Приближенные решения уравнений Навье—Стокса

Известны приближенные решения уравнений Навье —Стокса для так называемого ползущего движения [83J, первого предельного случая очень малой скорости (в более общей - постановке малых чисел Re), когда силами инерции пренебрегают и учитывают только силы трения, так как силы инерции пропорциональны квадрату скорости, а силы трения — первой степени. В уравнениях Навье — Стокса отбрасывают члены, учитывающие силы инерции, при этом они значительно упрощаются, например уравнение (2.29) [c.103]

В основу этого метода положено приближенное решение уравнения Навье — Стокса для неустойчивого пограничного слоя. При этом имитация неустойчивого пограничного слоя производилась путем наложения на установившееся распределение скоростей в пограничном слое гармонического, нестационарного во времени, поля малых возмущений. В результате автор получил зависимость границы потери устойчивости от значений параметров [c.59]

Уравнения Стокса могут быть применены в случаях, когда члены pv-Vv малы по сравнению с членом, jiV v в каждой точке жидкости. Если в данной задаче I и V — соответственно характерный линейный размер и скорость, то эти выражения пропорциональны pFV/ и Отношение инерционных сил к вязким обычно описывается безразмерным параметром ZFp/fi, характерным числом Рейнольдса. Таким образом, чем меньше число Рейнольдса, тем лучше приближенное решение уравнений Навье — Стокса, полученное при учете только вязких членов. Конкретное значение числа Рейнольдса, выше которого пренебрежение инерционными членами дает плохую аппроксимацию, в конечном счете зависит от требуемой точности. Сопротивление для сферы радиуса а, движущейся стационарно со скоростью U в неограниченной жидкости по закону Стокса, полученному из уравнений медленного течения, выражается в виде [c.59]

Известны приближенные решения уравнений Навье—Стокса для так называемого ползущего движения [88], первого предельного случая очень малой скорости (в более общей постановке малых чисел Re), когда силами инерции пренебрегают и учитывают только силы трения, так как силы инерции пропорциональны квадрату скорости, [c.117]

Очень медленное движение — решение Стокса для падающего шара. Приближенные решения уравнений Навье— Стокса могут быть грубо разделены на четыре категории. К первой относятся те случаи, когда геометрия границ позволяет использовать существующие точные решения для конкретных случаев. Во второй категории движение жидкости происходит так медленно, что в уравнении движения можно пренебречь инерционными слагаемыми. Если движение не настолько медленно, чтобы это было справедливо, то иногда удается линеаризировать уравнения Навье—Стикса и таким образом получить решение. Такие решения образуют третью категорию. В некоторых задачах инерционными слагаемыми пренебречь нельзя, не внеся значительной ошибки, но одно из слагаемых, включающих вязкость, мало по сравнению с другими решения, полученные пренебрежением этим слагаемым, относятся к четвертой категории. [c.221]

Приближенное решение уравнений Навье—Стокса при помощи рядов. В качестве примера решения уравнений Навье — Стокса при помощи рядов укажем на решение, полученное в работе [2] для случая течения несжимаемой [c.463]

Определяется значение функции /Хе(м, то, ж, у, г , ), позволяющее найти наилучшее приближение решений уравнений Навье-Стокса к уравнениям системы I или системы И. Эта операция проводится, например, либо путем применения различных способов осреднения полученного выражения Це, либо путем замены текущих координат и времени некоторыми характерными их значениями. [c.151]

Наиболее известным случаем приближенного решения уравнений Навье — Стокса являются решения уравнений пограничного слоя (Шлихтинг [1968]). Это могут быть аналитические решения, автомодельные решения, полученные численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, и, наконец, неавтомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим, что разница в рассмотрении уравнений пограничного слоя и полных уравнений Навье — Стокса состоит не только в пренебрежении диффузионными членами в направлении основного потока, но и в постановке граничных условий на внешней границе. [c.488]

Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. [c.75]

Потери напора на начальном участке строго не подчиняются формуле Пуазейля, ибо здесь не выполняется основная предпосылка о прямолинейности линий тока. Расчет этих потерь может быть выполнен методами непосредственного решения уравнений Навье—Стокса или методами теории пограничного слоя, излагаемой в гл. 8. Для ориентировочной оценки падения давления на начальном участке трубы можно в первом приближении принять, что потери на трение определяются формулой Пуазейля. Тогда уравнение Бернулли, составленное для сечений О—О и 2—2 (см. рис, 69), дает [c.167]

Рис. 7.9.3. Графики точного числового (сплошные кривые) и приближенного аналитического (пунктир) решений уравнений Навье — Стокса в окрестности лобовой критической точки

Общее решение уравнений Навье — Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор еще не найдено. Однако можно получить много частных решений, вводя различные упрощения. Одна из основных целей первоначального курса механики жидкости — развить чутье к выбору надлежащего приближения для решения той или иной инженерной задачи. [c.123]

Поскольку интегральный метод Кармана является приближенным, значения 0, вычисленные по этому уравнению, не столь точны, как найденные путем решения уравнения Навье — Стокса. Тем не менее метод Кармана нашел широкое применение благодаря своей простоте. [c.145]

В работах [18—19] для этого течения найдено асимптотическое решение уравнений Навье — Стокса при Ве -> оо. Это решение по виду существенно отличается от решения, получаемого в классической теории пограничного слоя. Напомним, что в теории пограничного слоя [1] для построения равномерного асимптотического приближения приходится рассматривать две области течения с продольной координатой порядка длины тела. Течение в одной из них (с поперечным размером того же порядка) описывается уравнениями Эйлера, которые при М > 1 относятся к гиперболическому типу. Другая область — вязкий пограничный слой — имеет толщину, в Ве /2 раз меньшую, а соответствующие уравнения относятся к параболическому типу. Таким образом, возможность передачи информации (возмущений) вверх по потоку, которая соответствует полным уравнениям Навье — Стокса, исключена. [c.242]

Согласно результатам [18—19], асимптотическое решение уравнений Навье — Стокса различно в трех областях, расположенных около точки отрыва и имеющих малую длину порядка Ве / . Внешняя область имеет поперечный размер, соизмеримый с ее длиной, а течение в ней описывается в первом приближении линейной теорией сверхзвуковых течений. Вторая область имеет поперечный размер профили скорости в ней в первом приближении [c.242]

Такая модель совместно с условиями для определения завихренности и температуры газа в возвратно-циркуляционном течении позволяет уже в первом приближении рассчитать конфигурацию зоны отрыва и тепловые потоки к телу. Однако в обш ем случае внутри отрывной зоны могут образоваться вторичные вихри около угловых точек контура тела или вблизи точки отрыва. Это объясняется отрывом пограничного слоя в основании возвратного течения. Их влияние на общую картину течения, форму отрывной зоны и давление в ней часто несущественно. Однако возможность таких образований в принципе не позволяет пока ответить на вопрос о существовании стационарного (хотя бы и неустойчивого) предельного решения уравнений Навье — Стокса. [c.256]

Асимптотические методы решения уравнений Навье — Стокса нашли применение к задачам обтекания малых препятствий или неровностей, расположенных в основании пограничного слоя [59, 60]. В работе [59] рассматривается обтекание несжимаемой жидкостью единичной шероховатости , т. е. выступа с высотой, много меньшей толщины пограничного слоя. Исследуется такой режим течения, при котором число Рейнольдса, вычисленное по характерному размеру выступа и скорости внутри пограничного слоя на высоте выступа, у таЪ, велико. Поэтому в первом приближении для области с характерным размером порядка высоты выступа задача сводится к решению уравнений Эйлера. Использование принципа сращивания асимптотических разложений позволяет определить граничные условия в набегающем на выступ потоке и вдали от него. В этих местах возмущения, вносимые выступом, должны затухать. Невозмущенный поток локально имеет вид и у, у = 0. Коэффициент пропорциональности в формуле для и должен соответствовать местному значению напряжения трения на дне невозмущенного пограничного слоя. В работе [59] исследованы также течения около выступов, постепенно понижающихся вверх и вниз по потоку. Показано, что при слишком резком [c.262]

Применение приближенных полуэмпирических методов, различного рода моде лей, основанных на сильно упрош аюш их предположениях, таких, например, какие описывались выше, несомненно оправдано и полезно при исследовании течений с лож ных типов, не описываемых классической теорией пограничного слоя. Однако такой подход нельзя признать удовлетворительным в принципиальном отношении. Эти приближения не предполагают какого-либо процесса уточнения результата или какого-либо предельного перехода, при совершении которого результат стремится к точному решению. Остается неясной их связь с решениями уравнений Навье-Стокса при больших числах Re. [c.13]

Рассмотрим некоторые общие свойства асимптотических решений уравнений Навье-Стокса при стремлении характерного значения числа Рейнольдса к бесконечности. Для определенности будем считать, что рассматривается задача внешнего обтекания тела с характерным линейным размером I сверхзвуковым потоком вязкого газа. Нетрудно установить, что в большей части течения при Де сх) влияние вязкости исчезает и уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе образуется поверхность контактного разрыва (благодаря чему выполняется условие прилипания), которая при некоторых условиях может отрываться от поверхности тела. Если вдоль такой поверхности продольные градиенты параметров течения достаточно малы, то, как известно, ее структура в первом приближении описывается уравнениями типа уравнений пограничного слоя Прандтля. [c.71]

Теперь заметим, что такое решение не является равномерно точным первым приближением для решений уравнений Навье-Стокса. Во-первых, вдоль линии АО, в соответствии с классической теорией пограничного слоя, необходимо вместо разрыва тангенциального к АО компонента скорости ввести вязкую зону смещения (область 4 на [c.87]

При больших числах Рейнольдса система уравнений Эйлера, к которой сводится в этом приближении система уравнений Навье-Стокса, имеет в первом приближении, при х у 0(1), следующее решение м = 1, 1 = 0. Для удовлетворения условия прилипания необходимо ввести вблизи поверхности клина в области с масштабами у = е , х = X, е = Ке пограничный слой, функции течения в котором имеют вид [c.168]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (vq, Ро), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмуш,ений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это — внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [c.63]

Рассмотрим пр.имеры точных и. приближенных решений уравнений Навье—Стокса (4.35) и неразрывности (3.19) для устаиовив-шихся ламинарных течений несжимаемой жидкости. Под точными будем понимать решешя при сохранении в урав-нениях всех членов, тождественно не равных нулю для изучаемых течен-ий. Приближенными будем называть решения, полученные исключением из уравнений членов, величина которых мала по сравнению с величинами других члено1В. [c.133]

Интегрирование уравнеяия (7.27) позволяет получить следующие формулы приближенного решения уравнений Навье—Стокса [18]. Поле скоростей [c.142]

Оценка влияния добавка к стоксову приближению на поведение разледяющих линий тока. Интуитивно ясно, что столь высокого порядка малости добавки ф/ к стоксовым приближениям в полученных решениях 1 /, уравнения Навье - Стокса не должны в достаточно малых окрестностях точки (О, 0) изменять картины линий тока по сравнению с таковыми для стоксовых приближений. Как показывают картины линий тока, построенные по приближенным решениям / уравнения Навье -Стокса с добавками ф, полученными из выражений (2.17) удержанием лишь главных [c.83]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Много споров вызывает интерпретация связи между дифференциальными уравнениями Озеена и уравнениями Навье — Стокса. Хотя озееновский член U-Vv, по-видимому, удовлетворительна аппроксимирует истинный инерционный член v Vv на больших расстояниях от сферы, такая аппроксимация должна ухудшаться вблизи тела, где граничное условие v = О требует, чтобы истинный инерционный член был мал. В частности, из озееновского анализа совершенно не ясно, является ли инерционная поправка ЗЛ ке/8 к сопротивлению для сферы действительно правильной кроме того, метод Озеена не дает возможности построить систематическую процедуру возмущений для получения приближений более высокого порядка к решению уравнений Навье — Стокса. [c.62]

В интересующих нас сейчас асимптотических теориях, наряду с подобластями типа классического пограничного слоя, появляются еще другие подобласти, порядки которых по продольным и поперечным размерам, скоростям, перепадам давления и др. отличаются от ilYРе. Оценка порядков по рейнольдсову числу масштабов протяженности этих подобластей и механических и термодинамических характеристик движений среды в них представляет основной этап построения асимптотических решений. Вторым этапом служит составление рядов по параметрам, малость которых обеспечивается стремлением внешнего рейнольдсова числа к бесконечности, и определения коэффициентов этих рядов в том или другом простейшем приближении. При этом выполняется сшивание асимптотических решений в смежных подобластях. Заметим, что такой метод необходим и при численном решении уравнений Навье — Стокса при больших значениях рейнольдсова числа, так как позволяет заранее оценить характерный для каждой подобласти масштаб размеров ячеек применяемой сетки. [c.701]

В предыдущем параграфе мы видели, что уравнения Навье — Стокса дают при fe—>оо качественно более правдоподобную дисперсионную картину, чем тринадцатимоментные уравнения и более высокие приближения. Казалось, что уравнения Навье — Стокса в какой-то мере отражают поведение полного уравнения Больцмана при k- oo. Однако теперь мы видим, что при k->oo навье-стоксовское приближение модельного уравнения дает качественно иную картину, чем само модельное уравнение. Следовательно, поведение решений уравнений Навье—Стокса при k— oo представляется случайным. [c.217]

Чепмена. Нашей целью является установление таких фиктивных макроскопических граничных условий для уравнений Навьс — Стокса на твердой стенке, при выполнении которых решение уравнений Навье — Стокса вне кнудсеновского слоя совпадало бы (с точностью навье-стоксовского приближения) с решением уравнения Больцмана с заданными истинными кинетическими условиями на стенке. [c.317]

Пусть сплошной кривой на рис, 44 изображено изменение истинной скорости газа у стенки. Пусть, скажем, линия 55 на рис. 44 находится в области, где решение уравнения Больцмана уже с необходимой точностью аппроксимируется иавье-стоксовским приближением. Если бы мы знали скорости и температуру газа на этой линии, то, решая уравнения Навье — Стокса, мы могли бы построить решение во всей внешней (вне слоя Кнудсена) области. Тогда, продолжая решение уравнений Навье—Стокса внутрь слоя Кнудсена (пунктирная линия на рис. 44), мы можем определить некоторые фиктивные значения скорости и температуры у стенки, В общем случае полученные таким образом скорость и температура не равны ни истинной скорости и температуре газа у стенки, ни скорости и температуре стенки. Разность между фиктивной скоростью и скоростью стенки называют скоростью скольжения, а соответствующую разность температур— температурным скачком. [c.318]

Как и при обтекании коротких неровностей (см. раздел 8.1.2), здесь в области с характерными размерами Ах n j Ау n J 1 при е о решением уравнений Навье-Стокса в первом приближении является невозмущенный набегающий поток. Далее, согласно теории Прандтля, следует рассмотреть область с характерными размерами Ах 1 и Ау е — пограничный слой. Известное решение типа Блязиуса для пограничного слоя на пластине становится несправедливым, по крайней мере, в окрестности малой неровности, т. е. в области с характерными размерами Ах r j Ау r j f) r j (5 s. [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...