположение о том, что тяготение между телами обратно пропорционально квадрату расстояния (Борелли в 1665 г., коллеги Ньютона по Королевскому обществу Гук, Врен, Галлей в 70-х и 80-х годах XVII в.). Неудивительно, что сам Ньютон еще в 60-е годы подверг анализу некоторые следствия из такого допущения (к которому, впрочем, он мог прийти вполне самостоятельно) и к которому приводило сопоставление третьего закона Кеплера и выражения для центробежной силы. В отличие от названных выше его современников, Ньютон, благодаря своему математическому гению, был в состоянии построить на этой основе обширную теорию. Он не выступил с нею в 60-е годы вряд ли лишь потому, что у него не совпали данные об ускоряющей силе, действующей со стороны Земли на Луну, с данными об ускоряющей силе на поверхности Земли. В отличие от всех своих предшественников и современников, Ньютон смог удивительно просто доказать, что материальная точка внутри бесконечно тонкого сферического слоя, притягивающего эту точку по закону (а), находится в равновесии в любом возможном для нее положении (теорема 70 Начал ) он доказал, что такой сферический слой притягивает частицу, расположенную вне слоя, с силой, обратно пропорциональной ее расстоянию от центра сферы (теорема 71) он обобщил эти результаты на случай взаимодействия (однородной) сферы и частицы, сферы и сферы [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...